Aufgaben 22.8

[krümelmonster]

Hallo!

Ich bin grad dabei mich auf die MathePrüfung vorzubereiten und hänge an der Aufgabe 22.8 f) aus dem Ü2.
Ich soll einen Flächeninhalt unter Verwendung von Zylinderkoordinaten(r und phi) berechnen. Im Binomi S.95 steht was dazu. Ich weiß jetzt aber überhaupt nicht was ich für f(x,y,z) einsetzen soll.... und auch nicht für die Grenzen. Überhaupt: Ich will doch eine Fläche haben und kein Volumen.

Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen, das wäre wirklich toll.

[relief]

Hallo Krümelmonster,

so richtig konkret kann ich dir auch nicht weiterhelfen – gehe auch an ziemlich vielen Aufgaben vom 3 Semester fest.
Es handelt sich hier auf jeden fall um eine Fläche und kein Volumen. Das ganze ist ja ein Zylinder mit dem Radius 2 und der Höhe z. Deine Fläche ist also die Mantelfläche des Zylinders. Diese müsste man dann mit einem Doppelintegral (Binomi S.94) berechnen.
Die Grenzen  wären dann von 0 bis 2pi nach dphi und von 0 bis x^2*!y! nach dz , wobei man x^2*!y! durch Zylinderkoordinaten ersetzen muss. Dann bräuchte man nur noch eine Funktion von phi und z die die Mantelfläche beschreibt. Ich vermute mal dass funktioniert irgendwie über die Parametrisierung des Zylinders mit den Zylinderkoordinaten wobei man die Fläche quasi auf 2 D aufspannt.  

<<<<<<<<<

[n-w]

Als Volumen wäre es ja trivial, wollt ihr aber die Fläche wissen, dann "Flächeninhalt, räumlich" Seite 140.

Edit: Fläche ist auch easy, wenn man den richtigen Ansatz hat.

S140 unten "Fläche im Raum, allgemeiner Fall."

x(u, v) aufstelln, wobei u=phi und v=z, denn r=const.=2 -> alles ins dF einsetzen und integrieren. :flower:

[krümelmonster]

Wenn ich das jetzt richtig verstanden hab, stelle ich meinen Vektor x(u,v) aus den Zylinderkoordinaten auf. D.h. ich hätte dann den Vektor (2cosu, 2sinu, v). Stimmt das soweit? Und meine Bereichsintegrationsgrenzen hätte ich jetzt wie folgt festgelegt: 0

[n-w]

Fast :flower:

Dort steht ja |y| drin, d. h. ich würde nur über einen Halb (-pi;pi) oder Viertelkreis (0;pi) integrieren und dann mit 2 bzw. 4 multiplizieren. Ansonsten stimmt aber alles.

[sandmann]

so, ich dacht mir, guckst de dir mal mathe an.
und gleich am anfang hab ich n problem, wollte die 22.8a) lösen, eigentlich nich schwer.... dacht ich.

aber irgendwie steh ich aufn schlauch.
ich hab ja z direkt in abhängigkeit von x und y gegeben ( [latex]z=-2x+y-2[/latex] )

mein problem is jetz, dass ich nich weiß, wie ich das mit dem z machen soll.

setz ich einfach [latex]\Large \int\limits_{x=4}^5  \int\limits_{y=2}^{\frac{x}{2}}  \int\limits_{z=-10}^{-10+\frac {x}{2}} \,dz dy dx[/latex]


wobei die grenzen für z durch einsetzen von minmalen x und y entsteht.
oder lass ich einfach das [latex]z=-2x+y-2[/latex] da drin?

irgendwie kommt bei beidem nur mist raus :huh:


€: @n-w: bzgl. 22.8f)
ich würd sagen, man darf nur von 0 bis pi/2 gehen und dann mal 4 rechnen, da sonst kein richtiges ergebnis rauskommt.  und außerdem, ein viertelkreis ist doch pi/2 und nicht pi. das gleiche bei "deinem" halbkreis, wenn der von -pi bis +pi geht, isses doch wieder ein ganzer kreis. :blink:

[Checker]

hi,


versuch mal Mertzinger s.140  !Xu x Xv!d(u,v)



wenn`s nich reicht mach ich später noch mehr, muss aber erstmal TM machen.

