Lösungen zur Klausurensammlung

[adeptus mechanicus]

für exp(4x) --> a+b i= 4 -->zweifache Lsg. d. cha. Gl. --> zweifache Resonanz
 
also hat man als Ansatz:
 
Yp=A sin(x) + B cos (x) + C x^2 exp(4x) + x(Dx+E)

das mit der doppelten resonanz stimmt, aber dann muss in der partikulären lsg stehen:
 
Yp=A sin(x) + B cos (x) + (Cx²+Dx+E) exp(4x) + x (Fx+G)
 
ggf. kann man sich das auf . 162 anschaun: das beispiel mit x² + 1 is zeigt wie man bei doppelter resonanz verfahren soll

[Chefwilli]

das mit der doppelten resonanz stimmt, aber dann muss in der partikulären lsg stehen:
 
Yp=A sin(x) + B cos (x) + (Cx²+Dx+E) exp(4x) + x (Fx+G)
 
ggf. kann man sich das auf . 162 anschaun: das beispiel mit x² + 1 is zeigt wie man bei doppelter resonanz verfahren soll

:blink:
Schau nochmal genau hin. Wenn k-fache Resonanz vorliegt, dann mulitipliziert man den Normalansatz mit x^k.

Ist auch oben so beschrieben und wurde bei deinen Beispiel so gemacht.

[adeptus mechanicus]

okay, hast recht.

[MichaS]

du kannst doch nicht einfach den realteil 0 setzen, oder?

na klar geht das! jede natürliche zahl ist doch eine ganze zahl und somit auch eine rationale Zahl somit auch eine reelle zahl. eine komplexe zahl setzt sich doch aus realteil und imaginärteil zusammen! niemand sagt, dass der imaginärteil nicht null sein darf! ergo: jede reelle zahl ist auch eine komplexe!

[Johannes@VT]

@ Micha erstens die Antwort dazu ist höher ... zweitens deine Antwort ergibt nicht wirklich Sinn, denn du darfst die Werte nur nach bedingung und nicht willkürlich wählen

[MichaS]

@ Micha erstens die Antwort dazu ist höher ... zweitens deine Antwort ergibt nicht wirklich Sinn, denn du darfst die Werte nur nach bedingung und nicht willkürlich wählen

Meine Antwort ergibt dahingehend schon sinn, dass ich zitiert wurde, dass "2" eine komplexe zahl ist.warum ich jedenfalls bei obiger aufgabe zitiert wurde, ist mir gänzlich unklar :whistling:
warum macht der hier keine doppelzitate?!?!
naja! ihr wisst ja, was gemeint ist!

[MichaS]

@aviator: is auch quatsch, hab ich auch schon festgestellt. natürlich kann eine quadratische gleichung nur 2 lösungen haben. mir ist aber bis heute nicht klar, wie man auf -2 bzw 2i kommt

@mekis: bei c sollst du garnicht ableiten. das taylorpolynom ist ja eine unendlich anzahl von gleidern der taylorreihe und um die geht es hier. du sollst auf der taylorreihe und deiner funktion ne neue reihe erstellen und den konvergenzradius bestimmen

[latex] Die allgemeine Taylorreihe:\\
$T_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$\\
an der stelle a=0: \\
$T_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}x^k$\\
nun überlegst du dir wie die k-te ableitung von f wohl aussieht...\\
$f^{(k)}=\prod (-\frac{3}{4}-(k-1))$\\
das würde mir dazu einfallen (nich schön)\\
zusammen:\\
$T_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\prod (-\frac{3}{4}-(k-1))}{k!}x^k$\\[/latex]

davon roll man jetzt irgendwie den konvergenzradius bekommen :nudelholz:

also wenn jemand was schöneres hat: bitte melden

deine k-te ableitung ist falsch!

