Flächenmomente 2. Ordnung - Allgemeine Frage

[BastianP01]

Hallo,
 
leider konnte ich krankheitsbedingt nicht an der Konsultation für Fernstudenten teilnehmen in der Flächenmomente 2. Ordnung beschrieben wurde. Bin daher ziemlich aufgeschmissen und dankbar für jede Hilfestellung meiner Fragen:
 
1) Stimmt es, dass das Flächenmoment 2. Ordnung ein Mass für die Biegefestigkeit eines Objektes ist und dass das Material nicht wichtig ist sondern nur dessen Geometrie?
 
2) Ich verstehe leider überhaupt nicht die Formel Ixx (mit dem Integral).
Sagen wir mal, es handelt sich beispielsweise um ein Rechteck mit der Breite A und der Höhe 2A...Schwerpunkt natürlich in dessen Mitte. Wie gehe ich nun vor wenn ich die Flächenmomente ausrechen will?
 
3) Was genau bedeutet Ixx, Iyy und Ixy? Flächenmomente bezüglich der X-Fläche? Wie kann man das übersetzen?
 
Wahrscheinlich klingen die Fragen für erfahrende Studenten ziemlich blöd...aber in solchen Fächern war ich leider noch nie so gut und auch das Balke Buch versteh ich leider nicht so gut..
 
Dankeschön für die Hilfestellen...
 
ciao.
B.

[Kappi]

1. Ja das Flächenmoment definiert sich allein durch seine Form. Der Werkstoff spielt bei der Berechnung keine Rolle.

2. Für solche Standardquerschnitte (und damit hat man in den Aufgaben und Übungen fast ausschließlich zu tun) gibt es fertige Formeln in nahezu jeder Formelsammlung zur technischen Mechanik. In der Formelsammlung von Prof. Balke z.B. auf Seite 6. Da brauchst du nur die Abmessungen deines Profils einsetzen.

3. Die Indizes wie "xx" oder "yy" geben die Biegeachse an, um die das Profil "gebogen" wird. Der Index "xy" steht für das sogenannte Deviationsmoment. Dieses tritt nur bei unsymmetrischen Querschnitten oder bei unsymmetrischer Belastung auf.

[drmave]

Mir wird jetzt auch einiges klarer.

Kann mir jemand noch sagen wo genau der Unterschied zwischen den x ohne Strich und dem x mit dem Strich oben ist?

z.B.: bei Ixx (mit und ohne Strich)?


danke
S.

[Kappi]

Ob mit oder ohne Strich hängt von dem Koordinatensystem ab auf das du dich beziehst. Schau dir mal die Abbildungen in der Formelsammlung genau an. Dort liegt das Koordinatensystem ohne Strich immer genau im Schwerpunkt.

Mit Strich ist demzufolge ein beliebiges Koordinatensystem ausserhalb des Schwerpunktes. Dabei musst du immer noch den sogenannten Steiner-Anteil mit einrechnen. Wie das geht steht auch in der Formelsammlung.

[drmave]

Hey Kappi,

danke für die schnelle Antwort. Leider verstehe ich die Steiner Formel überhaupt nicht.

Was mache ich genau damit? Verstehe ich das also richtig, dass das x ohne Strich ein Koordinatensystem durch den Schwerpunkt ist und x mit Strich irgendwo ein beliebiges? Warum macht man sowas und was ist der Steiner Anteil?

danke nochmal

bis dann
S.

[Kappi]

Verstehe ich das also richtig, dass das x ohne Strich ein Koordinatensystem durch den Schwerpunkt ist und x mit Strich irgendwo ein beliebiges?
S.

Ja für unsere TM-Unterlagen stimmt das. Letztendlich hängt es davon ab wie du die Koordinatensysteme bezeichnest.

Den Steineranteil benötigst du um die Änderung des Trägheitsmoments zu berücksichtigen, wenn dein Koordinatensystem nicht im Schwerpunkt des Querschnitts liegt. Ich hab dazu auch in deinem separaten Thread geantwortet.

[drmave]

Kappi, du bist echt ne große Hilfe.

Kann man eigentlich wenn man z.B. ein Objekt hat, dass aus mehreren einfachen Formen (z.B. ein Dreieck zusammen mit einem Rechteck) besteht, die Ixx und Ixy einfach "addieren" oder muss man hierbei irgendwas noch beachten?

Was ist wenn ich einen Kreis habe in dessen mitte ein kleinerer Kreis "ausgestanzt" ist? Kann man den großen von dem kleinen abziehen?

Und eine Frage nochmal wegen dem Steiner Anteil. Wenn ich also die Formel anwenden möchte um ein anderes Koordinatensystem zu benutzen muss ich dann den x und y Wert von Schwerpunkt zum Quadrat dazu rechnen und dann die Gesamtfläche oder geht das nur einzelnd? Weißt du was ich meine..ich drücke mich irgendwie blöd aus..

danke nochmal..

