Klausur Prof. Eppler 15.08.08

[Igel]

Hallo zusammen,
bin dabei dei Klausur durchzurechnen und ich habe dazu ein paar Fragen - wenn die jemand beantworten könnte???
 
Aufgabe 1: Newtonsches Interpolationspolynom:
mein a3 sind: (1+alpha)/3
die zwei vorletzen sind im Schema -1 und (-1-alpha+1)/-2 und somit alpha/2 kann denn das sein?
irgendwo muss doch da ein Rechenfehler vorliegen
 
 
Aufgabe 2e
habe ich als Lösung +... statt -
Könnte mir da jmd. den Ansatz geben?
 
Aufgabe 4c und e
Auch hier fehlt mir der Ansatz
bei c: wieso folgt das aus a
bei e: wie folgt das aus a und d
 
Flächeninhalt Dreieck:
ist das 0,5*Normalenvektor?
 
Nach welcher Formel berechne ich den Schnittpunkt Gerade- Ebene:
Was setzte ich wie und wo ein?
 
Aufgabe 6a
Warum ist das Volumen hinterm Integral (4-z)
setzte ich Z= xx+yy?
 
Aufgabe 6b:
Bei der Tangetialebene habe ich fast die gleiche Formel.
mein Gedankenfehler beruht im letzten Term: da habe ich ... -2(y-1,5) sein sollte es aber .... -3(y-1,5)?   Fyy ist bei mir -2 und nicht -3.
 
Wo finde ich die Lagrange-Methode gut erkläre?
So aus der Ferne und wahrscheinlich schlechten Büchern finde ich leider nichts richtig gut erklärendes.
 
Die gleiche Frage hätte ich für die Aufgabe 7.
TdV, VdK usw. usf.....
 
P.S. Ist jemand so gut, und hat am Donnerstag Zeit mir in ein paar Minuten die wesentlichen Schritte zu erklären. Bin nicht doof, finde nur keine gescheiten Unterlagen zum Selberlernen.
 
Vielen Dank mal und Gruß,
eine verzweifelte Studentin

[tobi0123]

zu 1a: siehe Anhang

zu 2e: siehe Anhang

zu 4: ich gehe mal davon aus, dass du Teilaufgabe a verstanden hast (diese allgemeinen "Rechenregel" für Matrizen/Vektoren).
zu c: die wichtige Formel für EWP ist A*x=lambda*x (mit Matrix A, Eigenvektor x, Eigenwert lambda). Hiermit vergleichst du die Ergebnisse aus Teilaufgabe a und "siehst" die Eigenwerte lambda_1 und lambda_2. zur Vielfachheit: der Vektor a ist ja mit der Matrix A direkt verknüpft, d.h. lambda_1 ist der einzigste Eigenwert für den Eigenvektror a. Da aber jede (n,n)-Matrix genau n (eventuell komplexe) Eigenwerte hat, muss lambda_2 also die Vielfachheit (n-1) besitzen (dementsprechend gibt es natürlich verschiedene Eigenvektoren y).
zu e: wenn in d der (spezielle) Eigenvektor a berechnet wurde, lässt sich der Eigenwert lambda_1 aus lambda_1=1+a*a berechnen. Für Eigenvektoren zu den Eigenwerten lambda_i=1 einfach Vektoren y_i suchen, die senkrecht auf a stehen, also a*y_i=0

zum Flächeninhalt des Dreiecks: mit den drei Punkten P_1, P_2, P_3 bastelst du dir 2 Vektoren (wenn die 3 Punkte nicht zufällig auf einer Geraden liegen...). Das Kreuzprodukt der beiden Vektoren ergibt eine Normelvektor, den senkrecht zu beiden Vektoren ist bzw. zur Fläche, die die beiden Vektoren aufspannen. Der Betrag des Normalenvektors entspricht dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms, das Dreieck ist die Hälfe davon. Also kurz: ja, A_Dreieck=1/2*|Normalenvektor|

Schnitt Gerade/Ebene: Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung und dann was ausrechnen!? siehe Anhang

zu 6a: im Merziger ist ein Bsp dazu (Prinzip von Cavalieri), und da der Rotationskörper hier quasi umgedreht ist, steht im Integral nicht z sondern (4-z).

