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Prüfungen/Testate 1./2. Sem. / Kreuzeltestat Hinze 2005

« on: January 31, 2007, 07:46:50 pm »

Naja, nicht ganz. Es kommt auf die Unstetigkeit an. Ist sie hebbar, so kann man das Integral schon berechnen. Es soll auch vertikale Asymptoten geben, bei denen man ein uneigentliches Integral berechnen kann. Kleines Beispiel: [latex]
$\mbox{$\displaystyle\int _0^1 {\displaystyle\frac{{\mbox{d}}x}{\sqrt{x(1-x)}}}$}$[/latex]

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Prüfungen/Testate 1./2. Sem. / Kreuzeltestat Hinze 2005

« on: January 31, 2007, 06:48:06 pm »

2 c) Also, ich hab das so gemacht:
1: es gibt zwei Polstellen im Inneren des Integrals. Aus dem Ansatz für die Partialbruchzerlegung folgt, dass man sich nach der Integration auf jeden Fall [latex]$A \ln(x-1)$[/latex] und [latex]$C \ln(x-2)$[/latex] einfängt. Daraus wiederum folgt, dass das Integral bei einseitiger Annäherung an die Polstelle unendlich wird. Damit existiert das Integral nicht (es ist ja nicht nach einem Cauchyschen Hauptwert gefragt, und der würde glaube ich auch nicht existieren).
2: Ich sehe keinen Grund, der dagegen spricht (keine Unstetigkeiten), dass dieses Integral existiert
3: Sollte eigentlich auch nicht exisitieren (aus dem gleichen Grund, wie bei 1)
 
@pegaso
Kannste mal bitte grob den Weg schildern, den du bei 3 a) mit den Potenzreihen gehst. Ich komme zwar nach ewigem Getrickse auch auf Antwort 2, aber mein Weg ist vom Aufwand definitiv nicht Klausurtauglich. Ich habs mit Potenzreihen versucht, aber ohne eigentlich verbotene Dinge zu tun, komm ich nicht weiter.

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Prüfungen/Testate 1./2. Sem. / Kreuzeltestat Hinze 2005

« on: January 31, 2007, 03:59:22 pm »

Ne, also ich krieg für 1 a) exakt 2 raus ... und das sagt auch der Rechner. Ich hab demzufolge dort alle Antworten als richtig angekreuzt.
 
Zur 1 b) Da haste schon Recht, dass es nur 2 sein kann. Das ist ja auch relativ einfach festzustellen. Die Preisfrage ist aber, ob überhaupt eine Antwort richtig ist (es steht nirgends, dass immer eine richtig sein muss). Weil es steht ja eindeutig dort, dass n aus dem reellen Zahlenbereich sein kann. Die Potenzreihendefinition von Polynomen habe ich auch schon gesehen. Die Def. wird aber in manchen Quellen auch ohne Potenzreihen gemacht. Zusammengefasst: Ich finde keine Stelle in der Literatur bzw. im Internet, die mir verbietet, ein Polynom mit nichtganzzahligen Exponenten zu benutzen.

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Prüfungen/Testate 1./2. Sem. / Kreuzeltestat Hinze 2005

« on: January 30, 2007, 08:08:10 pm »

nur leider steht dort, dass k aus R ist. Wenn k aus Z wäre, wär alles klar.

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Prüfungen/Testate 1./2. Sem. / Kreuzeltestat Hinze 2005

« on: January 30, 2007, 07:50:14 pm »

Also die 1b) find ich auch bissel verwurschtelt:
1 kann nicht sein, weil z.B. [latex]$x^4 + 1$[/latex] keine reelle Nullstelle hat,
3 kann nicht sein, weil z.B. bei [latex]$x^2 - 1$[/latex] beide Nullstellen reell sind.
2 kann auch nicht sein, weil z.B. aus [latex]$k = 1.5$[/latex] ein n von 4 folgt und z.B. [latex]$x^4 + 1$[/latex] keine einzige reelle Nullstelle hat. Wenn k eine ganze Zahl wäre, würde die Aussage stimmen ...
Aber vlt. ist auch die Antwortformulierung das Problem: Bei 1 und 3 steht "für alle n ... mindestens", bei 2 jedoch nur "für [latex]$n = 2k + 1$[/latex] ... mindestens". Im Prinzip wäre die Aussage ja damit war, wenn sie für ein einziges k gelten würde ... nur durch das "mindestens" was noch dahintersteht, siehts meinem Gefühl nach schon wieder anders aus. Vielleicht kennt sich hier ja jemand genauer mit diesen mathematischen Ausdrucksweisen aus und kann uns auf die Sprünge helfen.
Also, wenn es denn bei diesem Testat die Möglichkeit gibt, dass keine der drei Antworten richtig ist, dann würde ich auch keine ankreuzen. Wenn mindestens eine richtig sein muss, dann die 2.