[Kappi]

Also zu dem zusammengesetzten Körper:

Das steht auf Seite 7 der Formelsammlung. Das Trägheitsmoment setzt sich in diesem Fall aus der Summe der Trägheitsmomente der Teilflächen und wieder deren Steineranteil zusammen.

Beim Kreisring ist es so, dass du den Innendurchmesser vom Außendurchmesser subtrahierst, jeweils in der 4. Potenz.

Also ich glaube soweit ich den letzten Teil deines Posts verstanden hab dürfte das stimmen

[drmave]

Ja, genau so habe ich es gemeint :-) Dank dir. Habe heute weiter an den Aufgaben gearbeitet und, wie soll es auch anders sein, sind wieder ein paar Fragen aufgetreten... bin mir sicher, dass die für dich ne Kleinigkeit sind :-):

1) Bei den Aufgaben verstehe ich einfach nicht, wie man Ixy ausrechnen kann. Selbst bei der Musterlösung am Ende des Buches ist mir überhaupt nicht klar, wie die darauf kommen. Die Formel ist doch Ixy= -b^2*h^2*0,5...und wenn man verschiedene Teilflächen hat nimmt man doch die einzelnen Ixy und fügt diese mit der Formel auf Seite 7 zusammen, oder?

2) Es es richtig, dass man wenn man Ixx ausrechnen will die komplette Breite des Körpers verwenden muss (auch wenn man vorher den Körper anders zerteilt hat?). Analog Iyy..also die komplette Höhe egal wo vorher die Teilung war?

3) Sagen wir mal, ein Rechteck hat den Schwerpunkt genau in der Mitte. Jetzt möchte ich Iyy (mit Strich oben) ausrechnen. Dafür nehme ich ein Koordinatensystem, dass jetzt seinen Ursprung oben rechts hat. ist dann Iyy negativ?

4) Die Schwerpunkte bei den einzelnen Aufgaben berechne ich richtig. Jedoch haben die in den Lösungen dass Koordinatensystem an eine andere Stelle gesetzt. Daher sind meine xs und ys nicht richtig. (z.B. Aufgabe 9.1, oder 9.2 etc). Woher weiß ich, wo die das Koordinatensystem hingesetzt haben?

5) Kannst du mir mit einfachen Worten sagen, was ein Hauptträgheitsmoment ist?

6) und Warum gibt es zwei Tangens Formeln? die eine mit tan2 und die andere nur mit tan...wo ist der Unterschied.

Ich weiß, viele Fragen...Daher jetzt schonmal ein großes Dankeschön:

bis dann
S.

[DIGIT]

1) Bei den Aufgaben verstehe ich einfach nicht, wie man Ixy ausrechnen kann. Selbst bei der Musterlösung am Ende des Buches ist mir überhaupt nicht klar, wie die darauf kommen. Die Formel ist doch Ixy= -b^2*h^2*0,5...und wenn man verschiedene Teilflächen hat nimmt man doch die einzelnen Ixy und fügt diese mit der Formel auf Seite 7 zusammen, oder?

2) Es es richtig, dass man wenn man Ixx ausrechnen will die komplette Breite des Körpers verwenden muss (auch wenn man vorher den Körper anders zerteilt hat?). Analog Iyy..also die komplette Höhe egal wo vorher die Teilung war?

3) Sagen wir mal, ein Rechteck hat den Schwerpunkt genau in der Mitte. Jetzt möchte ich Iyy (mit Strich oben) ausrechnen. Dafür nehme ich ein Koordinatensystem, dass jetzt seinen Ursprung oben rechts hat. ist dann Iyy negativ?
 

Das FTM ist nicht nur Formelfummelei.

Was steckt dahinter?

Richtig, ein Flächenintegral, z.B. Int x^2 dA
Bei einem Rechteck ist die Breite b konstant, deshalb kannst Du es aus dem Integral nach vor ziehen.
bleibt übrig: z.B. b* integtral von -h/2 bis h/2 von x^2 dx (wenn Dein KS im Schwerpunkt liegt).
Integriert und Grenzen h/2 und -h/2 eingesetzt ergibt I = b*h^3/12.

Und wenn Du das einmal gemacht hast, dann kannst Du Dir diese Formel auch im Kopf ausrechnen.
Wenn nun Dein KS an der unteren Kante liegt: analog wie oben, Grenzen und von 0 bis h eingesetzt, im Kopf ausgerechnet: I = b*h^3/3

Somit lösen sich dann viele Deiner Fragen.