[latex] \\
$f^{(1)}(x)=\frac{3}{4}(1-x)^{\frac{-7}{4}}$\\
$f^{(2)}(x)=\frac{3}{4}\frac{7}{4}(1-x)^{\frac{-11}{4}}$\\
$f^{(3)}(x)=\frac{3}{4}\frac{7}{4}\frac{11}{4}(1-x)^{\frac{-15}{4}}$\\
\\
$\frac{3}{4}\frac{7}{4}\frac{11}{4}...=\frac{3}{4}(\frac{3}{4}+1)(\frac{3}{4}+2)...$\\
daher kann man ablesen:
$f^{(k)}(x)=(\prod\limits_{n=1}^{k}\frac{3}{4}+n-1)(1-x)^{-(\frac{3}{4}+k)}$\\

(d) Die Taylorreihe ist eine Potenzreihe! Hier wie folgt:

$T_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\prod\limits_{n=1}^{k} (\frac{3}{4}+n-1)}{k!}x^k$\\

   In den Ableitungen kommt immer der Term $(1-x)^{irgendwas}$ vor; da $f^{k}(0)$ jedesmal gefordert ist, sind die Ableitungsterme an der Stelle 0 immer 1

Der Mittelpunkt des Kovergenzintervalls beträgt 0.
Der Kovergenzradius: der Grenzwert ist IMMER für k gegen unendlich!!

$r=\lim(\frac{c_{k}}{c_{k+1}})$\\
wobei $c_{k}=\frac{\prod\limits_{n=1}^{k} (\frac{3}{4}+n-1)}{k!}$ ist\\
$r=\lim\frac{\frac{\prod\limits_{n=1}^{k} (\frac{3}{4}+n-1)}{k!}}{\frac{\prod\limits_{n=1}^{k+1} (\frac{3}{4}+n-1)}{k+1!}}$\\
$(k+1)!=(k+1)k!$ und $\frac{\prod\limits_{n=1}^{k} (\frac{3}{4}+n-1)}{\prod\limits_{n=1}^{k+1} (\frac{3}{4}+n-1)}=\frac{1}{\frac{3}{4}+k$}\\

Beachte Doppelbruch!!!\\

$r=\lim\frac{\frac{\prod\limits_{n=1}^{k} (\frac{3}{4}+n-1)}{k!}}{\frac{\prod\limits_{n=1}^{k+1} (\frac{3}{4}+n-1)}{k+1!}}=\lim\frac{k+1}{\frac{3}{4}+k}=1$\\
Der Konvergenzradius beträgt $r=1$ und somit ist das VORLÄUFIGE Konvergenzintervall x aus (-1;1)\\
Die Konvergenz an der Randpunkten gehen dann schnell![/latex]

[aviator-sbh]

Zwecks Erhaltung der Übersicht schlage ich vor, dass ab sofort jeder als Überschrift in den Posts fett die Aufgabe und aus welcher Klausur sie stammt, hinschreibt.

[Rollo-derWikinger]

2007 Aufgabe 4 c)

also richtig is das aber auch nicht:

[latex]f^{(k)}(x)=(\prod\limits_{n=1}^{k}\frac{3}{4}+n-1)(1-x)^{\frac{3}{4}+k}$[/latex]

es geht hier doch um ableitungen, dein exponent wird aber immer größer und nicht kleiner.
und weil der exponent immer negativer wird muss das produkt ja auch mit jedem k+ sein vorzeichen ändern.

die ableitungen sind ja auch nich
[latex]\\

$f^{(1)}(x)=\frac{3}{4}(1-x)^{\frac{-7}{4}}$\\

$f^{(2)}(x)=\frac{3}{4}\frac{7}{4}(1-x)^{\frac{-11}{4}}$\\

$f^{(3)}(x)=\frac{3}{4}\frac{7}{4}\frac{11}{4}(1-x)^{\frac{-15}{4}}$[/latex]

sondern

[latex]\\

$f^{(1)}(x)=\frac{-3}{4}(1-x)^{\frac{-7}{4}}$\\

$f^{(2)}(x)=\frac{-3}{4}\frac{-7}{4}(1-x)^{\frac{-11}{4}}$\\

$f^{(3)}(x)=\frac{-3}{4}\frac{-7}{4}\frac{-11}{4}(1-x)^{\frac{-15}{4}}$\\[/latex]

ich seh meinen fehler nicht. für mich kommt das sehr gut hin

edit: ah ich seh schon, das vorzeichen gleicht sich immer mit der nachdifferenzierten -1 aus

[MichaS]

2007 Aufgabe 4 c)

also richtig is das aber auch nicht:

[latex]f^{(k)}(x)=(\prod\limits_{n=1}^{k}\frac{3}{4}+n-1)(1-x)^{\frac{3}{4}+k}$[/latex]

es geht hier doch um ableitungen, dein exponent wird aber immer größer und nicht kleiner.
und weil der exponent immer negativer wird muss das produkt ja auch mit jedem k+ sein vorzeichen ändern.

ich seh meinen fehler nicht. für mich kommt das sehr gut hin

sorry! wird oben geändert! na klar ist der exponent negativ!
du vergisst beim ableiten die innere ableitung, was -1 liefert!

