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Übungsaufgaben 1./2. Semester / Lagrange-Multiplikation

« on: August 03, 2007, 07:25:19 pm »

Zu 2. Nein, gibt es nicht. Hier musst du kreativ sein. Aber bei uns sind die Aufgaben meistens so konstruiert, dass Lösungen auffindbar sind. Im Normalfall gehts sogar nur numerisch.
 
Zu 1.
Im Prinzip alles richtig, was du sagst. Lagrange ermittelt Extrema mit Nebenbedingungen. D.h. im Endeffekt die Extremwerte der Schnittkurve zweier (oder mehrerer) Flächen (so kann man sich das im R3 vorstellen). Mittels dem Gradienten der Lagrange-Funktion findest du Extremwert-verdächtige Punkte raus. Die tatsächlichen Extrema mit Nebenbedinungen sind jedoch nur die Sattelpunkte der Lagrange Funktion. Das prüfst du mit der Determinante der Hesse-Matrix, richtig. Damit weißt du aber noch nicht, was Minima, Maxima und Sattelpunkte der Schnitt-Raumkurve sind. Um das rauszukriegen brauchst du zuerst den Tangentialraum an die Nebenbedingung. Dabei nutzt man, dass der Gradient senkrecht auf der Funktion(sfläche) steht. Also bildet man alle Vektoren, deren Skalarprodukt mit dem Gradienten (der betrachteten Nebenbedingung) 0 ist. Die Vektoren die du da kriegst bilden im Prinzip eine (Hyper)Ebene. Nun prüfst du mit der Formel, die du schon genannt hast, was passiert, wenn man die Hesse-Matrix der Lagrangefunktion (im zu untersuchenden Punkt) mit diesen Vektoren multipliziert. Kriegt man auf jeden Fall was Positives, handelt es sich um ein Minimum. Ist das Ergebnis auf jeden Fall Negativ, ist es ein Maximum. Kriegt man 0, hat man wahrscheinlich einen Wendepunkt der Raumkurve vor sich. Was man hier macht, ist nichts anderes als eine Annäherung durch ein Taylor-Polynom 2. Grades.
 
Wenn du wirklich verstehen willst, warum und wieso das funktioniert empfehle ich dir Folgendes:
Mach dir ne Skizze, in der du genau in die Schnittkurve zweier beliebiger R3-Flächen "reinschaust" (also die Ebene, in der du die Skizze machst, muss senkrecht zur Schnittkurve liegen). Dabei kriegst du irgendwas was aussieht wie ein "X" (wie gesagt, die Flächen können beliebig sein; mal dir also irgend ein bissel geschwungenes X). Und dann überleg dir, was genau passiert, wenn du auf diese beiden Funktionen das Lagrange-Verfahren anwendest (das machst du jetzt natürlich nur für einen speziellen Punkt, aber es geht für alle anderen Punkte genauso). Leg dir dazu einfach mal ein beliebiges Lamda (am besten 1) fest und addiere dann die Kurven und zeichne das Resultat ein. Wenn du die beiden Kurven dann noch linear annäherst (in dem Punkt, in dem die Nebenbedingung die x-y-Ebene schneidet - von der siehst du natürlich bloß die Spur), siehst du sogar, wie die Lamdas zustande kommen (nämlich genauso, dass die Addition der beiden linearen Funktionen, von denen eine mit Lamda multipliziert wird, eine neue lineare Funktion mit Anstieg 0 ergibt). Mit der ganzen Überlegung wird auch ersichtlich, warum die gesuchten Extrema IMMER Sattelpunkte der Lagrange-Funktion sind.

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Prüfungen/Testate 1./2. Sem. / Großmann Klausur 2005/1 - Seite 5

« on: August 10, 2007, 12:04:20 pm »

Musste mal deine Formelsammlung bemühen: "d'Alembertsches Reduktionsverfahren" glaub ich. Es geht aber auch ohne Formelsammlung, indem man den Ansatz in die DGL einsetzt (mit den entsprechenden Ableitungen von y1(x)*v(x) natürlich->Kettenregel) und dann v(x) ausklammert und merkt, dass da dahinter die Lösung der homogenen DGL (also 0) steht und dann v'(x)=z(x) setzt. Den Rest kann man mit TdV lösen. Das führt in diesem Fall sogar auf einfachere Integrale als wenn mans mit Formelsammlung macht. Dafür ist der Aufwand vorher höher.