5) Kannst du mir mit einfachen Worten sagen, was ein Hauptträgheitsmoment ist?
 

Das sind die Trägheitsmomente in spezielle Richtungen, nämlich in jene Richtungen wo die Deviationsmomente verschwinden.
Physikalisch beschreibt das den selben Zustand. Aber ohne Deviationsmomente vereinfachen sich die Berechnungen.
analog Hauptspannung, Hauptmassenträgheitsmomente.
Immer der gleiche Grundgedanke.


PS:
Scheinbar hast Du kein ordentliches Buch zur Hand?

LG
DIGIT
lim->oo

[Kappi]

1. Die Formel für Ixy hängt vom Querschnitt ab. Da ich nicht weiß von welcher Aufgabe du sprichst kann ich dir da leider nicht weiterhelfen

2. Ja wenn du mit den fertigen Formeln rechnest (z.B. in Prof. Balkes Formelsammlung auf S.6), dann setzt du beispielsweise bei nem Rechteckprofil die Breite und die Höhe ein, beim Kreis entsprechend den Durchmesser.

3. In dem Fall rechnest du erstmal das Trägheitsmoment bezogen auf den Schwerpunkt aus. Entsprechend dem Satz von Steiner addierst du dann die Querschnittsfläche * x^2. Da dein Koordinatensystem in der rechten oberen Ecke, und somit rechts vom Schwerpunkt liegt, musst du einen positiven Wert einsetzen. Da der Abstand aber quadratisch in die Formel eingeht, ist er immer positiv, egal ob er rechts oder links vom Schwerpunkt liegt.

4. Das ist normal, deine Ergebnisse müssen nicht falsch sein nur weil du andere Werte raus hast. Das hängt immer davon ab wo dein Koordinatensystem liegt. Das in der Lösung verwendete Koordinatensystem wird auch immer in der Lösung mit angegeben.

5. Hauptträgheitsmomente stellen ein Maximum bzw. Minimum der zusammengesetzten Trägheitsmomente dar. Ihre Achsen müssen im rechten Winkel aufeinander stehen.

6. Mit der rechten Formel in der Formelsammlung kannst du direkt den Winkel der ersten Hauptachse berechnen. Bei der linken Formel bin ich mir grad auch nicht ganz sicher

[drmave]

Hey Kappi,

erinner mich bitte dran, dass ich dich mal ordentlich einlade wenn ich wieder in Dresden bin :-)

Wegen dem Vorzeichen Problem von vorhin..Beispiel an Aufgabe 9.6
Wenn ich Ixy1 und Ixy2 ausrechnen möchte, dann nehme ich die Balke Formel von Seite 6. Beide fangen doch mit "-" (Minus) an...warum ist dann in der Lösung Ixy1 Positiv und nur Ixy2 negativ?

Ich checke einfach nicht, wie ich bei Aufgabe 9.7 Ixy ausrechnen kann. Selbst die Lösung ist mit nicht einsichtig. Ich würde die Balke Formeln wieder nehmen auf Seite 6...dann eventuell mit Formeln oben auf Seite 7 zusammenfassen...geht nicht. Wie kommen die auf die Zahlen?

Dank dir...bist echt ne große Hilfe..
bis dann
S.

[Nick]

So, nun haeng ich mich mal noch kurz rein:

Hey Kappi,

Wegen dem Vorzeichen Problem von vorhin..Beispiel an Aufgabe 9.6
Wenn ich Ixy1 und Ixy2 ausrechnen möchte, dann nehme ich die Balke Formel von Seite 6. Beide fangen doch mit "-" (Minus) an...warum ist dann in der Lösung Ixy1 Positiv und nur Ixy2 negativ?

Ich checke einfach nicht, wie ich bei Aufgabe 9.7 Ixy ausrechnen kann. Selbst die Lösung ist mit nicht einsichtig. Ich würde die Balke Formeln wieder nehmen auf Seite 6...dann eventuell mit Formeln oben auf Seite 7 zusammenfassen...geht nicht. Wie kommen die auf die Zahlen?

Die Transformation mit dem Steiner Anteil ist bei den Deviationsmomenten so eine Sache. Prinzipiell wird der Steiner immer mit "Abstaenden" definiert; zumindest werden die Worte so gewaehlt. Jedoch sind das eigentlich die Korrdinatenwerte. Ich erklaer das mal kurz am Beispiel von I_xx:

Nehmen wir ein Rechteck mit Breite b und Hoehe h und legen das gewaehlte Koordinatensystem [ich bezeichne es jetzt mit x' und y'] links unten auf die Ecke und NICHT in den Schwerpunkt, welcher sich bei dieser Wahl dann bei (x'_s, y'_s)=(0.5b, 0.5h) befindet.
Das Vorgehen ist je mittlerweile klar. Man nimmt das I_xx bezogen auf den Schwerpunkt (I_xx=1/12*bh^3) und muss es nun noch auf die interessierenden Achsen transformieren. Und zwar mit dem Steiner Anteil. Dieser ist hier Flaeche*(y-Koordinate)^2 des Schwerpunktes im gewaehlten Koordinatensystem; also: bh * (y'_s)^2 = 'Steiner'
Hier ist zu erkennen, dass es NIEMALS einen negativen Steiner Anteil geben kann, wenn es sich um die FTM handelt, welche zweimal denselben Index haben (I_xx, I_yy, I_zz)!!!