[Mr.Zed]

kann dir grad auch nicht wirklich helfen, aber die gerechnete klausur hier

http://bombentrichter.de/showthread.php?t=19530

kann ich dir nur empfehlen, sind ja eh viele aufgaben analog und da bekommt man den dreh schon raus

mir hat das repetitorium zum merziger immer richtig gut geholfen

ich hätte aber auch ein paar fragen:

bei der 3a komm ich nicht weiter, irgendwie fehlt mir da der richtige ansatz

bei der 6a und 6c komm ich auch nicht wirklich zurecht, hier wär ein richtiger ansatz auch recht hilfreich

naja nochmal zu deinen fragen:
bei der 1)
ich bekomme im ersten schritt alpha-1 raus, daraus wird dann (a-2)/2 (also (a/2)-1) und ganz am ende kommt dann ((a/2)-1+1)/3 raus, das kann man dann in (2+a)/6 umwandeln

2e kann ich leider nix zu sagen

4. genauso wenig ^^

flächeninhalt ist 0,5*betrag_n-vektor

der schnittpunkt steht komischerweise nicht in der formelsammlung sondern nur im repetitorium, vllt komm ich heute abend dazu das einzuscannen oder abzuschreiben

6b brauchst du doch fy und nicht fyy? und 4-x²-y² nach y abgeleitet ist halt -2y und y=3/2 dadurch wird fy(x0,y0) dann -3

wie gesagt, lagrange, tdv und vdk müsstest du aus der durchgerechneten klausur ziehen könne

vllt findet sich ja noch jemand der mir ein bissel helfen kann ^^

[Larissa]

so. ich fang mal an mit Aufgabe 2e: das ist - wegen der f" ,Ableitung des cot: Die ist nämlich (Merzinger) -1/(sin^2 x)

Flächeninhalt Dreieck: 0,5 * Betrag ((P2-P1) Kreuzprodukt (P3-P1))

Schnittpunkt Gerade- Ebene: GLS der Gerade in Ebenengleichung einsetzen, nach t auflößen, t in Geradengleichung einsetzen, fertig!

noch viel Erfolg!

[tobi0123]

bei der 3a komm ich nicht weiter, irgendwie fehlt mir da der richtige ansatz

Du erweiterst den Bruch 1/z mit der konjugiert komplexen Zahl z'=x-iy. Damit kannst du den Hauptnenner bilden, denn z*z'=|z|²=x²+y². Im Zähler steht dann x+iy-(x-iy). Also ist der Realteil null und der Imaginärteil 2y/|z|²=2y/(x²+y²).

[tobi0123]

bei der 6a und 6c komm ich auch nicht wirklich zurecht, hier wär ein richtiger ansatz auch recht hilfreich

zu 6a+c

[twenty5]

Zur aufgabe 6a kann ich auch nur empfehlen sich mal mit der Seite 28 im Merziger auseinander zu setzten.

Für solch einen Paraboloiden wie er in der Klausur gegeben ist, steht dort eine Formel für das Volumen...
In dem fall ist a=b=1 und h=4

Und hier die Aufgabe 7 durchgerechnet :
Klausur - Eppler - 15.08.2008 - Aufgabe 7

[Igel]

Danke erst mal für die vielen guten und hilfreichen Tipps.
 
Trotzdem nochmal: Aufg 6d Lagrange-Methode, was muss ich wie wo einsetzten. In den Lösungen nstehen viele Gleichungen, die ich nicht wirklich zuordnen kann. Wo kommt das u her? Was ist das?
 
und 7c beta: der Ansatz hilft nicht wirklich.
wenn yp=ax+b
y`p=a
und y``=y``=0, dann steht bei mir19a-13=2x. Und dann? Nach was muss ich auflösen?  Die Aufgabe darüber habe ich verstanden.

[thanhtacle]

Hallo,

kann mir jdm. bitte die 3c erklären, sowie die Herangehensweise für 3d und 4. erläutern?
Danke!

