Lösungen zur Klausurensammlung

[Vakuole]

Leider hat meine Lösung eine Kommilitonin aber ich stell mal den Prinzipiellen Lösungsweg hier rein:

2c)

Ax=0 stellt das ganze in eine Gauß-Matrix um, die kann man dann nur lösen, wenn man 2 Parameter (z.B. s,t) einführt.
Man erhält damit ein x das von zwei Parameter abhängig ist.

Dieser x-Vektor besteht ja dann aus 2 Vektoren und diese beiden Vektoren sind JEWEILS  einer der beiden lin. unabhängigen Vektoren von AtA.


2d)
geg:
AAt*v=lam*v (1), AtA*w=mü*w (2)

w=At*v  (3) -> einsetzten in (1):
A*w=lam*v |um auf (2) zu kommen multipliziere man At von RECHTS
AtA*w=At*lam*v | weil lamta eine Zahl ist kann man diese Vorziehen
AtA*w=lam*(At*v) | die Klammer ist das selbe wie (3)
AtA*w=lam*w=mü*w

-> lam*w=mü*w
lam=mü

Der dazu gehörtet Eigenwert ist lamta

[Rollo-derWikinger]

@vakuole:
c) die vektoren hab ich noch rausbekommen, aber dass die jetzt zwei linearunabhängige eigenvektoren von A^T*A sind wusst ich nich
d) klingt logisch

[aviator-sbh]

4.3.2005 / 1b)

@aviator: is auch quatsch, hab ich auch schon festgestellt. natürlich kann eine quadratische gleichung nur 2 lösungen haben. mir ist aber bis heute nicht klar, wie man auf -2 bzw 2i kommt

Du nimmst einfach die quadratische pq-Lösungsformel, nachdem Du die Gleichung in
w² + (2 - 2i)w - 4i = 0 umgestellt hast.
Du erhältst als
w12 = - (1 - i) +- SQRT((1 -i)² + 4i).
= -(1 - i) +- SQRT(2i).
Dann gehst du in die Exponentialform, womit 2i = 2e^(i*Pi/2),
also SQRT(2i) = SQRT(2) * e^(i*Pi/4) bzw. ^(i*Pi*5/4) ist dann gleich (1 + i) bzw. -(1 + i).

Damit ist w12 = - (1 - i) +- (1 + i).
w1 = 2i, w2 = -2.

[Rollo-derWikinger]

das mit der exponentialform is clever. mein taschenrechner kann zwar komplexe zahlen aber bei wurzel(2i) hat er immer nur mist ausgespuckt

[ESP]

Was habt ihr bei 4c für ein Restglied raus?

Irgendwie komme ich auf 0, wenn ich f'''(E)/3!  *x^3  integriere zwischen -1 und 1

[aviator-sbh]

das mit der exponentialform is clever. mein taschenrechner kann zwar komplexe zahlen aber bei wurzel(2i) hat er immer nur mist ausgespuckt

Deinen Taschenrechner kannst Du sowieso nicht benutzen!

[Vakuole]

c) die vektoren hab ich noch rausbekommen, aber dass die jetzt zwei linearunabhängige

Ich auch nicht, musste mich da auch von einem Mathestudenten höherer Semester erleuchten lassen

Irgendwie komme ich auf 0, wenn ich f'''(E)/3!  *x^3  integriere zwischen -1 und 1

naja fast, da man keine genaue Fkt gegeben hat ist die Lösung:

| f'''(E)/3!*x^3 |
das ist richtig, dann integriert man das ganze aber nicht, sondern setzt den x Wert ein der am weitesten von x0 entfernt ist.
In unserem Fall x=1 oder x=-1
da das Ergebnis positiv sein muss, ist es egal was man einsetzt,
wenn man jetzt x=1 einsetzt, kommt man zu dem Ergebnis

f'''(E)/6

weiter kann man es aufgrund fehlender Funktion nicht berechnen

[ESP]

Ich auch nicht, musste mich da auch von einem Mathestudenten höherer Semester erleuchten lassen


naja fast, da man keine genaue Fkt gegeben hat ist die Lösung:

| f'''(E)/3!*x^3 |
das ist richtig, dann integriert man das ganze aber nicht, sondern setzt den x Wert ein der am weitesten von x0 entfernt ist.
In unserem Fall x=1 oder x=-1
da das Ergebnis positiv sein muss, ist es egal was man einsetzt,
wenn man jetzt x=1 einsetzt, kommt man zu dem Ergebnis

f'''(E)/6

weiter kann man es aufgrund fehlender Funktion nicht berechnen

ok also auch wenn ne Funktion gegeben wäre, dann würde man NICHT integreiren sondern auch wie hier einfach seinsetzen? Oder gibts ne Fall wo man nochmals integrieren muss?

