Lösungen zur Klausurensammlung

[heppy]

Haben gerade die Aufgabe 4 von 2004 gerechnet und würden gerne die Ergebnisse vergleichen:

a)  [latex] $r(x)=0$[/latex]

Steht ja dann auch in der Aufgabe b)

b) [latex] $y_{H}=c_{1}x + c_{2}x^2 + c_{3}\frac{1}{x}[/latex]

da [latex] $r(x)=0$ gilt, ist $y_{H}=y$[/latex]

Danke für Antworten oder Korrekturen

[Rollo-derWikinger]

@basti: der ansatz steht ja da
[latex]$y_2(x)=v(x)y_1(x)$\\
zweimal ableiten und in ursprüngliche DGL einsetzen: \\
$y_2'(x)=v'(x)y_1(x) + v(x)y_1'(x)\\
y_2''(x)=v''(x)y_1(x) + 2v'(x)y_1'(x) + v(x)y_1''(x)$\\ \\[/latex]

v(x) muss dabei herausfallen. jetzt ganz normal v bestimmen und in die erste gleichung einsetzen und man bekommt y2

[MichaS]

und wie bestimmt du v(x) nun? charakteristisches polynom nützt nichts. substitution leifert zwar etwas mit exp(2x²) aber es kommt noch ein weiterer faktor dazu und exp(2x²) lässt sich nicht elementar integrieren...
also WIE?

habs hinbekommen...das Integral x*exp(2x²) = (1/4) exp(2x²), woraus die Lösung folgt...

[plumps]

Bei der Klausur Februar 2002 ist in Aufgabe 5b) ja nach dem Ansatz für die partikuläre Lösung gefragt.
Heißt das, ich muss da nur die homogene Lösung nehmen und die C in Abhängigkeit von x darstellen? Oder wie weit muss man das machen?

[Rollo-derWikinger]

also ich persönlich mach das ja immer mit variation der konstanten, weil das im gegensatz zu störgliedansatz immer geht, auch wenns manchmal länger dauert.
vdk geht so:

[latex] Du machst n Gleichungen (n ist die ordnung deiner DGL)\\
$y_1(x)\cdot C_1'(x) + y_2(x)\cdot C_2'(x) + ... + y_n(x)\cdot C_n'(x)=0\\
y_1'(x)\cdot C_1'(x) + y_2'(x)\cdot C_2'(x) + ... + y_n'(x)\cdot C_n'(x)=0$\\
(...)\\ \\
$y_1^{(n-2)}(x)\cdot C_1'(x) + y_2^{(n-2)}(x)\cdot C_2'(x) + ... + y_n(x)^{(n-2)}\cdot C_n'(x)=0\\
y_1^{(n-1)}(x)\cdot C_1'(x) + y_2^{(n-1)}(x)\cdot C_2'(x) + ... + y_n(x)^{(n-1)}\cdot C_n'(x)=r_(x)$[/latex]

in diesem fall wäre n LGS mit n=5 gleichungen. ausrechnen brauchste nich, weil will ja nur den ansatz
klar oder muss ich noch den kompletten ansatz einhacken?

[plumps]

ok danke dir, war mir nicht so ganz sicher, wie weit man das machen muss, wenn nach dem Ansatz gefragt ist. vdk muss ich mir sowieso noch mal anschaun...

[oOpauleOo]

sagtmal hat jemand was zur 1b 10.August 2007?

auch bei der 6 b seh ich noch nicht so ganz den sinn dahinter...ich mein ich hab doch ne super lösung in 6a errechnet,und was will er jetzt?

also bei der 1b habed ich raus: z=[ln(2)]^1/2 +(pi/4)i
aber irgendwie finde ich das komisch...

vielen dank schonmal!

Ps: seht ihr das auch so, dass die schwierigkeitsgrade extrem unterschiedlich sind?