[Rollo-derWikinger]

schon gesehen

[Vakuole]

Aufgrund der Nachfrage, jetzt noch die Lösungen (mit angedeutetem Lösungsweg) von 2007:

1)
a)
Matrix aufstellen - 2Gleichung mit 2 Unbekannten
z1=2-2i
z2=1-4i
b)
tan phi=1/1
-> 45°
Ansatz: e^(x+iy)= e^x+e^iy
e^x=e^x*(cos(45°)*sin(45°))
x=ln |SQRT (2)|
y=pi/4+2kpi
z= ln |SQRT (2)| + i(pi/4+2kpi)

2)
a)
(10 3)
(3 10)
b)
EW: 7,13
EV: (1,-1)T (1,1)T
c)
Erklärung
t=1/5(7,-1,5,0)T
s=1/5(-2,-6,0,1)T
d)
Erklärung
AtA*w=At*lam*v
AtA*w=lam*(At*v)
AtA*w=lam*w=mü*w
-> lam*w=mü*w

3)
a)
Ableiten nach x,y,z
->3 Gleichungen mit 4 Unbekannten
nach x,y,z umstellen
x=c/(1-c)
y=c^2/(1-c)
z=1/(6-2c)
Dann die Hessematrix aufstellen
mit mit Bildung der 3 Hauptunterabschnittsdeterminanten (definit):
Minima: 1
Max: keine Vorhanden!
b)
war ich zu Faul: Weg ist aber
LagranceFunktion aufstellen:
L= 3x^2+(y-3)^2-z+2xy+lam(x+y+z-5)
Funktion ableiten nach x,y,z,lam
Ableitungen gleich null setzten x,y,z,lam bestimmen
FERTIG

4)
a)
R1(x)=|(f''(E)/2!)*x^2|
- x auswählen, welches am weitesten entfernt von x0 liegt
- E so wählen, dass Bruch möglichst groß zwischen x & x0 liegt
21/36*(1/(1-E)^11/4)< 21/36=c
E ist mit 0 gewählt, damit die Größte mögliche Zahl heraus kommt

b)
Mann leitet 2-3 mal die Funktion ab:
Man sieht dabei folgendes:
f'=3/4(x-1)^3/4
f''=3/4*(3/4+1)*(x-1)^(3/4-1)
f'''=3/4*(3/4+1)*(3/4+2)*(x-1)^(3/4-2)=(3/4*7/4*11/4)/(x-1)^(11/4)
> man sieht das damit die k-Ableitung stimmt

c) ich kann leider kein Summenzeichen hier deswegen ein S
S fk(0)/k! * (x-x0)^k ->
lim  fk(0)/k! * (k-1)!/fk-1(0)
kürzen
lim (k+1)/(3/4+k-1) wenn k gegen unendlich läuft  = 1
Konvergenzradius: (-1,1)

5)
a) einsetzten und lösen (war hier auch zu faul)
bestimmen der Eigenvektoren und in den Ansatz einsetzten
b)
-Matrix zu Bestimmung von Eigenwerten aufstellen
-Determinante bilden
- lamta berechnen, dabei kommt s unter eine Wurzel
- s so wählen, dass die Würzel negativ wird und eine komplexe Zahl als Eigenwert raus kommen würde
FERTIG

6) habe ich noch nicht
hab einen Ansatz, aber so ganz komm ich da nicht weiter/durch :pinch:

Wer Fragen zu den Lösungswegen hat einfach hier stellen oder pn an mich
Korrekturen sind auch erlaubt und erwünscht!

