Skalarfelder, Vektorfelder

[André 8]

Hallo Zusammen,

zum im Titel genannten Thema hab ich eine Reihe an Fragen.

1. Es ist ein Skalarfel mit U=x*y*z*(x^2+y^2-z^2) gegeben
a) für welche Punkte gilt grad U = o?
    Hier verstehe ich nicht, was mit dem fettgedruckten o gemeint ist (Ortsvektor?).
    grad U zu bestimmen ist kein Problem. Wie ist der Ansatz zur Erfüllung der Gleichung
    in a)
b) Wo ist grad U prallel zur x,y-Ebene?
    Muss ich hierzu die partiellen Ableitung nach dx und dy = 0 setzen? Wie ist hier die
    Vorgehensweise? Wie ist das geometrisch zu verstehen?

2. Gegeben: Skalarfeld U
                    r=x*e1 + y*e2 + z*e3
                    a ist ein konstanter Vektor
    Gesucht: Gestalt der Niveauflächen/für mich bedeutet das U als konstant an zu
    nehmen
b) U=a*r ; Wie komme ich hier auf die Gestalt der Niveauflächen
c) U=r
e) U=1/r

3. Gegeben: skalares Feld U=x^2*y + y^2*z + z^2*x
                  Punkt P(1;2;1)
b) Gesucht: dU/da für a = (1;2;3)^T
c) dU/dn in Richtung grad U/ist n der Normalenvektor der senkrecht auf dem
   Skalarfeld steht?

Mir sind die Zusammenhänge zwischen den Skalarfeldern und den Vektoren a, r, n, .. oder des Betrags eines Vektors total unverständlich. Was zeigt mir der Gradient im Bezug auf die Niveauflächen? Mit dem Gradient eines Skalarfeldes kann doch die Größe und Rictung der Steigung entlang des Skalarfeldes berechnet werden. Da der Gradient meist Variable enthält kann ich doch erstmal nichts damit anfangen?

MFG
André

[Hägar]

Hallo Zusammen,
 
zum im Titel genannten Thema hab ich eine Reihe an Fragen.
 
1. Es ist ein Skalarfel mit U=x*y*z*(x^2+y^2-z^2) gegeben
a) für welche Punkte gilt grad U = o?
Hier verstehe ich nicht, was mit dem fettgedruckten o gemeint ist (Ortsvektor?).
grad U zu bestimmen ist kein Problem. Wie ist der Ansatz zur Erfüllung der Gleichung
in a)
b) Wo ist grad U prallel zur x,y-Ebene?
Muss ich hierzu die partiellen Ableitung nach dx und dy = 0 setzen? Wie ist hier die
Vorgehensweise? Wie ist das geometrisch zu verstehen?
 
2. Gegeben: Skalarfeld U
r=x*e1 + y*e2 + z*e3
a ist ein konstanter Vektor
Gesucht: Gestalt der Niveauflächen/für mich bedeutet das U als konstant an zu
nehmen
b) U=a*r ; Wie komme ich hier auf die Gestalt der Niveauflächen
c) U=r
e) U=1/r
 
3. Gegeben: skalares Feld U=x^2*y + y^2*z + z^2*x
Punkt P(1;2;1)
b) Gesucht: dU/da für a = (1;2;3)^T
c) dU/dn in Richtung grad U/ist n der Normalenvektor der senkrecht auf dem
Skalarfeld steht?
 
Mir sind die Zusammenhänge zwischen den Skalarfeldern und den Vektoren a, r, n, .. oder des Betrags eines Vektors total unverständlich. Was zeigt mir der Gradient im Bezug auf die Niveauflächen? Mit dem Gradient eines Skalarfeldes kann doch die Größe und Rictung der Steigung entlang des Skalarfeldes berechnet werden. Da der Gradient meist Variable enthält kann ich doch erstmal nichts damit anfangen?
 
MFG
André

1. a) Mit fettgedrucktem o ist der 0-Vektor gemeint (0,0,0). Ansatz ist z.B. des Gleichungssystems für grad U = 0. Keine Ahnung, ob das GlS linear (dann ist die Lösung z.B. it Gauss möglich) oder nicht linear ist...
b) Sehe ich auch so. x- und y- Komponente von grad U = 0 setzen.
 
2. a) Ja, gehe auch davon aus, dass die konstantes U wollen.
b) so eine Art Diamantform?
c) Etwas rautenförmiges?
d) keine Ahnung
 
3. b) Ich verstehe, was sie wollen, aber hab grad nicht im Kopf wie man das ausrechnet. Sie wollen wissen, wie sich das Skalar U in der Richtung a ändert. Möglicherweise ist das die Projektion vom Gradienten in dieser Richtung... aber keine Ahnung.
c) Ja, den Vektor senkrecht du grad U würd ich auch denken...

[André 8]

Mal eine Frage,

woher weißt Du das Ganze.

Hast du vorher Mathe studiert?
Ich beiß mir da die Zähne aus und bei Dir kommt da eine Lösung nach der Anderen.
Erstaunlich finde ich, dass Du Imma 2004 bist und das eigentlich nicht mehr relevant für Dich sein müsste.

Find ich echt super Deine Hilfsbereitschaft und Dein Wissen.

Vielen, Vielen Dank für Deine Hilfe!!