[Rollo-derWikinger]

Deinen Taschenrechner kannst Du sowieso nicht benutzen!

das ist mir klar. ich dachte nur: wenn der taschenrechner da error ausspuckt, wird das wohl nicht zulässig sein. und was soll die wurzel aus i auch schon sein?

[Vakuole]

ok also auch wenn ne Funktion gegeben wäre, dann würde man NICHT integreiren sondern auch wie hier einfach seinsetzen? Oder gibts ne Fall wo man nochmals integrieren muss?

Also ich verbürge mich jetzt nicht für diese Aussage, aber ich hab das so gelernt,dass:

1) Formelaufstellen
2)x auswählen, welches am weitesten entfernt von x0 liegt
3) E so wählen, dass Bruch möglichst groß zwischen x & x0 liegt

Also Integrieren tu ich da nichts mehr

Du kannst nach dem Prinzip ja mal die 4a bei der 2007 Klausur rechnen:

Wenn du als Ergebnis c= 21/32 raus hast, ist es richtig

[aviator-sbh]

das ist mir klar. ich dachte nur: wenn der taschenrechner da error ausspuckt, wird das wohl nicht zulässig sein. und was soll die wurzel aus i auch schon sein?

SQRT(i) = SQRT(1*e^(i*Pi/2)) = e^(i*Pi/4) = 0.5*SQRT(2)*(1 + i).

[adeptus mechanicus]

@mech: welchen ansatz hast du bei 1a gewählt? additionstheorem?

2005 1.a )
 um die frage zu beanworten: eher nein, sondern
cos a = cos (-a)
sin a = - sin (-a) (also hier liegen gerade und ungerade funktion vor)
 
1. bedingung: z element Komplexe zahlen -> z = 0 + a i
2. bedingung: 1/2 kleiner gleich |sinh (z)| ->
 
|1/2 (e^z - e^(-z)| < 1/2 (ich lass das kleiner gleich mal nen kleiner sein, weil ich sonst soviel schreibaufwand habe... ihr wisst ja wie das gemeint is)
-> |e^(ai) - e^(-ai)| < 1
<-> |cos a + i sin a - cos (-a) - i sin (-a)| < 1 , jetzt wird das oben stehende benutzt: gerade und ungerade fkt.
|0 + i * 2 * sin a| < 1
na, und das is der betrag einer komplexen zahl... also folgt
wurzel(0² + (2 sin a)²) < 1  -> 2 | sin a| < 1
der sinus bei 30° ist 0.5 (und bei -30°)
also: -(pi/6) <= a <= pi/6 (jetzt also wieder mit aufgabenstellungskonformen kleiner gleich)
 
also is z = a i mit der obigen einschränkung für a

[Rollo-derWikinger]

@rollo: jede reelle Zahl ist auch eine komplexe, daher ist 2 auch eine komplexe Zahl!

du kannst doch nicht einfach den realteil 0 setzen, oder?

[tobi0123]

du kannst doch nicht einfach den realteil 0 setzen, oder?

aufgabenstellung: bestimmen sie alle z element C, die auf der IMAGINÄREN ACHSE liegen...
damit ist der realteil =0.

[Chefwilli]

Aufgabe 3: quadratische formel gelöst und in z=x+ix eingesetzt
x1,2=(1+-sqrt(2d^2-1))/2 mit der einschränkung d ist reell und d>=sqrt(1/2)

z1=x1(1+i)
z2=x2(1+i)


Aufgabe 5:
auf die allgemeine, homogene lsg, die rollo hier gepostet hat, komm ich auch.
ansatz der partikulären lösung???
yp(x)=(a*sin(x)+b*cos(x))*x+c*e^(4x)*x^2+d*x+e

störfunktion r(x) in 3 summanden zerlegt. den ansatz für sin(x) hab ich mit x multipliziert, den ansatz für e^(4x) mit x^2 multipliziert und beim ansatz für x keine resonanz (!?)

Oh man langsam wirds unübersichtlich hier. Man hätte für jede Klausur ein extra Topic machen sollen.

Also ich glaube deine Lösung ist falsch.
Die Lösungen der chrakt. Gl. sind:
x1    =0
x2,3 = 4
x3,5 = 2+-i

Die Störfunktion sind 3 Teile, also alle getrennt auf Resonanz untersuchen.
siehe Merzi S.162 mitte

für sin(x)  --> a+bi = i  -->nicht Lösung der chrakt. Gl. -->keine Resonanz

für exp(4x) --> a+b i= 4 -->zweifache Lsg. d. cha. Gl. --> zweifache Resonanz

für x --> a+bi = 0 -->einfache Lsg der cha. Gl. --> einfache Resoanz

also hat man als Ansatz:

Yp=A sin(x) + B cos (x) + C x^2 exp(4x) + x(Dx+E)