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Übungsaufgaben 1./2. Semester / Testataufgabe vom 24 mai 2004 - grossmann

« on: January 29, 2007, 08:09:16 am »

ja klar iterationsverfahren wurden besprochen ... aber die fehlerabschätzung auch bei uns nicht.

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Übungsaufgaben 1./2. Semester / Testataufgabe vom 24 mai 2004 - grossmann

« on: January 28, 2007, 10:31:43 pm »

Also die c) ist glaub ich kein Newton Verfahren sondern ein Fixpunktverfahren (sieht man, wenn man die Iterationsvorschrift mal mit B^(-1) durchmultipliziert).
Wenn man mal in der Binomi-Formelsammlung unter Fixpunktverfahren sucht (Seite 188), findet man auch genau das vorliegende Problem (Seite 188). Daraus geht auch hervor, dass c eine Lipschitzkonstante darstellt. Wie es aber genau weitergeht, kann ich im Moment nicht erkennen. Rockets Variante passt zwar, aber das ist wohl Zufall. Denn es soll ja eine Konstante für "beliebige x0" gefunden werden (und man weiß ja nun vorher nicht, dass x0=0 den "Worst-Case" für die Iteration darstellt). Und wie der richtige Rechenweg dahin geht, ist mir im Moment nicht ersichtlich. Allerdings denke (oder besser hoffe) ich auch, dass das ne Sache ist, die er in dem Semester, in dem die Klausur geschrieben wurde, behandelt hat und bei uns halt nicht. Man müsste evtl. mal nachfragen.

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Übungsaufgaben 1./2. Semester / Testataufgabe vom 24 mai 2004 - grossmann

« on: January 25, 2007, 01:37:47 pm »

Naja klar, sag ich ja. Das ist doch auch bloß ne andere Schreibweise für ln(irgendwas)*ln(irgendwas) bzw. ln(irgendwas)^2

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Belege 1./2. Semester / Beleg (MBZ Aufgabe)

« on: January 24, 2007, 04:41:32 pm »

Ne, bei nem Gewindestift ist das Gewinde schon drauf. Man könnte höchstens nen passenden Zylinderstift als Ausgangsbasis nehmen und das Gewinde dann draufschneiden. Aber dann wärs ja kein Normteil mehr ... man müsste also auch ne Zeichnung anlegen, oder zumindest irgendwo hinschreiben, mit welchen Maßen das Gewinde gemacht werden soll.

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Übungsaufgaben 1./2. Semester / Aufgabe 4.9 Statik

« on: January 24, 2007, 09:36:32 am »

Genau, ohne das du den Freischnitt und die angetragenen Kräfte siehst, kannst du an den Werten nicht auf die Richtung der Kraft schließen. Aber die Lösungen sind glaub ich so, dass die Kräfte positiv sind, wenn sie nach rechts oder oben zeigen und umgekehrt dann negativ. Zugkräfte in Stäben sind auch positiv.
Wenn du also deine Kräfte (Auflager) immer nach rechts bzw. oben anträgst (und bei Stäben vom Stab weg), müsstest du also auf die Lösungen kommen. Und die Momente sind glaub ich immer gegen den Uhrzeigersinn angetragen. Und bei den Schnittreaktionen sind die Kraftrichtungen ja definiert.

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Übungsaufgaben 1./2. Semester / Testataufgabe vom 24 mai 2004 - grossmann

« on: January 24, 2007, 09:24:21 am »

Vorne steht ne Konstante (-ln2) und hinten die Ausgangsfunktion! Die Konstante wird bei der Ableitung einfach mitgenommen und die Ableitung von der Ausgangsfunktion haste ja schon.
Und (ln2)^2 gibts natürlich, warum auch nicht?

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Belege 1./2. Semester / Beleg (MBZ Aufgabe)

« on: January 23, 2007, 06:10:15 pm »

Die meisten wichtigen Normen sind auch im Hoischen.
Allerdings fand ichs bissel komisch, dass er den Gewindestift (den mit dem beidseitigen Gewinde) aus der Norm genommen hat. Weil genormt gibts den nur mit durchgehendem Gewinde ... ist zwar im Endeffekt egal für die Funktion, aber in der Explosionsansicht isses anders dargestellt.