PS: hab nun alle Lösungen von 2008- wer also einen Lösungsweg braucht- einfach Anfragen

[Rollo-derWikinger]

zur fehlenden aufgabe 6 von 2007:

a)
[latex]$y^2-(2x+1)e^{2x}+2xyy'=0\\
y'= dy/dx $\\
umformen auf die form $A(x,y)dx+B(x,y)dy=0\\
A=y^2-(2x+1)e^{2x}\\
B=2xy$\\
Bedingung, dass die Gleichung exakt ist:\\ \\
$\frac{dA(x,y)}{dy}=\frac{dB(x,y)}{dx}\\
\Rightarrow A_y=B_x\\
2y=2y$ die Gleichung ist exakt!\\ \\
Ansatz: $F(x,y)=\int B(x,y)dy +c(x)\\
F(x,y)=\int 2xy \cdot dy+c(x)\\
=xy^2 +c(x)$\\
Lösen von c(x):\\
Setze $F_x=A(x,y)\\
y^2+c'(x)=y^2-(2x+1)e^{2x}\\
\Rightarrow c(x)= - \int (2x-1)e^{2x}\\
c(x)=-xe^{2x}$\\

Implizite Lösung: $F(x,y)=xy^2-xe^{2x}=C$\\ \\
b) mit $y(1)=-e$ folgt:
1(-e)^2-1e^2-C=0 \Rightarrow C=0$\\
Spezielle Lösung: $F(x,y)=xy^2-xe^{2x}$[/latex]

Lösungsweg nachzulesen HIER

[Greenmachine]

2005 1.a )
 um die frage zu beanworten: eher nein, sondern
cos a = cos (-a)
sin a = - sin (-a) (also hier liegen gerade und ungerade funktion vor)
 
1. bedingung: z element Komplexe zahlen -> z = 0 + a i
2. bedingung: 1/2 kleiner gleich |sinh (z)| ->
 
|1/2 (e^z - e^(-z)| < 1/2 (ich lass das kleiner gleich mal nen kleiner sein, weil ich sonst soviel schreibaufwand habe... ihr wisst ja wie das gemeint is)
-> |e^(ai) - e^(-ai)| < 1
<-> |cos a + i sin a - cos (-a) - i sin (-a)| < 1 , jetzt wird das oben stehende benutzt: gerade und ungerade fkt.
|0 + i * 2 * sin a| < 1
na, und das is der betrag einer komplexen zahl... also folgt
wurzel(0² + (2 sin a)²) < 1  -> 2 | sin a| < 1
der sinus bei 30° ist 0.5 (und bei -30°)
also: -(pi/6) <= a <= pi/6 (jetzt also wieder mit aufgabenstellungskonformen kleiner gleich)
 
also is z = a i mit der obigen einschränkung für a

du hast das mit dem kleiner gleich und größer gleich verdreht...
ansonsten ist es glaub ich richtig, bis auf die tatsache das ALLE komplexen Zahlen die dieser Bedingung genügen gesucht sind....
also |sin a| >= 1/2

das wären dann z= ai; pi/6 + k*pi <= a <= 5/6 pi + k*pi
 wenn ich mich nicht irre.

[Chefwilli]

2005 1.a )
 um die frage zu beanworten: eher nein, sondern
cos a = cos (-a)
sin a = - sin (-a) (also hier liegen gerade und ungerade funktion vor)
 
1. bedingung: z element Komplexe zahlen -> z = 0 + a i
2. bedingung: 1/2 kleiner gleich |sinh (z)| ->
 
|1/2 (e^z - e^(-z)| < 1/2 (ich lass das kleiner gleich mal nen kleiner sein, weil ich sonst soviel schreibaufwand habe... ihr wisst ja wie das gemeint is)
-> |e^(ai) - e^(-ai)| < 1
<-> |cos a + i sin a - cos (-a) - i sin (-a)| < 1 , jetzt wird das oben stehende benutzt: gerade und ungerade fkt.
|0 + i * 2 * sin a| < 1
na, und das is der betrag einer komplexen zahl... also folgt
wurzel(0² + (2 sin a)²) < 1  -> 2 | sin a| < 1
der sinus bei 30° ist 0.5 (und bei -30°)
also: -(pi/6) <= a <= pi/6 (jetzt also wieder mit aufgabenstellungskonformen kleiner gleich)
 
also is z = a i mit der obigen einschränkung für a

Ich frag mich ob man das so machen kann. Du ziehst den Betrag aus einer polaren Darstellung. Ich bin aber der Meinung, dass man nur den Betrag ziehen kann mit der Wurzel wenn es in kartesicher Darstellung ist.

Wie gesagt vielleicht gibt es einen der da Licht ins Dunkle bringen kann.