MFG
André

[Hägar]

Haha, nee hab kein Mathe studiert. Mathe I und II grad so bestanden... Aber viel Strömungsmechanik gemacht, und da braucht man einiges an Vektoranalysis. Aber die Fragen hier sind schon etwas zu speziell für mich. Aufgabe 1 geht noch, aber den Rest muss ich wirklich raten, oder mich näher damit beschäftigen. Wobei ich mir bei Aufgabe 3 noch halbwegs sicher bin... Aufgabe 2 würde ich wahrscheinlich einfach mal mit Matlab ausrechen und mir isosurfaces plotten lassen. Diese Rautenform ist echt nur geraten und vermutlich nicht richtig...

[André 8]

Kannst Du das mal übers Programm laufen lassen und die Bilder online stellen?
Natürlich nur wenn das nicht den absoluten Zeitaufwand bedeutet.
Vieleicht kann ich mit den Bildern ein besseres Verständnis erreichen.

Das wäre echt klasse von Dir.
Ich habe leider keine Programme dafür und da ich nicht so ganz durchsehe, ist die manuelle Darstellen durch mich warscheinlich absolut falsch.

MFG
André

[Honda86]

Soweit ich mich erinnere musste für die Niveauflächen der gradU als konstant gesetzt werden um dann zu schauen wie sich das ganze verhält für verschiedene konstante Werte. Das ist kwasi wenn man ne Landkarte mit verschiednen Höhenlinien hat um sich das ganze ein wenig 3D vorstellen zu können.
Und bei 3. wendest du nur die Richtungsableitung an, steht auch alles in der schwarzen Formelsammlung drin dazu.
Der Gradient an sich ist ja immer von einem Punkt x,y,z abhängig, das heißt du musst erst einen Punkt einsetzen um dann an dieser Stelle die Richtung (Gradient als Vektor) und Größe des stärksten Anstieges (Betrag des Gradientenvektors) zu erhalten.
PS: Übungen besuchen bringt es auch

[Hägar]

PS: Übungen besuchen bringt es auch

P.S. Fernstudium


[EDIT: Zitat gekürzt :sleep: -- Caipiranha]

[Hägar]

Kannst Du das mal übers Programm laufen lassen und die Bilder online stellen?

Morgen vielleicht...

[Honda86]

PS: Schade

[André 8]

Wie berechne ich eigentlich

grad f(x0) * Vektor a/Betrag Vektor a         formal?

Der Gradient ist ein Vektor und die Komponenten des Vektors a durch den Betrag des Vektors a ergibt ebenfals einen Vektor (Betrag des Vektors gibt einen Skalar, der durch jede Komponente des Vektors a dividiert werden muss) . Wie multipliziere ich diese zwei Vektoren mit jeweils zwei Komponenten aus?

MFG
André

[Saimat]

Das ist ein Skalarprodukt.

[André 8]

Vielen Dank für die schnelle Hilfe.

Kannst Du mir zu der Eingangs beschriebenen Aufgabe 1.b) auf folgende Lösung komme?
Der Grad U ist parallel zur x,y-Ebene in folgenden Punkten
- der Ebene x=0
- der Ebene y=0
- Mantelpunkte Doppelkegel mit x^2+y^2=z^2

Die Aufgabe 1.a) habe ich mit dem Ansatz grad U = (0;0;0) über Gleichungssystem gelöst.
Die Lösungen habe ich in U jeweils eingesetzt und dann kam ich auf die Lösung im Buch.
Das gleiche Führe ich bei der Teilaufgabe 1.b) durch nur mit dem Unterschied, dass ich die 3. Komponente des grad U nicht = Null setze. Da komme ich aber auf die gleichen Ergebnisse wie in a) nur dass ich mit der letzten Gleichung Z-Komponente von grad U nichts anfangen kann. Ein Gleichungssystem kann ich auch nicht aufstellen, da mir eine Gleichung zu drei unbekannten Fehlt.

Wie geht man da richtig vor?
Ich habe keinen Schimmer!!!!

Mir ist klar dass der Gradient in X-Richtung und Y-Richtung keine Steigung haben darf da in diesm Bereich U parallel zu der x,y-Ebene ist. aber dann was das auch mit dem Verständnis.

MFG
André

[Saimat]

Parallel zur x-y-Ebene bedeutet, dass die z-Komponente 0 sein muss. Dabei kann man dann x*y ausklammern. Der Rest in der Klammer ergibt sicher den Kegel.

[TKK-Club]

2. Gegeben: Skalarfeld U
                    r=x*e1 + y*e2 + z*e3
                    a ist ein konstanter Vektor
    Gesucht: Gestalt der Niveauflächen/für mich bedeutet das U als konstant an zu
    nehmen
b) U=a*r ; Wie komme ich hier auf die Gestalt der Niveauflächen
c) U=r
e) U=1/r

Zu der Aufgabe hier...Also ich verstehe das folgendermaßen...

zu b)
1. U=const.=a*r=C
2. a*(x + y + z) = C
3. umgestellt folgt: z = - x - y + C/a

zu c)
1. U=const.=r=C
2. x + y + z = C
3. z = - x - y + C

zu d)
1. U=const.=1/r=C
2. x + y + z = 1/C
3. z = - x - y + 1/C

Mit diesen Gleichungen fällt dann sicher auch die geometrische Deutung einfacher...

Ich hoffe, dass ist so richtig.

[Saimat]

Ich denke bei c) und d) ist r der Betrag vom r-Vektor.