Kommen wir nun zum Deviationsmoment. Aus der FS sehen wir, dass ein Rechteck kein Deviationsmoment bezogen auf seinen Schwerpunkt besitzt I_xy=0. ABER bezogen auf unser Koordinatensystem links unten kann durchaus ein I_x'y' vorhanden sein.
Vorgehen ist aehnlich: Teildeviationsmoment bezogen auf Teilflaechenschwerpunkt + Steiner Anteil.
Die Definition des Deviationsmomentes beinhaltet ein Minuszeichen und demnach sieht die Formel fuer den Steiner Anteil auch etwas anders aus.
'xy-Steiner' = -Flaeche * (x' * y')
Entweder man macht das so und addiert das Ergebnis fuer diesen Steiner Anteil, oder man laesst das Minus weg und zieht das Ergebnis vom I_xy der Teilflaeche ab.

Konkret fuer unser Rechteck: zur Erinnerung: Schwerpunkt bei +b/2 und +h/2
I_x'y' = 0 - bh * (x'_s * y'_s) = -bh* 1/2b*1/2h = -1/4 b^2 * h^2
Nochmal: es sind die Koordinaten des Teilflaechenschwerpunktes einzusetzen.

Wenn wir das gewaehlte Koordinatensystem rechts oben hinsetzen wuerden, dann waere die Formel so: Schwerpunkt bei -b/2 und -h/2
I_x'y' = 0 - bh * (x'_s * y'_s) = -bh* (-1/2b)*(-1/2h) = -1/4 b^2 * h^2

Bei links oben: Schwerpunkt bei +b/2 und -h/2
I_x'y' = 0 - bh * (x'_s * y'_s) = -bh* 1/2b*(-1/2h) = 1/4 b^2 * h^2

und so weiter.

Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

[Serenitatis]

Hey Kappi,

erinner mich bitte dran, dass ich dich mal ordentlich einlade wenn ich wieder in Dresden bin :-)

Wegen dem Vorzeichen Problem von vorhin..Beispiel an Aufgabe 9.6
Wenn ich Ixy1 und Ixy2 ausrechnen möchte, dann nehme ich die Balke Formel von Seite 6. Beide fangen doch mit "-" (Minus) an...warum ist dann in der Lösung Ixy1 Positiv und nur Ixy2 negativ?

Ich checke einfach nicht, wie ich bei Aufgabe 9.7 Ixy ausrechnen kann. Selbst die Lösung ist mit nicht einsichtig. Ich würde die Balke Formeln wieder nehmen auf Seite 6...dann eventuell mit Formeln oben auf Seite 7 zusammenfassen...geht nicht. Wie kommen die auf die Zahlen?

Dank dir...bist echt ne große Hilfe..
bis dann
S.

Hi

Das Fettgedruckte würde mich auch mal interessieren, denn das versteh ich nicht.
Wie das mit dem Steineranteil funktioniert ist mir klar.
Aber wenn man nur Ix'y' ausrechnen will mit diesen genannten Formeln muss das Ergebnis doch beides mal negativ sein, oder?

Ich hab das Koordinatensystem so gesetzt wie in diesem Thread:

http://www.bombentrichter.de/showthread.php?t=12701&highlight=*9.6*

Ich hab die gleichen Schwerpunkte raus wie im Thread.
Und löse die Aufgabe mit den Balke-Formeln auf Seite 7 oben und setze das Ergebnis dann in die umgestellten Formeln auf Seite 5 unten ein.
Damit treten aber ein paar Fragen/Probleme auf.
Meine Lösungen:
Ix'x' und Ixx sind richtig
Iy'y' =168,75 ist falsch
Iyy ist richtig (komischer Weise)
Ix'y' =-103,125 ist falsch (dies betrifft die Frage zum Fettgedruckten siehe oben)
Ixy ist richtig (komischer Weise)

Hab ich die falsche Vorgehensweise oder wo steckt der Wurm drin?

[m_ustang]

kann bitte jemand unbedingt die frage im fettgedruckten beantworten?
ich verstehe das auch nicht... in der formel ist ja das minus da....