[Black Dragon]

Wollte und will Eppler gar nicht, dass die Polynome aufgelöst werden? Ich seh in den Lösungen immer [latex]C_1(x-a)+C_2(x-a)(x-b)+C_3(x-a)(x-b)(x-c)... [/latex]-Ausdrücke. :huh:

Die Verkürzung der Bearbeitungszeit ist dann ja enorm. (Und die Fehleranfälligkeit geringer.)

[Skuller]

@Igel: Dein Ansatz ist richtig...!

Bei dir müsste aber stehen: 19A - 13Ax - 13B = 2x

Daraus folgt für die erste Potens: 13Ax = 2x

...damit kommt man auf A = -2/13...

[Igel]

@skuller:
Danke, aber dann.... wie komme ich an das b?
Es reicht ja, wenn mir jemand sagt wie sichdas nennt,  dann kann ich evtl was nachschlagen.  Ich finde mich weder inder FS vom Merzinger noch vom Papula zurecht.
 
@thanhtacle
3c:
z*z so berechnen wie man multipliziert. also bei z1,z2
(x1x2-y1y2)+i (x1y2 + x2y1) da hier zweimal die gleiche verwendet wird:
(xx-yy) + i (2xy)
 
|z|.|z| ist in der FS definiert als xx+yy
 
dann nur noch auflösen, für x kannst du wählen, was du willst
 
 
Aufgabe 3c:wenn eine komplexe Zahl eine Nullstelle hat, dann ist auch die konjugiert komplexe eine Nullstelle
 
Aufgabe4:
Rechenregeln für Matrizen
4a: a von rechts multiplizert dann von links ausgeklammert
Ay einsetzten rechnen. Hier der Hinweis "steht senkrecht, somit Vektorprodukt gleich Null
 
Eigenwerte tut mir leid, aber hat mir schon mal weiter oben jemand beantwortet ebenso das mit der Vielfachheit.
 
4d ziehe inder Hauptdiagonalen 1 ab (folgt aus A=I+aat) dann stehen auf der Hauptdiagonalen aa =9 daraus folgt a=3
bb=4 darausfolgt b=2 und cc=1 daraus folgt c=1
 
4e warum das a und d folgt keine Ahnung, aber dann muss man eben wie immer rechnen.
 
Hoffe Dir geholfen zu haben.

[Chibaria]

kann jemand von euch mir mal die lsg von der 3 b verraten?
wir kommen bei der 3 a auf:

re=0, Im=2y/(x²+y²)

stimmt bei 3c n=3?

[Skuller]

@Igel:
also mit deinem Ansatz erhälst du ja: 19A - 13Ax - 13B = 2x

Für die Betrachtung von x^1 hast du damit: -13Ax = 2x
damit erhälst du A = -2/13

Das A setzt du dann in die Therme für x^0 (also ohne x) ein:


          19A - 13B  = 0________+13B

<=>   19 (-2/13)  = 13B

<=>   -38/13       = 13B_______/13

<=>   -38/169     = B


Beide Ergebnisse dann in y(p) einsetzen. So erhält man:

y(p)= -2/13x - 38/169

Bei genauem Hinschauen erkennt man, dass das das Gleiche wie in der Musterlösung ist, nur bloß nicht ausgeklammert (aber trotzdem richtig... )


@Chibaria:

(z-(1+i))^4 = 1

<=> (z-(1+i)) = 4.Wurzel (1)
<=> z-1-i = +-1

Jetzt nach z Umstellen, so erhält man 2 Lösungen (da 1 + oder - ist):

z= 2+i

und

z=i

...Da diejenige Lösung gesucht ist, für die Re(z1)=0 gilt, ist

z=i die Lösung...:happy:

[Igel]

3a oder 3b?
Die Lösung für 3a ist die die Du genannt hast.
 
3b sind n-te Einheitswurzeln:
 
Formel: z hoch n= z(k)=cos ((k+2pi)/n) + i * sin ((k*2pi)/n)
für k=0 ist Re=1 und Im=0 somit 1
für k=1 ist Re =0 und Im=1 somit i
für k=2 ist Re = -1 und Im=0 somit -1
für k=3 ist Re =0 und Im -1= somit -i
 
dann setzt du ein in die Gleichung von oben un schaust wo die Lösung eins ergibt