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Gemeldete Beiträge / Beitrag gemeldet von sandmann

« on: August 06, 2007, 02:47:28 pm »

Es haben ganz viele gleich am Anfang resigniert und gesagt: "Is mir eh egal, ich hab in Info 1 meine 3,0, was soll mir noch passieren?".
Insgesamt war der Inhalt der Vorlesung für Leute ohne Vorkenntnisse völlig überzogen. Ich selber hab früher viel C++ programmiert und fands daher alles recht einfach. Aber wenn ich mir vorstelle, das ohne irgendwelche Vorkenntnisse lernen zu müssen, würde ich ganz einfach sagen: Es ist nicht nur schwer, sondern so gut wie unmöglich (weil die Vorlesung bringt für jemanden, der kein Vorwissen hat, so gut wie nichts. Und wenn man selber lernen muss, hat man UML, Java, JavaDoc, Objektorientierung, ... zu begreifen und es gibt auch noch andere Fächer).
Und wenn ich dann in der Vorlesung beim Thema "Analyse- und Entwurfsphase" höre: "Naja, das werden Sie später in der Praxis alles noch am eigenen Leib erfahren", da könnte ich echt platzen (wollen wir Maschinenbauer oder Software-Entwickler werden?).
Also: Handlungsbedarf besteht auf jeden Fall noch.

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Übungsaufgaben 1./2. Semester / Lagrange-Multiplikation

« on: August 06, 2007, 05:30:26 pm »

Achtung: Die Erklärung (die ich im letzten Abschnitt des vorherigen Posts allgemein zu Lagrange gegeben hatte), ist so nicht ganz vollständig. Hab mich heute, nachdem es noch ein paar Unklarheiten gab, etwas intensiver damit auseinandergesetzt und eine bessere gefunden. Die richtige Erklärung beruht darauf, dass die Gradienten der Ausgangsfunktion und der Nebenbedingung die gleiche Richtung aufweisen müssen, wenn ein Extremwert vorliegen soll. Das kann man sich verdeutlichen, indem man bei gegebener Funktion z(x,y) und Nebenbedingung g(x,y)=0 von oben auf die x-y draufschaut und mal für eine Beispielfunktion (z.B. 18.19 a) ausm Ü1) die Höhenlinien einzeichnet und dann noch g(x,y) einzeichnet. Wenn man ein wenig räumliches Vorstellungsvermögen hat, wird einem daran klar, wieso die Gradienten beider Funktionen die gleiche Richtung aufweisen müssen, wenn ein Extremum vorliegen soll. Die Lagrange-Funktion ist dann die Mathematische Formulierung des Sachverhalts (der Gradient soll bei Subtraktion der beiden Funktionen 0 werden - und ob man nun addiert oder subtrahiert ist egal, da sich nur das Vorzeichen von Lamda ändert), wobei das Lamda daher kommt, dass zwar die Richtung des Gradienten als notwendige Bedingung gleich sein muss, aber die Beträge nicht zwangsläufig gleich sein müssen. Bei Bedarf kann ich auch mal nen Bildchen machen. Ich hoffe jetzt stimmts ...

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Prüfungen/Testate 1./2. Sem. / Prüfungsvorbereitung

« on: August 06, 2007, 08:04:40 pm »

Zum Bolzen mit Splintloch:
Die Toleranz vom Splintlochabstand ist doch in der Aufgabe völlig irrelevant, da ja schon mit dem Mindestmaß des Abstandes (nämlich die 6 mm) die Sicherung nicht mehr möglich ist (Bolzen steht nicht weit genug über). Wenn der Splintlochabstand größer wird (es heißt ja "mindestens 6mm"), wirds ja nur schlimmer - sprich das Splintloch wird dann noch mehr vom Blech überdeckt.
Und da ja nur gefragt ist, ob die Sicherung möglich ist oder nicht und die Frage sich auch ohne die Toleranz des Splintlochabstandes klären lässt, kann man guten Gewissens die 6 mm für Go und Gu annehmen.

