Lösungen zur Klausurensammlung

[bleda]

falls jmd kein matheprogramm hat, kann ich die schöne suchmaschine empfehlen

http://www.wolframalpha.com/
dgl-funktion oder was auch immer eintippen und ergebnis überprüfen. das programm ist zuverlässig, manche lsg im übungsbuch sind nicht korrekt! schon 2 gehabt, die mich zur weißgluht trieben -.-

[scholzi]

@rollo: Müsste in deiner homogenen Lösung beim C1 nicht noch der Eigenvektor zum Eigenwert -1 stehen?? der lautet bei mir(0,0,1).
Dann erhalte ich beim einsetzen der AWA und lösen des LGS für C1=0, C2=1, C3=-1.
Diese Werte hab ich dann in die allgemeine lösung eingestzt und erhalte dann eine Lösung ohne Konstanten.
So war das auch bei den Übungsaufgaben mit Anfangswerten. Da hat man auch immer eine spezielle Lösung ohne Konstanten erhalten.

[clausi]

Weis jemand, wie man bei der 6. Aufgabe bei der Klausur vom 28.2.2002 auf die Eigenvektoren kommt? der erste mit (0/0/1) ist ja noch einleuchtend, aber bei den anderen 2 komm ich einfach nicht drauf!

[Rollo-derWikinger]

@scholzi: jap, hast recht. ich verlier bei latex immer die bersicht und rechne dann falsch weiter, editier das gleich

@clausi: mit pq-formel solltest du ja eigentlich auf die beiden weiteren eigenwerte [latex] $\lambda_{2/3} = 2 \pm i$[/latex] kommen.

die jagst du genau wie -1 durch die matrix und holst dir die werte für deinen eigenvektor. den kann man schon fast so ablesen.
es bleibt für 2+i:

-i  -1  0
5  -5 -3-i

(die zweite zeile is mist), noch zwei umformungen und man findet
v1=v1
v2=-v1*i
v3=(i+2)v1

setz v1 = 1 und alles is in butter

[adeptus mechanicus]

zur aufgabe 6:
 
EW: -1 , 2 - i , 2 + i
EV: meine sind (0,0,1) , (i,1,1-2i) , (-i,1,1+2i) . es sind an der stelle natürlich noch unendlichviele andere auch möglich, sie müssen nur linear abhängig von meinen sein (sofern meine stimmen). so geht z.b. (0,0,4) statt (0,0,1)
 
beim AWA-teil komme ich auf: C1 = -2 , C2 = 1 , C3 = -i
 
@rollo:  wir haben ja die gleichen EW, aber ich denke deine EV sind nicht richtig: (1,i, -2+i) statt (1,i, 2- i) müsste da herauskommen

[joko]

@clausi: mit pq-formel solltest du ja eigentlich auf die beiden weiteren eigenwerte [latex] $\lambda_{2/3} = 2 \pm i$[/latex] kommen.

die jagst du genau wie -1 durch die matrix und holst dir die werte für deinen eigenvektor. den kann man schon fast so ablesen.
es bleibt für 2+i:

-i  -1  0
5  -5  1-3i

(die zweite zeile is mist), noch zwei umformungen und man findet
v1=v1
v2=-v1*i
v3=(i+2)v1

setz v1 = 1 und alles is in butter

mein gleichungssystem sieht ein wenig anders aus....
in der 3. zeile komm ich auf 5 -5 -3-i

aber irgendwie kommt danach wenig schönes raus -.-

[Rollo-derWikinger]

@joko: tippfehler, my bad
@mech: schon möglich. hab aber ehrlich gesagt keine lust die aufgabe nochmal zu rechnen

[Rollo-derWikinger]

ok, ich hab noch mal was: august 2007 aufgabe 4b:
Mit Hilf der Taylor-Reihe der Funktion [latex]$e^x$[/latex] gebe man die Taylor-Reihe von f mit der Enwicklungsstelle [latex]$x_0=0$[/latex] an. Man bestimme mittels dieser den Wert [latex]$f^{(9)}(0)$[/latex] ohne neunmalige Differentiation von f.

