Lösungen zur Klausurensammlung

[aviator-sbh]

Ich dachte mal ich stelle mal meine Ergebnisse online, ein Paar Aufgaben hab ich ncoh nicht gerechnet (die lasse ich offen):

Großmann 29.02.08
...
4.)
hab da auch keinen wirklichen Ansatz :glare:
wurde die schon mal vorgerechnet hier?
...

Wurde schon weiter vorne von Rollo beschrieben.

[Zweifler]

Guten Morgen,

mal ein paar Ergebnisse zum Vergleich und zudem paar Fragen:
Wäre schön, wenn jemand die Ergbenisse bestätitigen, oder ggf. berichtigen könnte:

1.a) Lösungen existieren nur für c größer gleich 0; w = -1 + i (-1+sqrt(c)) bzw. w = -1 + i (-1-sqrt(c))

1.b) z = sqrt(2)*e^(i*φ)-2+i mit φ1= π/4; φ2= 11π/12; φ3= 19π/12; mit φ1: z1=-1+2i

2.a) K=1/sqrt((at)^2)

2.b) Symmetrie zur x-Achse, NAchweis über x(-t)=x(t), ergibt mit t=0 dann letztlich cos(0)=cos(0)

2.c) M=-0,5+ln(2)

3.a) p2(x)=x^2 * (2f(0)-4f(1/2)-2f(1)) + x * (-3f(0)+4f(1/2)+f(1)) + f(0)

...und dann verließen sie ihn...

I[p2] wäre doch das Integral von p2(x)/sqrt(x) in den Grenzen von 0 bis 1, oder?
MIt welchem Ansatz sollte man hier vorgehen, und wie löse ich denn anschließend die gegebene Gleichung?

Edit:

4.a) y(x)=x^-1 3mal ableiten und alles in DGL einsetzen liefert: r(x)= -6x^7 + 4 x^5 - x^3 + x^-1

4.b) y(x)=A*x^-1 + B*x + C*ln(x)*x

[Rollo-derWikinger]

der ansatz ist das lagrange-interpolationspolynom (mer 178)
du hast 3 wertepaare gegeben:
[latex]
$x_1=0\\
x_2=\frac{1}{2}\\
x_3=1\\
y_1=f(0)\\
y_2=f(\frac{1}{2})\\
y_3=f(1)$\\
die formel:\\
$p(x)=\sum\limits^{n}_{i=0} y_i\cdot l_i\\
$mit:  $ l_i=\prod\limits^{n}_{j=0, j \not = i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$\\

d.h. in diesem fall:\\
$p_2(x)= f(0) \frac{(x-\frac{1}{2})(x-1)}{(0-f(\frac{1}{2}))(0-f(1))}
+ f(\frac{1}{2}) \frac{(x-0)(x-1)}{( \frac{1}{2} -f(0))( \frac{1}{2} -f(1))}
+ f(1) \frac{(x-0)(x- \frac{1}{2} )}{(1-f(0))(1-f( \frac{1}{2} ))}
$[/latex]

fertig is das lagrange-interpolationspolynom. damit kann man jetzt weiter machen.
integrieren und w0 müsste dann der erste inegrierte therm mit f(0) sein

[Zweifler]

Eben dieses wie weitermachen, wäre meine Frage.
Das Interpolationspolynom habe ich ja schon aufgelöst und zusammengefasst da stehen.

[tobi0123]

@ rollo: die formel, die du aus dem merziger angegeben hast, ist ja richtig. aber das was du eingesetzt hast, seh ich nich so.
im nenner steht immer xi-xj, also nix mit 0-f(1/2) sondern 0-1/2 usw.

@ zweifler: p2(x) hab ich auch so. und da das ganze so schön nach potenzen von x geordnet ist, kann man's doch fix duch sqrt(x) teilen, dann integrieren in den grenzen von 0 bis 1 !?

dann komm ich auf I[p2]=4/5*f(0)+16/15*f(1/2)-2/15*f(1)

[Rollo-derWikinger]

@tobi: joa is richtich

[Johannes@VT]

Also bei der Klausur 2004/1  bei der 4b

komme ich auf dei Allg Lsg [latex]$ Ax+ B/x+Cxlnx [/latex]

weil ja die Rücksubstitution [latex]$ x=e^t [/latex] dies liefert

hat jmd eine andere Lösung???

[tobi0123]

Klausur 2004/1  bei der 4b komme ich auf dei Allg Lsg [latex]$ Ax+ B/x+Cxlnx [/latex]

hab ich auch so.

[Zweifler]

Danke Tobi, werde es gleich noch mal so probieren.

weiter mit den anderen Aufgaben dieser Klausur:

5.a) (1) ist keine exakte DGL, (2) und (3) hingegen schon; (1) lässt sich mit μ(x)=e^(1/2*x^2) überführen

5.b) x=ln(-cos(y)+2)-y

[tobi0123]

5.a) (1) ist keine exakte DGL, (2) und (3) hingegen schon; (1) lässt sich mit μ(x)=e^(1/2*x^2) überführen

5.b) x=ln(-cos(y)+2)-y

:up:

[heppy]

Habe gerade in einem alten Fred eine Lösung für die Klausur von 2004 gefunden (Prof. Großmann):

die Lösung von 4b) lautet: [latex]$y=y_{H}=c_{1}x+c_{2}xln (x)+c_{3}\frac{1}{x}$[/latex]

Quelle: http://www.bombentrichter.de/attachment.php?attachmentid=3140&d=1186648383

Viel Spaß damit

[vorni]

Kann mir jemand bei der 2005er Klausur auf die Sprünge helfen? Ich hänge da gerade am komplexen Eigenvektor für lambda2/3 = 2 +- i. Eigenwert einsetzen, alles klar. Aber dann komme ich irgendwie nicht weiter..:blink:

[Christian Steglich]

ich denke mal du meinst die Aufgabe 3 - ich glaub dein EW ist nicht ganz richtig die EW sind 2;2+2i;2-2i naja und die setzt du nacheinander wieder als lambda ein bekommst die EV (1,0,0);(-2i,1,1); (2i,1,1) - die musst du dann in deine Lösung mit einsetzen und die Gleichung auflösen also so müsstes grob aussehen:
y= C1* exp(2x)*(1. EV) + C2*exp((2-2i)*x) *(3.EV) +C3*exp((2+2i)*x)*(2.EV) - ja dann musst du mit der gleichung etwas hin und her jonglieren um ein vernünftiges Ergebniss zu bekommen also (Realteil und Imaginärteil separieren...) um dann später noch die Bedingung einzusetzen!

[Zweifler]

Noch zu 2004/1:

6.c)
Die Lsg. kann man ja dem pdf von heppy entnehmen und bei dem Bb komm ich auch noch mit, aber wie kommt man denn auf das x=... ?

[adeptus mechanicus]

@basti: der ansatz steht ja da
[latex]$y_2(x)=v(x)y_1(x)$\\
zweimal ableiten und in ursprüngliche DGL einsetzen: \\
$y_2'(x)=v'(x)y_1(x) + v(x)y_1'(x)\\
y_2''(x)=v''(x)y_1(x) + 2v'(x)y_1'(x) + v(x)y_1''(x)$\\ \\[/latex]
 
v(x) muss dabei herausfallen. jetzt ganz normal v bestimmen und in die erste gleichung einsetzen und man bekommt y2

 
das is aufagbe 4 von 2005/1
 
ich seh gerade nich ganz wie v(x) rausfallen soll, wenn y1(x) = 1 + e^x -> y1'(x) = y1''(x) = e^x