Lösungen zur Klausurensammlung

[bleda]

also wenn einer lösungen zu 2008er wdhl klausur hat, bitte melden.

[Rollo-derWikinger]

meinst du die Ma I/2 Wdh. Prof. Grossmann 29. Februar 2008?
die lösung gibts online http://www.math.tu-dresden.de/~grossm/hompag03.html

ansonst schick ma rüber die klausur

[aviator-sbh]

und wenn mich nicht alles täuscht geht die klausur auch von 7.30 - 10.30, das macht 3 std. also noch gut luft um sich zu verrechnen.
hat denn sonst noch keiner was gerechnet? 2004? 2005? feb 2007? anyone?

Tatsächlich, Du hast Recht! Dann ist der Stress ja halb so wild:D
Den mit 2h wärs schon ziemlich knapp. Dann hatte ich zumindest keine Zeit mehr, nach irgend welchen Fehlern zu suchen.

Ich hab die vom 29.2.08 auch gemacht. Die Lösungen stehen allerdings auch im Netz. Besteht trotzdem Interesse an LösungsWEGEN? Wenn nicht, mache ich mir nicht den Aufwand, das hier reinzuhacken.
Falls ja, könnte es aber bis morgen Vormittag dauern, denn heute Abend mach ich das nicht mehr.

[Rollo-derWikinger]

ok, ich hab was für dich:
kommst du bei aufgabe 1 auf die richtigen eigenwerte? wenn ja, wie? (vorgehen reicht)
ich bestimmte ganz normal das charakteristische polynom

[latex]$x^2 - 6x - 2xi - 12i + 8 = 0\\
(x^2 - 6x + + i(-2x-12)\\
(I): x^2 - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2; 4\\
(II): -2x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = -6$\\
[/latex]

das bringt mich aber nicht zur lösung
wenn ich x noch aufspalte x = a + bi komm ich auf was ganz bescheuertes

[dux]

hi hat vll jemand die klausur feb. 2008 gerechnet und könnte mal die 4b einigermaßen detailliert reinstellen
komme irgendwie nich auf die gegebene lösung vom prof. grossmann
danke schonmal

[Rollo-derWikinger]

ok, pass auf
[latex]$x^3 \sqrt(1+x^2) = \frac{d}{dx}[(\alpha + \beta x^2)(1+x^2)^{\frac{3}{2}}]$\\
rechte Seite ableiten nach x:\\
$2x\beta (1+x^2)^\frac{3}{2} + (\alpha + \beta x^2)\frac{3}{2}(1+x^2)^\frac{1}{2} \cdot 2x$\\
Ganze Gleichung durch $\sqrt{1+x^2}$ teilen:\\
$x^3 = 2x\beta (1+x^2) + 3x(\alpha +\beta x^2)$\\
Koeffizientenvergleich \\
$x^3 = x^3 (5\beta ) + x(3\alpha + 2\beta )$\\
(x³): $ 1 = 5\beta \Rightarrow \beta = \frac{1}{5}$\\
(x): $0 = 3\alpha + 2\beta \Rightarrow \alpha = \frac{-2}{15}$[/latex]

ach quark, du wolltest ja b!

[Rollo-derWikinger]

aber du hast ja die formel aus a), nur dass in der wurzel eben f'(x)² anstatt x steht
[latex] substituiere: $y=f'(x)=2x \\
y^2=4x^2\\
y^3=8x^3 \Rightarrow x^3=\frac{y^3}{8}\\ \\
\int x^3 \sqrt{1+x^2} = (-\frac{2}{15}+\frac{1}{5}x^2)(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\\
J_y = \frac{2\pi p}{8} \int y^3 \sqrt{1+y^2} = \frac{2\pi p}{8}(-\frac{2}{15} +\frac{1}{5}y^2)(1+y^2)^{\frac{3}{2}}$\\
mit $y=f'(x)=2x $ folgt \\

$J_y = \frac{2\pi p}{8}(-\frac{2}{15}+\frac{1}{5} 4x^2)(1+4x^2)^{\frac{3}{2}}$\\
in den Grenzen von 0 bis $\frac{\sqrt{3}}{2}$ :\\

J_y =58\pi$
[/latex]
irgendwo is noch der wurm drin oder ich hab mich verrechnet, aber so die richtung müsste es gehen. es fehlt mir noch irgendwo ein 1/2

[aviator-sbh]

Hab mir mal erlaubt, deine Rechnung zu korregieren:

[latex] substituiere: $y=f'(x)=2x \\
y^2=4x^2\\
y^3=8x^3 \Rightarrow x^3=\frac{y^3}{8}\\ \\
\int x^3 \sqrt{1+x^2} = (\frac{1}{5}x^2 -\frac{2}{15})(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\\
J_y = \frac{2\pi p}{8} \int y^3 \sqrt{1+y^2} = \frac{2\pi p}{8}(\frac{1}{5}y^2 -\frac{2}{15})(1+y^2)^{\frac{3}{2}}$\\
mit $y=f'(x)=2x $ folgt \\