[Rollo-derWikinger]

1.b)
[latex]$e^z=e^{x+iy}=e^x(cos(y)+isin(y))=1+i\\
I:e^xcos(y)-1=0\\
II:e^xsin(y)-1=0\\
y=arctan(1)= \frac{\pi}{4}\\
x=ln(\sqrt{2})\\
z=ln(\sqrt{2})+\frac{i\pi}{4}$\\[/latex]

bei der 6 solltest du ja eigentlich noch irgendwo n c stehen haben, wegen der fehlenden randbedingung. du suchst jetzt das c für das y(-1)=-e ist

[oOpauleOo]

dankesehr...die komplexe aufgabe hab ich ja auch so...aber das andere ding muss ich mir nochmal genau angucken, aber erst morgen

grüße und viel erfolg in GL morgen

[Rollo-derWikinger]

ich hab die 6 noch nicht gerechnet, aber exakt wird die doch erst mit nem integrierenden faktor oder?
ab recht haste: erstmal GL. dir auch viel erfolg!

[oOpauleOo]

aber wenn ich die 6a gelöst habe, dann habe ich doch das c ausgerechnet...ich habe zuerst c'(x) durch die allg. lsg der exakten DGL und dann integrier ich das...soweit komm ich dann meiner meinung nach auf ein c(x) und kann so die gleichung lösen...oder ist das nicht richtig?für exakte dgls braucht man doch keine nebenbedingung oder?

[Rollo-derWikinger]

merziger s.155 unten
eine DGL heißt exakt, falls es eine Funktion F(x,y) gibt mit... (die willst du ja bekommen)
... die Lösungen der DGL sind dann implizit gegeben durch F(x,y)=c (...) gegeben (Niveaulinien von F).

und du willst nun genau die niveaulinie haben

[Christian Steglich]

Hat jemand zufällig nen Ansatz zu der Aufgabe 4a? Irgendwie weiß ich nicht so recht wie ich da ran gehen soll! Vor allem mit der vorgegebenen Lösung y(x)=1/x?

[Rollo-derWikinger]

datum wär hilfreich. ich denk mal du meinst 2004?
das is ne inhomogene euler DGL (merziger s.161)
kann man also reduzieren
am ende hast du noch ne gleichung y(x)=....+c und das c bestimmst du dann mit dem ansatz y(x)=1/x und daraus folgt dann r(x)

[Vakuole]

Ich dachte mal ich stelle mal meine Ergebnisse online, ein Paar Aufgaben hab ich ncoh nicht gerechnet (die lasse ich offen):

Großmann 29.02.08

1.


2.
a)
u=(3,0,-3)
v=(-1,2,-1)
b)
LL^Tx=b
Ich setzte:
L^Tx=w -> Lw=b w=v
weil:
L^Tx=w = L^Tx=1/3a , weil w ein vielfaches von a ist
->Auflösen:
x=1/3u= (1,0-1)
c)
det(L)=2
det(LL^T)=det(L)^2=4
d)
x^TL^TLx>0
->
Lx=y und L^Tx^T=y^T
dadurch: x^TL^TLx=y^Ty
y^Ty-> Skalarprodukt, ist bei gleichen Vektor nicht null und immer positiv
y^T*y=|y^2|

3.)
a)
p(x)=-0,5x^2+3x-2xy-2.5y+3y^2+2,5
b)
Ableitungen bilden Hessematrix aufstellen D>0 -> Extremstelle
fxx>0 rel. Minimum
c)
x=(8,-5,25)  <- ist falsch, ich versuch aus der Lösung schlau zu werden

4.)
hab da auch keinen wirklichen Ansatz :glare:
wurde die schon mal vorgerechnet hier?

5.)
hab ich noch nicht gerechnet kommt noch

6.)
a)
yH= c1+c2*e^x
b)
yS=-(x/2+1/2*ln|2-e^-x|)+(-x+1/2*ln|2e^x-1)+e^x

2007 hab ich auch schon zu Teil durch, wenn Interesse besteht stelle ich die Ergebnisse da auch online


PS: Ich übernehme keine Garantie für Richtigkeit:P

EDIT: Mir ist gerade aufgefallen, das beim Großmann die Lösung von 2008 gibt. Ich lass es trotzdem mal stehen, weil ich ein paar andere Ansätze habe (2.c) und ein anderes Ergebnis (bei 3a) ich hab das Polynom aus multipliziert.