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Gemeldete Beiträge / Beitrag gemeldet von sandmann

« on: August 06, 2007, 06:32:48 pm »

Vor allem musste man ne Schreibmaschine sein, um das zeitlich zu schaffen. Denn, was viele nicht mitbekommen haben, man musste alle (!) Klassen, die man eingeführt hat als Quellcode verfassen (Klassen, Attribute, Methodenrümpfe). D.h. ich habe ca. 45 min lang nur hirnrissig Quellcode aufs Papier geschrieben (war ja immer wieder dasselbe -> ausschließlich Schreibarbeit). Konnte das kaum glauben als ichs in der Aufgabenstellung gelesen habe, aber Herr Kumichel hat auf Nachfrage gesagt, dass es so sei.

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Prüfungen/Testate 1./2. Sem. / Großmann Klausur 2005/1 - Seite 5

« on: August 06, 2007, 09:09:06 pm »

@flip
Ich hab bei Konvergenzradius 2 raus (bild ich mir ein, hab die Lösung nicht hier). Kanns sein, dass du versehentlich 1/r berechnet hast (weil so stehts in der Formelsammlung)?.
Für die Randpunkte hab ich bei -7 Konvergenz nach Leibniz und bei -3 Divergenz aufgrund von Minorante 1/k.
Bei der b) hatte ich als Grenzwert 2 raus. Hatte das auch noch mit Taschenrechner geprüft. Sollte also stimmen.

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Prüfungen/Testate 1./2. Sem. / Großmann Klausur 2005/1 - Seite 5

« on: August 06, 2007, 09:46:31 pm »

Also kurzer Lösungsweg: Man geht von der oben gegebenen Formel aus. Dann wird sowohl die linke als auch die rechte Seite abgeleitet (man darf ja im Inneren des Konvergenzbereichs gliedweise Differenzieren). Dabei beachten, dass nach der Ableitung die Summation von 1 bis Unendlich läuft (weil Konstante abgeleitet 0 ist). Nun noch beide Seiten mit x multiplizieren und man hat dastehen, was man braucht.

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« on: August 06, 2007, 11:02:13 pm »

scheinbar hat es dieses jahr die leute aber irgendwie nich so gestört wie letztes jahr, vllt hat sich ja doch was geändert?! :blink:

Ihr habts doch selbst so gewollt

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Prüfungen/Testate 1./2. Sem. / Klausur 2007

« on: August 07, 2007, 01:20:45 pm »

Ja, war sehr knapp ... ich hatte allerdings auch die 3. Aufgabe nicht komplett durchgelesen und selber Toleranzen rausgesucht, ohne die Tabelle mit den gegebenen Bedingungen gelesen zu haben ... wenn das nicht gewesen wär, hätts schon gepasst.
Aber dieses Jahr waren die Aufgaben (insbesondere bei der gießgerechten Gestaltung) absolut uneindeutig gestellt (im Gegensatz zur Testklausur), bzw. so pauschal überhaupt nicht zu beantworten (z.B. die mit der Teilungsebene - bedeutet "durch das größte Maß legen" entlang dieses Maßes oder quer dazu?). Aber naja, ist auch egal - ist vorbei ... jetzt zählts für Mathe.
 
Gab glaub ich so um die 45 Punkte.

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Übungsaufgaben 1./2. Semester / Lagrange-Multiplikation

« on: August 07, 2007, 01:34:29 pm »

Also bei Extremwerten mit Nebenbedingungen kommst du zum Prüfen auf Minima/Maxima mit der Hesse-Matrix der Lagrange-Funktion nicht so einfach weiter, wie du es beschrieben hast. Denn: Die Extremwerte mit Nebenbedingung sind IMMER Sattelpunkte der Lagrange-Funktion. D.h. die notwendige Bedingung ist, dass der Gradient 0 ist und das ein Sattelpunkt vorliegt (mit Hesse-Matrix der Lagrange-Funktion zu prüfen). Wie die Prüfung auf die Art der Extrema geht, hatte ich in meinem ersten Post/erster Teil beschrieben.
 
Bei komplexen Eigenwerten wird einfach komplex weitergerechnet (d.h. das Gauß-Verfahren dann halt komplex angewandt).