$J_y = \frac{2\pi p}{8}(\frac{1}{5}4x^2 -\frac{2}{15})(1+4x^2)^{\frac{3}{2}}$\\
in den Grenzen von 0 bis $\frac{\sqrt{3}}{2}$ :\\

J_y = 58\pi$
[/latex]

Du hast das y in der ersten Klammer hinter dem [latex]$\frac{2\pi60}{8}$[/latex] an den zweiten Summanden geschrieben, statt an den ersten. Allerdings muss laut Lösung 29Pi rauskommen. Wo mein Fehler jetzt noch liegt, weiß ich nicht.
Außerdem ist Jy, wenn man 0 einsetzt nicht gleich 0, sondern 2Pi.

[Rollo-derWikinger]

^^ ich war grad am editieren, weil mir der fehler auch aufgefallen is. wo das 1/2 nun fehlt hab ich aber noch nich rausgefunden

[Brüllmücke]

Hat denn schon jemand ein "vollständiges" Ergebnis der Aufgabe 3 / Februar 2002 Großmann? Auf eine ähnliche pq Formel sind wir auch gekommen. Nur wie geht es weiter oO?

[aviator-sbh]

Hat denn schon jemand ein "vollständiges" Ergebnis der Aufgabe 3 / Februar 2002 Großmann? Auf eine ähnliche pq Formel sind wir auch gekommen. Nur wie geht es weiter oO?

Meinst Du die Aufgabe mit dem komplexen z und dem Parameter d?

Ich hab da als Lösung alle z mit Re(z) = Im(z). Dies findet man durch Überlegen folgendermaßen heraus: d² = Re(z)² + Im(z)², bzw. (x - 1)² + y² = x² + (y - 1)². Da beide linken Seiten = d bzw. d² sind, hab ich sie gleichgesetzt. Einmal wird 1 vom Realteil abgezogen und einmal vom Imaginärteil (z-i).
Man erkennt, dass sich die Gleichung nur für x = y lösen lässt.

[Brüllmücke]

Vielen Dank! Das ist es!

[tobi0123]

Aufgabe 3: quadratische formel gelöst und in z=x+ix eingesetzt
x1,2=(1+-sqrt(2d^2-1))/2 mit der einschränkung d ist reell und d>=sqrt(1/2)

z1=x1(1+i)
z2=x2(1+i)


Aufgabe 5:
auf die allgemeine, homogene lsg, die rollo hier gepostet hat, komm ich auch.
ansatz der partikulären lösung???
yp(x)=(a*sin(x)+b*cos(x))*x+c*e^(4x)*x^2+d*x+e

störfunktion r(x) in 3 summanden zerlegt. den ansatz für sin(x) hab ich mit x multipliziert, den ansatz für e^(4x) mit x^2 multipliziert und beim ansatz für x keine resonanz (!?)

[dizZzl]

also bei der 6.  von feb 2002

[latex]$ \lambda_{1} = -1 \\ \lambda_{2} = 2 + i \\ \lambda_{3} = 2 - i \\

\vec{EV_{1}} \left(\begin{array}{c}0\\0\\1 \end{array}\right)\\

\vec{EV_{2}} \left(\begin{array}{c}1\\-i\\i + 2 \end{array}\right)\\

\vec{EV_{3}} \left(\begin{array}{c}1\\i\\2 - i \end{array}\right)$[/latex]

soweit geh ich auch mit, wie du es bei den eigenvektoren siehst, sind die ja konjugiert komplex... und dann wie schon einmal gesagt, die allgemeine lösung nach dem vetters-blatt... das wird dann aber schon ziemlich lang...

was ich dann noch komisch finde, mit der anfangsbedingung... die sinus und e^x  fallen ja raus, bzw werden 1...also bleiben nur noch 5 C's übrig, lass ich die alle so stehn?

[Rollo-derWikinger]

jap, die 3 konstanten bleiben da so stehen. is halt die allgemeine lösung

[latex]
$y_h(x) = C_1 e^{-x}\left(\begin{array}{c}0\\0\\1 \end{array}\right)+C_2 e^{2x}[\left(\begin{array}{c}1\\0\\2 \end{array}\right)cos(x) - \left(\begin{array}{c}0\\-1\\1 \end{array}\right)sin(x)]\\+C_3 e^{2x}[\left(\begin{array}{c}1\\0\\2 \end{array}\right)sinx+\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1 \end{array}\right)cosx]$\\[/latex]

richtig eklig wäre nur, denn das system inhomogen wär, aber ich denk fr sowas gibts computer

für b kriegste dann ein gleichungssystem von C1, C2 und C3
I: C2 = 1
II: -C3 = 1
III: C1 + 2C2 + C3 = 1

Also C1=0 C2=1 C3=-1