Ü1 13.1 d) Uneigentliches Integral - warum divergent ?

[ronmen]

hallo ich bin am verzweifeln -
vlt ist die antwort auf meine frage auch allzu trivial-und ich sehe den wald vor aluter baeumen nicht mehr :laugh:

Integral von e(eulerzahl) bis unendlich 1/x*ln x^4 dx

wenn ich mir die funktion zeichenen lasse konvergiert sie doch eindeutig im bereich von 3 bis unendlich - oder?
in der loesung steht "divergent"

vg und danke

ronmen

[Tyson]

1.tipp: lnx^4=4*lnx
 
Ich habs so gemacht, dass ich das integral einfach berechnet habe. Also integral bilden durch substitution(ich habe z=lnx genommen) und dann obere und untere grenze einsetzen, wobei du ja als obere grenze eine variable nehmen musst, die du dann gegen unendlich gehen lässt. Du erhälst dann zum schluss irgendwas wie lim a-->unendlich (ln(lna))...(weiß den ausdruck grad nicht genau, da ich meinen hefter grad nich zur hand habe). Und der ausdruck geht ja dann gegen unendlich, ist also divergent.

[Jule]

Nicht verwechseln, das Konvergenzverhalten der Funktion und das vom Integral (= Fläche unter Kurve) sind zwei paar Schuhe.

[ronmen]

hallo und danke für die posts,

wieso hat das kobergenzverhalten des integrals, nichts mit dem der kurve zu tun.

die funktion konvergiert bei x gegen unendlich, gegen 0.
warum divergiert dann das integral/die fläche unter der kurve, und geht nicht gegen einen bestimmten wert an "flächeneinheiten"

vlg

ronmen

[koXx]

Das ist leider das Dumme an der ganzen Sache ^^
Wenn der Grenzwert [latex]$\int_{a}^{\infty}f(x)dx$[/latex] existiert, dann konvergiert auch [latex]$f(x)$[/latex] und zwar gegen 0. Andersherum geht es aber leider nicht! Das beste Beispiel ist [latex]$f(x)=\frac{1}{x}$[/latex] ...

[ronmen]

Das ist leider das Dumme an der ganzen Sache ^^
Wenn der Grenzwert [latex]$\int_{a}^{\infty}f(x)dx$[/latex] existiert, dann konvergiert auch [latex]$f(x)$[/latex] und zwar gegen 0. Andersherum geht es aber leider nicht! Das beste Beispiel ist [latex]$f(x)=\frac{1}{x}$[/latex] ...

hey koxx - danke für deinen post, aber was hat das mit meiner frage zu tun ?

die funktion konvergiert bei x gegen unendlich, gegen 0.
warum divergiert dann das integral/die fläche unter der kurve, und geht nicht gegen einen bestimmten wert an "flächeneinheiten"

[Litschi]

naja das integral von deiner funktion is ja, wenn ich die funktion richtig gelesen hab:

1/(8*ln(x^4)²

dort setzte deine grenzen ein....

1/8*ln(unendlich^4)² - 1/8*ln(e^4)²

bleibt mal wenn ich das richtig sehe unedlich minus 1/8*ln 16

damit wäre die fläche unendlich und divergiert somit nicht...

korrigiert mich wenn ich was falsch verstanden hab o.O

[Psirus]

Also, ich denke:
[latex]
\int _{e}^{\infty }\!{\frac {1}{x\ln  \left( {x}^{4} \right) }}{dx}
\\1/4\,\int _{e}^{\infty }\!{\frac {1}{x\ln  \left( x \right) }}{dx}
\\1/4\,\ln  \left( \ln  \left( x \right)  \right) [/latex]
in den Grenzen von e bis unendlich (weiß nicht wie das geht in latex), dann folgt daraus -> unendlich, daher divergent

[Litschi]

so wie ers geschrieben hat müsste das ln nicht im nenner stehen

[Honda86]

Psirus hat vollkommen recht ln x =s substituieren und dann bekommt man integral 1/s und das ist nunmal wieder der ln s und mit der Rücksubstitution ergibt sich ln (ln x)

[koXx]

Ich wollte dir nur mitteilen, dass du eben nur aus einem konvergierenden Integral schließen kannst, dass auch die Funktion konvergiert und das eben gegen 0! Als Beispiel habe ich dir die Funktion 1/x angeführt, die ja nun auch eindeutig gegen 0 strebt, aber als Stammfunktion eben ln(x) besitzt und der gegen unendlich strebt und das Integral so nicht konvergiert...
Helfen tut dir das natürlich nicht, aber ich glaube auch nicht, dass man die Frage nach dem "Warum" direkt beantworten kann, sondern eben nur durch Beispiele zeigen kann, dass nicht geht...
Wenn jemand eine Antwort auf das "Warum" hat, kann er das ja gerne mal hier mitteilen, denn die würde mich auch interessieren

[Jule]

Dass eine Funktion für eine Grenze gegen 0 konvergiert, reicht nicht für die Tatsache aus, dass auch zwangsläufig das Integral konvergieren muss.

Wie koXx schon sagte, gibt es dafür keine sofort einleuchtende Erklärung, sondern man sieht beim Weiterverfahren, was nun genau passiert. Dafür gibt es Minoranten, Majoranten und so nen Käse, oder man zerlegt die Fläche in Streifen und bildet die Partialsumme, was weiß ich.

Man könnte vielleicht sagen, dass eine Funktion "schnell genug" gegen 0 konvergieren muss, damit das Integral auch konvergiert.