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Prüfungen/Testate 1./2. Sem. / Großmann Klausur 2005/1 - Seite 5

« on: August 08, 2007, 06:06:12 pm »

Wie kommste drauf, dass die Länge bei beiden Kurven 1 ist? Bei C1 (Halbkreis) ist meine Länge [latex]$\pi$[/latex] und bei C2 [latex]$\frac{14}{3}$[/latex]

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Prüfungen/Testate 1./2. Sem. / Großmann Klausur 2005/1 - Seite 5

« on: August 07, 2007, 04:45:22 pm »

Also zur 2b:

[latex]$\sum_{k=0}^{\infty}{x^k}=\frac{1}{1-x}$[/latex]
Das Ganze auf beiden Seiten abgeleitet:
 [latex]$\sum_{k=1}^{\infty}{kx^{k-1}}=\frac{1}{(1-x)^2}$[/latex]
Mit x multipliziert:
  [latex]$\sum_{k=1}^{\infty}{kx^{k}}=\frac{x}{(1-x)^2}$[/latex]
Damit hat man dastehen, was man braucht. Nun noch für x 0,5 einsetzen und es passt:
  [latex]$\frac{0,5}{(1-0,5)^2}=2$[/latex]

Zur 3a:
Du kriegst doch als erstes mal Lösungen folgender Form für die Eigenwerte [latex]$\lambda_{1,2}=a\pm{ib}$[/latex]
Mit den komplexen Eigenvektoren
 [latex]$u_{1,2}=\alpha\pm{i\beta}$[/latex]
erhält man
[latex]$\hat{y_1}=(\alpha+i\beta)e^{(a+ib)t}\\
\hat{y_2}=(\alpha-i\beta)e^{(a-ib)t}$[/latex]
Das ganze überführst du in die trigonometrische Form (der Einfachheit halber am Besten noch ohne Konstanten).
Um die komplexen Werte zu beseitigen, werden im Allgemeinen die folgenden Operationen angewendet, um zwei reelle, linear unabhängige Lösungen zu gewinnen:
[latex]$y_1=\frac{1}{2}(\hat{y_1}+\hat{y_2})=e^{ax}(\alpha \cos{(bt)}-\beta \sin{(bt)})\\
y_2=\frac{1}{2i}(\hat{y_1}-\hat{y_2})=e^{ax}(\beta \cos{(bt)}+\alpha \sin{(bt)})
$[/latex]
Hoffe mal, das stimmt jetzt so ... aber Tippfehler vorbehalten, müsste es so funktionieren.

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Prüfungen/Testate 1./2. Sem. / Großmann Klausur 2005/1 - Seite 5

« on: August 07, 2007, 06:10:28 pm »

@Loggisch:
Das wurde in der Vorlesung hergeleitet. Ist vielleicht ne Sache für den Zettel den wir selbst beschreiben dürfen ... aber man müsste es sich auch grade so merken können ...

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Prüfungen/Testate 1./2. Sem. / Großmann Klausur 2005/1 - Seite 5

« on: August 07, 2007, 10:02:33 pm »

Na c kannste doch beliebig wählen, um das lineare Gleichungssystem zu erfüllen, da es ja überall mit 0 eingeht. Also korrekterweise ist c ein frei wählbarer Parameter (wenn man die Eigenvektoren immer "sauber" mit Parametern bestimmt und nicht willkürlich was festlegt, kommt man ganz automatisch auf die Konstanten, ohne sie dann am Schluss noch vor die Lösungen klatschen zu müssen - und da ne einfache lineare DGL mit konstanten Koeffizienten auch Sonderfall eines entsprechenden DGL-Systems ist, bzw. sich in ein solches überführen lässt, sind die Konstanten auch über die parameterabhängigen Eigenvektoren zu erklären).
Insbesondere wenns um Hauptvektoren geht, ist es glaub ich sogar der sicherere Weg, dass ganze Gleich mit den Parametern durchzuziehen (jedenfalls wenn die Matrix einfach ist - also viele Nullen hat). Da kommt man dann nachher nicht so ins überlegen, wo denn die Konstanten hinmüssen (insbesondere, wenn zu einem mehrfachen Eigenwert mehr als ein Eigenvektor fehlt, muss man doch sehr aufpassen, wenn man sich nicht verwurschteln will).