Author Topic: Eppler Klausur August 2008 Aufgabe 3a (Read 6344 times)

ehuget · « **on:** August 11, 2011, 01:06:28 pm »

Ich bin gerade darüber die Klausur durchzurechnen.
Allerdings komme ich bei der 3a nicht auf die Lösung.

Was ist denn die Ableitung einer komplexen Zahl?
Laut Internet ist sie 1, aber ich komme trotzdem nicht auf das Ergebniss aus der Lösung.

Kann mir jemand weiterhelfen?

los washos · « **Reply #1 on:** August 11, 2011, 01:26:41 pm »

mit z' erwitern, beim ersten bruch gleich wieder wegkürzen, beim zweiten im nenner dann ausrechnen und auf x^2+y^2 kommen und dann addieren...

(x+iy)/(x^2+y^2)-1/(x+iy) -> (x+iy)/(x^2+y^2)-(x-iy)/(x^2+y^2)

Jenny146 · « **Reply #2 on:** August 11, 2011, 01:45:58 pm »

Wozu brauchst du die Ableitung einer komplexen Zahl? die ist in der Aufgabe nicht gefragt.

Moebi · « **Reply #3 on:** August 11, 2011, 02:06:33 pm »

Ich bin davon ausgegangen, dass dort "...1/z [Komma] wobei ..." steht. Hat bei der Lösung auch soweit ganz gut geklappt.

thanhtacle · « **Reply #4 on:** August 11, 2011, 04:30:08 pm »

Das ist ein Komma! Wer des Deutschen mächtig ist, sollte das erkennen.
Hast mich grad verwirrt damit, weiß aber trotzdem nicht, wie ich an diese
Aufgabe herangehen soll.

Hat jdm. einen Lösungsweg?

Edit: Ich hab's:
Man formt zuerst den zweiten Summanden in [latex]$\frac{\bar z}{|z|^2}$[/latex] um.

Dann rechnet man [latex]w = $\frac{z}{|z|^2}-\frac{\bar z}{|z|^2}$[/latex], was [latex]$\frac{2iy}{|z|^2}$[/latex] ergibt (Rechenregel).

Dann setzt man für [latex]z = x + iy[/latex] ein und
dividiert nach der Divisionsregel.

Man erhält, wie in der Lösung angegeben: [latex]$Re(w) = 0; Im(w) = \frac{2y}{x^2+y^2}$[/latex]

Lenzelot · « **Reply #5 on:** August 11, 2011, 04:53:14 pm »

w=z/lzl² - 1/z formst du um, indem du nach der divisionsregel für kompl zahlen aus 1/z --> z[konj]/z*z[konj] machst... der nenner ist damit praktisch lzl² also hast du stehen (z-z[konj])/lzl²
und der zähler ergibt sich,w enn du z=x+iy einsetzt zu 2iy ... also steht am ende da: w=2iy/lzl² ... Re(w)=0 , Im(w)=2y/lzl²

thanhtacle · « **Reply #6 on:** August 11, 2011, 05:20:00 pm »

...warst schneller (für mich nur leicht unübersichtlich, es nicht über latex zu schreiben).

Hat jdm. ne Idee zu 3b, c, d ?

Lenzelot · « **Reply #7 on:** August 11, 2011, 05:58:32 pm »

bei b schaust du am besten mal in den merziger auf seite 180 ganz unten... die aufgabe lässt sich über die n-te einheitswurzel gut lösen... man könnte auch durch draufschauen und probieren auf die richtige lösung kommen, aber mit der einheitswurzel findest du schnell alle lösungen, ohne was zu übersehen (Lösung müsste z=i sein)

bei c rechnest du z²=lzl² aus und formst nach x um... kannst du dann in z einsetzen

bei d bestizt das polynom eine reelle und eine komplexe nullstelle.... zu jeder komplexen gehört auch die konjugiert komplexe, also hat das polynom 3 nullstellen und damit mindestens den dritten grad, denke ich

thanhtacle · « **Reply #8 on:** August 11, 2011, 07:44:00 pm »

Ich sag erstmal danke und kontrollier' das später

.

Kannst du mir einen Ansatz für die 4 geben, bitte?

Die 6 irritiert mich auch etwas: Ich finde keine Formel, mit
der man einen Rotationskörper aus einer rotierenden Fläche/Ebene
berechnen kann.

Lenzelot · « **Reply #9 on:** August 11, 2011, 07:54:02 pm »

naja, bei der 4 musst du mit rechenregeln und eigenschaften von matrizen jonglieren...

bei a und b die rechenregeln anwenden( also Aa und Ay berechnen und A^T berechnen), bei c die ergebnisse aus a nutzen mit dem ansatz Ax=λx

christoph90 · « **Reply #10 on:** August 11, 2011, 08:09:36 pm »

kann mir jemand sagen wieso bei 4.a) bei Aa sich at und a vertauschen ??

also A = I + a at

aber Aa = (1+at a )a ?

und Ay = y + a at y

jabba90 · « **Reply #11 on:** August 11, 2011, 08:25:42 pm »

du hast A=I+a*aT
Aa=(I+aaT)a
du musst das a, da es hinter der klammer steht auch von rechts dran multiplizieren
Aa=Ia+aaTa
dann ist die Einheitsmatrix mal einem Vektor gleich der Vektor also...
Aa=a+aaTa
nun kann man a ausklammer, aber um nicht wieder auf das selbe zu kommen, klammer ich das linke a aus...
Aa=a(1+aTa)
multipliziert man einen transponioerten Vektor, mit einem vektor, so kommt eine Zahl heraus, andersherum würde ne matrix raus kommen und Zahl + Matrix (1+aaT) macht keinen sinn, daher
Aa=a(1+aTa)
da in der klammer nun eine summe aus 2 zahlen steht, ist es egal wo der vektor a steht ( also vor oder nach der klammer)
hoffe ich konnt dir das halbwegs erklären

jabba90 · « **Reply #12 on:** August 11, 2011, 08:32:12 pm »

@ thanhtacle

für 6.
überleg dir als erstes mal was du da für nen körper hast, dann kannst du dir das schonmal besser vorstellen.
wenn du y null setzt, bist du nurnoch in der x-z-Ebene, nun ne gleichung für diese kurve aufstellen (-x^2+4 war das glaube) und im merziger findest ne gleichung zum bestimmen des volumens um drehung um die y-achse (was in unserem fall die z-achse ist)
allerdings gehts auch ganz ohne integrieren, wenn du herausfindest was es für ein körper ist, denn da steht unter diesem auch eine gleichung um das volumen zu bestimmen..
als tip, es ist ein rotationsparaboloid der nach unten hin geöffnet und um 4 einheiten auf der z-achse nach oben vershcoben ist

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Jenny146