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Prüfungen/Testate 1./2. Sem. / Probeklausuren Mathematik I

« on: January 22, 2007, 06:03:41 pm »

Ich glaub auch, dass die Lösung nicht hinkommt.
Ich denke, die habens Quadrat überm ln(2) beim letzten Taylor-Glied vergessen. Wenn man das hinmacht, stimmts mit Simmel-LRTs Lösung überein, weil ja ln(0,5)=-ln(2). Und wenn man das Quadrat mit hinmacht, ist die Approximation in der Nähe von zwei auch etwas besser (aber nicht viel, deshalb habens die vlt. übersehen).

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Übungsaufgaben 1./2. Semester / Testataufgabe vom 24 mai 2004 - grossmann

« on: January 19, 2007, 10:42:29 pm »

Es ist ja so, dass das Taylorpolynom 1. Grades von sin(x) genau das gleiche ist, wie das 2. Grades (bei Wahl der Entwicklungsstelle x0=0).
Das Restglied sieht allgemein so hier aus: (f(n+1)(xi))/(n+1)! * (x-x0)^(n+1)
Dabei ist f(n+1) nichts anders als die (n+1)te Ableitung von f(x), xi irgendein Wert zwischen 0 und pi/6 (den wir noch nicht kennen), x liegt auch im Intervall von 0 bis pi/6 und x0 ist die Entwicklungsstelle.

Im ersten Fall (c1) brauchen wir das Restglied ersten Grades, d.h. wir müssen die zweite Ableitung bilden:
f'(x)=cos(x)
f''(x)=-sin(x)
Also sieht unser Restglied für die Entwicklungsstelle x0=0 wie folgt aus:
R1(x)=(-sin(xi)/2)(x^2). Da aber auf der linken Seite vom Gleichheitszeichen der Betrag steht, muss dieser hier auch gesetzt werden: |sin(xi)/2)(x^2)| (das minus vorm sinus kann wegen dem Betrag wegfallen). Jetzt sieht man auch, dass das c1 genau |sin(xi)|/2 entspricht. Nun wollen wir ja wissen, für welchen Wert xi dieser Term maximal wird (sprich: wir suchen den Wert xi für den das Restglied maximal groß wird). Weiterhin wissen wir, dass xi im Bereich von 0 bis pi/6 liegt. In diesem Bereich ist die sinus Funktion streng monoton steigend. Damit muss also xi=pi/6 sein. Und taataaaa ... sin(pi/6)/2 = 1/4.

Im zweiten Fall (c2) brauchen wir das Restglied zweiten Grades, d.h. wir müssen die dritte Ableitung bilden:
f'(x)=cos(x)
f''(x)=-sin(x)
f'''(x)=-cos(x)
Also sieht unser Restglied für die Entwicklungsstelle x0=0 wie folgt aus:
R2(x)=|cos(xi)/6)(x^3)|. Jetzt sieht man wieder, dass das c2 genau |cos(xi)|/6 entspricht. Nun begintt das gleiche Spiel von vorne ... die Kosinus Funktion ist im Intervall von 0 bis pi/6 monoton fallend. Damit muss also xi=0 sein, weil damit |cos(xi)|/6 maximal wird ... und wir erhalten cos(0)/6 = 1/6.

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Übungsaufgaben 1./2. Semester / Testataufgabe vom 24 mai 2004 - grossmann

« on: January 15, 2007, 06:14:18 pm »

Für die 2b musste dir mal die Taylorreihenentwicklung vom Sinus anschauen.
Es gilt ja Tn(x)+Rn(x)=f(x)
Umgestellt ist dass dann f(x)-Tn(x)=Rn(x). Und genau dass ist ja dass was dort steht. Sin(x) entspricht f(x), x entspricht Tn(x) (sowohl für n=1 als auch n=2, da die zweite Ableitung vom Sinus an der Entwicklungsstelle 0 ist) und die Rechte Seite entspricht genau dem Restglied. Also muss man dann eine Restgliedabschätzung für das Intervall 0 bis pi/6 durchführen.

Zur 4a): Für Stetigkeit muss man sichern, dass die Funktionswerte in den "Übergangspunkten" für die beiden jeweils beteiligten Funktionen übereinstimmen (die jeweiligen Punkte einfach in die Funktionen einsetzen und dann gleichsetzen), für die Differenzierbarkeit muss noch die Ableitung übereinstimmen. Daraus erhält man einen Satz von Gleichungen, mit dem man die Lösungen bestimmen kann.

Sollteste trotzdem nicht klarkommen, musste dich nochmal melden. War zugegebenermaßen bissel Kurzfassung.