Ü2 Aufgabe 22.11

[skyguide]

Hallo, Ihr Mathematiker!

Kann mir vielleicht jemand den Lösungsweg für 22.11 und 22.12 aus Ü2 andeuten? Irgendwie krieg ich das nicht gebacken ...  

Danke!
skyguide

[Philips]

Also in der Übung sollte man bei den beiden Aufgaben das ganze ohne Integralsätze lösen, was aber etwas umständlich ist und in den Altklausuren nicht abgefragt wurde. Dort wurde eigentlich nur der Fluss mit Integralsätzen berechnet. Die Skizze habe ich etwas verhunzt, aber die Integration sollte richtig sein.  B)  Das is die 22.11.b.beta....
Schau Dir mal im Merzinger die Seite 150 an....

[skyguide]

okay, schaue ich mir mal an ... danke erstmal!  :rolleyes:

[st.peter]

also diese oberflächenintegrale - vielleicht stell ich mich auch einfach nur blöd an, aber ich krieg da nur in spezialfällen richtige ergebnisse...
irgendwas mache ich mit der transformation (meist in zylinderkoordinaten) falsch.

wenn ich also, mal nur als beispiel, die 22.8 i) nehme:

die gegebene Gleichung für z sieht in Zylinder-KO so aus: z=5-r²/9
mit dieser Gleichung und der Restriktion z :groesser_gleich: 1 erhält man "r :kleiner_gleich: 6" (analog zu Philips' Lösung)

jetzt kann ich meinen die Fläche beschreibenden Ortsvektor aufschreiben:
a = [ r cos(:_phi:); r sin(:_phi:); 5-r²/9 ]

die Ableitungen dieser Fläche sind:
ar = [ cos(:_phi:); sin(:_phi:); -2/9 r ]
a:_phi: = [ -sin(:_phi:); cos(:_phi:); 0 ]

Betrag vom Kreuzprodukt dieser beiden ist:
n =  :wurzel:{(2/9 r)² + 1}

Also ist mein Flächeninhalt das Doppelintegral über  :wurzel:{(2/9 r)² + 1} dr d :_phi:, mit 0 :kleiner_gleich: :_phi: :kleiner_gleich: 2 :_pi: und 0 :kleiner_gleich: r :kleiner_gleich: 6.
Da bin ich noch zu faul das selber zu integrieren, aber das MathCAD kommt auf alles, nur nicht 49 :_pi:, was in der Lösung steht.

Gibt es hier auch irgendwelche Fallstricke wie Funktionaldeterminanten oder sowas, die ich einfach vergesse (oder nicht weiß...)?

Ich bilde mir eigentlich ein, die ziemlich eindeutigen Anweisungen von S. 150 genau befolgt zu haben (statt mit kartesischen Parametern u und v eben mit zylindrischen r und :_phi:, aber gehen sollte es ja prinzipiell genauso, oder? Ich komme bei keiner der Aufgaben im Arbeitsheft, die mit KO-Transformation sind, das richtig Ergebnis.

total blöd, dass wir dazu offenbar nur eine übung hatten und in der scheine ich auchnoch mit Abwesenheit geglänzt zu haben. Ich hoffe, ich find noch ein Buch, in dem das brauchbar erklärt ist...


EDIT: was mir noch einfällt: Unklar ist mir außerdem, wie ich diese putzigen Bedingungen à la "ez dA < 0" verarbeiten soll. Was genau sagt mir das?

[Philips]

Klar! Also die Funktionaldeterminante ist auf jeden Fall zu beachten. -> bei ZK einfach "r".
Das dA<0 (ez) gibt dir die Richtung deines normalen Vektors an, der auf deiner Fläche steht: dA=ndA In diesem Fall soll also der n Vektor mal die Fläche negativ sein, woraus folgt das alle Komponenten des n-Vektors mit -1 multipliziert werden müssen. Hab bei der oberen Übung auch zuerst verpeilt  :rolleyes: , macht aber prinzipell nix, da man das immernoch am Schluss korrigieren kann.
Bei der Übung 22.8. i) komme ich, mit Ausnahme der Funktionaldeterminate, auf Anhieb auf den gleichen Ansatz:

:wurzel: ((2/9r)^2+1) * r dr dphi  für 0
das zu integrieren macht nicht wirklich Spass

[st.peter]

JUHUUUUU, es kommt ein richtiges Ergebnis raus. Vielen Dank, Philips, ich stehe tief in deiner Schuld.  :flower:

simples Reinschreiben der Funktionaldet. r ins Integral genügte zur Problemlösung, darauf hätt man eigentlich auch selber kommen können - na egal.  :innocent:

[todi]

Originally posted by st.peter@28.7. 2005 - 10:59
JUHUUUUU, es kommt ein richtiges Ergebnis raus. Vielen Dank, Philips, ich stehe tief in deiner Schuld.  :flower:

simples Reinschreiben der Funktionaldet. r ins Integral genügte zur Problemlösung, darauf hätt man eigentlich auh selber kommen können - na egal.  :innocent:

wenn man seine parametrisierung aber schon mit den zyli ko macht, dann kommt KEINE fkt. det mehr dazu, da diese dann schon im kreuzprodukt des normalenvektors enthalten ist
denkt da dran

[Philips]

deine Freude ist meine  

@Todi: darüber habe ich mir noch keine Gedanken gemacht; normalerweise stellt man ja seine Grenzen für die Integrale karthesisch auf und wechselt dann auf ZK... hmm aber dein Ansatz wäre mal ein Versuch wert  

[skyguide]

Hallo Philips,

habe mir Deine Lösung jetzt mal genau angeschaut .. also ganz klar ist mir das nicht.