[sandmann]

coole sache.

und die variante klappt immer, oder?

habs jetz endlich nach zerren und reißen und zigmal minus mit plus vertauscht raus.... :wacko:

[Checker]

nun, ich würde sagen dass klappt immer für diesen aufgabentyp

kannst ja mal den rest noch durchgehen

[sandmann]

jemand nen ansatz für die e)?

eigentlich sollt es ja so sein:

[latex]$x=r \cdot cos\varphi \\
y=r \cdot sin\varphi \\
z=xya^{-1} =r² \cdot cos\varphi \cdot sin\varphi \cdot a^{-1} \\
0\leqq r\leqq a \\
0 \leqq \varphi \leqq 2 \pi$[/latex]

hab das jetzt wieder so probiert, aber da kommen unheimlich lange terme raus, also denk ich mal, ich hab n fehler gemacht bzw. kann das so wohl nich rechnen?! :pinch:
kann mir da jemand auf die sprünge helfen?  :unsure:

[n-w]

Du musst mal schaun, ob du Zylinderkoordinaten einführst, bevor du die Ableitungen unter die Wurzel schreibst, oder nachher. Normalerweise nachher, denn das erspart Schreibaufwand. dF=sqrt(1+2/a) -> Ob sich das nu integrieren lässt :whistling:

[sandmann]

hm, also wenn ich nach der formel auf seite 140 oben fürs flächenelement geh, komm ich auf
[latex]\Large$ F=\int\limits_{\varphi=0}^{2 \pi}\int\limits_{r=0}^a \sqrt{\frac{r²}{a²} +1},\ dr d\varphi$[/latex]

hmm, komisch. guck ich mir glei nochma an. vllt liegt der fehler auch schon da drin :wacko:

€: wie kommst du auf [latex]\sqrt{\frac{2}{a} +1}[/latex]

[Checker]

musst zuerst auf den ansatz F = int(1+fx²+fy²)hoch 1/2 d(x,y) kommen, is im mertzinger seite 140 oben, warum und wieso den??? hab ich selbst mal nachgefragt und bekam zur antwort: muss man sehen:wallbash: na ja


ja und dann bildest du    
(X)     x
(y) -> y
(z)     (xy/a)



dann fx bilden  und fy bilden


dann fx und fy einsetzen, dass da dann oben bei fx ne 1 und bei fy in der mitte ne 1 steht hat mich auch lange zeit gestört, ich hab die dann einfach weil die ja mit quadriert wird dann rausgerechnet und bin auf die gleichung


intWurzel(1+y²/a² + x²/a²) d(x,y) gekommen


dann die ! Polarkoordinaten rein !  


kommt dann raus


    int(phi=0 bis 2pi) int(r=0 bis a) Wurzel(1+r²/a²) *r dr dphi


kommt man auf en int. mertzinger Nr. 116 glaube ich ja und dat müsstest dann sein !


wäre cool wenn mal jemand ne begründung geben könnte warum man den ansatz nimmt?! Aber bitte nich so was wie : "scharf hingucken oder so"


Danke

[sandmann]

hehe, bis auf die fkt-determinante hab ich das auch so.

also ich hatte mir die seite nochma genau angeguckt und halt dann oben gesehen, dass da stand "Fläche F: Gegeben explizit als Graph einer Funktion z=f(x,y), (x,y) € B"

und das passt ja genau auf z

werd das jetzt nochma mit dem zusätzlichen r rechnen


€: jetzt passt das, da wird das integral auch gleich einfacher (binomi nr. 150 oer halt gleich nr.116)

[Checker]

hi,


ich mache grad die 13. Übung in Mathe


kann mir bitte mal jemand sagen warum man bei der 21.5   bei phi auf die grenzen von 0 bis pi/2 kommt? die anderen grenzen habsch selber hinbekommen, nur bei der von y hänge ich halt. ach ja, und wo kommt bitte die 2 vor den ganzen integralen her?



danke