[latex] $f(x) := (x^3-3)e^{-x}$[/latex]

in de lösung schreibt er einfach

[latex] $(x^3-3) \sum_{j=0}^{\infty}(-1)^j\frac{1}{j!}x^j$[/latex]

was einfach nur [latex] $(x^3-3)$[/latex] mal die Taylorreihe von [latex] $e^{-x}$[/latex] is. ich versteh nich so ganz, warum er die klammer so unbehelligt lässt. ??


außerdem krieg ich für märz 2005 1.b immer noch keine lösung. könnte das mal wer posten? demjenigen wäre ich sehr verbunden

[adeptus mechanicus]

2005 1.b) W1= 2i , W2= -2
 
einfach w = a + b i ein setzen in und dann nen koeffizientenvergleich mit i und nicht-i durchführen... man kommt auf 2 gl. und mit a und b hat man 2 unbekannte. oder nich ?

[florian1]

Hallo hat jemand von euch schon die aufgabe 6 b 2008 gerechnet ich komm da einfach nicht auf die lsg von großmann ich hab mit den ganzen so angefangen halt yp=cyh1, y`p=c`yh1+cyh1; y``p=c``yh1+c`yh1+cyh1+c`yh1 und das in die DGL eingesetzt Das problem ist, dass sich dann nicht alle cs so aufheben wie sie sollen es bleiben dann noch c``und c` in DGL übrig. Entweder hab ich nen Fehler in den Ableitungen (was ich aber nicht glaube) oder die Sache geht sio nicht vielleicht muss ich y`=z setzen um die Ordnung zu reduzieren aber selbst damit komm ich auch nicht auf die richtige Lösung. Also falls jemand die aufgabe gemacht hat und auf die richtige lsg gekommen ist, wäre es sehr nett wenn er das mal hier reinstellen könnte

[Rollo-derWikinger]

@mech: im prinzip schon, aber wie machstn mit den beiden gleichungen weiter?
ich hab dann

I: a²-b²+2a+2b=0
II:2ab+2b-2a-4=0

form ich die zweite nach a um komm sowas wie a= (2-b)/(b-1) raus und wenn ich das in die erste einsetz kommt großerhumbug raus, denn ich höchstens mit schätzen lösen kann.

übrigens is deine lösung richtig
[latex]\omega_1=-2\\
\omega_2=2i\\
\omega_3=2i-2\\$[/latex]

wobei -2 ja nicht wirklich ne komplexe lösung ist.
außerdem dachte ich immer die lösung wäre a und b wieder zusammengesetzt zu w=a+bi?

@florian: für die variation der konstanten reicht die 1. ableitung (n-1=1)
du müsstest ja rausbekommen haben:
[latex]
$y_1(x)=e^0=1\Rightarrow y_1'(x)=0\\
y_2(x)=e^x \Rightarrow y_2'(x)=e^x\\
y_h(x)=C_1y_1+C_2y_2$\\ \\
Variation der Konstanten:\\
$C_1'y_1+C_2'y_2=0\\
C_1'y_1'+C_2'y_2'=\frac{1}{2-e^{-x}}\\ \\
$C_1'+C_2'e^x=0\\
(C_1'\cdot 0)+C_2'e^x=\frac{1}{2-e^{-x}}\\
\Rightarrow C_2'=\frac{e^{-x}}{2-e^{-x}}$
Die Integration von C2 löst du dann mit Integral 246 im Merziger auf S.109\\
$C_1'=-C_2'e^x$ (Integral 245)\\ \\
$C_1=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}ln|2+e^{-x}|\\
C_2=-ln|2+e^{-x}|\\$[/latex]

das sollte die lösung sein wenn mans zusammensetzt.
hoffe ich konnte dir helfen

[Vakuole]

Klausur 2002 A1

Wir verstehen da die Schreibweise nicht, hat jemand einen Ansatz wie ich da bei der a dran gehen soll.

[MichaS]

Was verstehst du denn bei der Aufgabe nicht? Die Aufgabe sagt dir, wie lang dein Vektor a und b ist. Weiterhin sind die "Winkel" zwischen den Vektoren und den beiden Koordinatenachsen 1 und 2 gegeben. Dann nutzt du die Definition vom Skalarprodukt und bestimmst somit die einzelnen Komponenten: erst 1 dann 2. Die dritte erhälst du schließlich aus der Länge des Vektors und den mittlerweile bekannten Koordinaten, sowie der Kenntnis, dass cos(e3,a) >=0 ist.
und fertig...

[MichaS]

@rollo: jede reelle Zahl ist auch eine komplexe, daher ist 2 auch eine komplexe Zahl!

[Basti]

Aufgabe 5b Klausur vom februar 2008

Wie ist der rechenweg um auf die spezielle Lsg zu kommen v(x)? Danke