1.) Wo ist denn Deine Funktionaldeterminante? Du hast meiner Meinung nach das r vergessen. Nimmt man es mit rein, kommt was anderes raus, nämlich nur 2*Pi, nicht 4*Pi.

2.) Wie kommst Du auf die Integrationsgrenzen von Null bis Pi? Warum nicht ganz rum? (Wenn ich "mein" r mit reinnehme und dann bis 2*Pi integriere, kommt auch wieder 4*Pi raus.)

3.) Und ich verstehe die Erklärung zu dA<0 nicht ganz. Es heißt ja nicht dA<0, sondern daß das Skalarprodukt aus dA und Einheitsvektor in z-Richtung kleiner Null ist .. mit anderen Worten: der Winkel zwischen beiden muß größer 90° sein, weil das Skalarprodukt definiert ist als Produkt der Beträge von zwei Vektoren mal cos des eingeschlossenen Winkels. Der Normalenvektor ist gerade das Kreuzprodukt, was Du dort auch ausgerechnet hast. Meiner Meinung nach müßte man überprüfen, ob dieses Kreuzprodukt skalar multipliziert mit dem Einheitsvektor in z-Richtung kleiner Null ist. Wenn nicht, dann vertauscht man das Vorzeichen des Kreuzproduktes bzw. des Endergebnisses.

[Philips]

Ich fang mal von hinten an:  :rolleyes:

zu 3): dA=n*dA
wobei n=ax X ay ist.

.... daß das Skalarprodukt aus dA und Einheitsvektor in z-Richtung kleiner Null ist ..

genau! dA kann ja nicht kleiner Null sein, da es ein Flächenelement ist. Folglich muss also unser n bzgl. dem Einheitsvektor Z negativ sein. Gleichzeitig steht aber n immer senkrecht auf unserer Fläche. Wenn man z.b. das Bild 22.6 aus dem Übungsbuch mal betrachtet, würde dies bedeuten, dass der Normalenvektor auf der Aussenfläche nach innen gerichtet ist.
Wir hätten also -ndA<0
Mit dem Winkel hat das erstmal nix zu tun; n steht immer senkrecht auf dA. Es ist halt die Frage, in welche Richtung er zeigt.


zu 2+3) Hmm da hast du recht. Hab "dein" r verstruddelt  
Aber ich hab noch mehr vergeigt  :whistle:
Wenn man sich den Schnitt in der x-z-Ebene (y=0)mal aufzeichnet, hat man doch die Funktionen: z=(x+1)^2, z=2+2x.  => (x+1)^2=2+2x => x1=-1 x2=1
dann sind die Schnittpunkte bei (-1,0) [Scheitelpunkt des Paraboloids] und bei (1,4).

Also muss es auf jeden Fall schon mal 0 < r < 2 heißen.

Von 0< :_phi: < :_pi:  integriere ich deshalb, weil ja auch nur die Hälfte meines Paraboloids geschnitten wird.

Aber richtig ist es immernoch nicht. Da mach ich auch was falsch... :pinch:

[skyguide]

dann sind die Schnittpunkte bei (-1,0) [Scheitelpunkt des Paraboloids] und bei (1,4).

Also muss es auf jeden Fall schon mal 0 < r < 2 heißen.

Nee, ich denke, daß 0 <= r <= 1 schon stimmt. Denn r ist ja nicht der Abstand von der Paraboloid-Achse, die durch -1,0 geht, sondern von der z-Achse. Und bezüglich der z-Achse bewegen wir uns tatsächlich im Radius zwischen 0 und 1, nämlich von x = -1 bis x = 1.

Aber gut, wollen wir mal keine Wissenschaft draus machen. Ich werde schon wegen der partiellen DGLs durchfallen, also kommt es auf einen Punkt mehr oder weniger beim Integrieren auch nicht an.  

[Philips]

da hast Du recht... ich bin davon ausgegangen, dass r um meine Rotationsachse des Paraboloids läuft, aber r ist ja auf den Koordinationursprung bezogen...  
Also dann läuft es von 0cool doch noch was gelernt ... ob es dann helfen wird... :wacko:

[skyguide]

viel Erfolg! *lach*

und vielleicht konsultiere ich Dich noch zu pDGLn und Wahrscheinlichkeit *droh*

[Philips]

ohoh ... da sieht es auch noch düster bei mir aus ...  :ph34r:

[skyguide]

na wir haben doch noch komfortable drei Tage ... das ist doch noch sooooooooooooooooooooo viel Zeit  :cry: