Klausur Grossmann 2009 Aufgabe 3

[tobi124]

Hallo Zusammen!

Hab gerade mal die Aufgabe 3 aus der Grossmann Klausur von 2009 gerechnet. Mit dem Satz von Stokes löst man ja das Oberflächenintegral 2. Art über ein Linienintegral 2. Art. Also brauch man die Berandungskurve. x und y ist ja klar.

y=t und x=1-t

Beim ersten Mal hab ich die Aufgabe dann mit z=0 gerechnet. Dann komme ich auch auf die 1/4.

Allerdings ist mir eben aufgefallen, dass wenn ich die Variablentransformation in die Funktion für z der Fläche (also g(x,y)) einsetze, für z zwei raus kommt. Meiner Meinung nach müsste man dann für z auch zwei einsetzten.

Oder soll das Integral nicht für die "Deckelfläche" g(x,y) gelöst werden, sondern für die Seitenfläche die durch x+y=1 gegeben ist? Denn das macht man meiner Meinung nach, wenn man für z null einsetzt. So wie der Vektor gegeben ist, würde ich nämlich die Deckelfläche nehmen.

Hat jemand eine Idee?

Gruß Tobi

[lilo]

Ich hab die Aufgabe grad nachgerechnet. Mit z = 2 sollte auch das richtige rauskommen [Das z hebt sich gerade raus. Theoretisch kommt man mit jedem beliebigen Wert für z auf das gleiche Ergebnis. Aber korrekterweise sollte man es tatsächlich 2 setzen. ]


Ich vermute mal, dass du übersehen hast, dass die Randkurve aus drei Abschnitten besteht; dem Abschnitt y=0, 0
Der erste und der letzte Abschnitt fallen für z = 0 gerade weg (also ergeben Null) und es bleibt nur der mittlere übrig -- daher kommt man da auch auf die Lösung 1/4. Der erste Abschnitt ergibt sich zwar immer zu Null, der dritte jedoch für z ungleich Null nicht.

Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig helfen

Ach ja: Was auch immer du mit Deckfläche meinst... [Flächen -- und hier ist schließlich eine Fläche und kein Körper gegeben -- haben weder Deck- noch Seitenflächen ]

[tobi124]

Hey!

Danke für deine Antwort! Stimmt. Hab die Aufgabe gestern selbst noch mal gerechnet, nachdem mir aufgefallen ist, dass ich zwei Randkurven vergessen hab. Stimmt. Mit meinem falschen Lösungsweg hab ich auch die richtige Lösung bekommen

Aber jetzt ist alles klar;)

Viele Grüße

tobi

[Albert]

hi,
könnte einer von euch mal bitte seine lösung ins netz stellen... ich versteh nicht so ganz wieso die abschnitte die auf der x und y achse null werden und überhaupt wie man sich das g(x,y) vorstellen soll oder spielt das überhaupt keine rolle?
und wie habt ihr die Fläche A parametrisiert?
grüßle

[MJey]

hai,

wollt mal fragen wie bei euch die normale n aussieht?

wenn y=t ist und x=1-t ist ja z=2

somit x = (t, 1-t, 2) ... wie bekomm ich daraus ne normale?#

und rot f(x) = (0, 0, x²) ??

[lilo]

Lies am besten nochmal die Aufgabenstellung und denk darüber nach


Da steht, dass man den Satz von Stokes benutzen soll [Der sorgt gerade dafür, dass man rot f(x) nicht berechnen muss und auch nicht die Normale der Fläche (wichtig ist lediglich deren Richtung, damit man weiß, in welche Richtung die Randkurve durchlaufen werden soll -- Rechte-Hand-Regel). Was man dann benötigt ist lediglich eine Parametrisierung der Randkurve (Achtung Dreiteilung!) in der entsprechenden Richtung und deren erste Ableitung. Durchstöber am besten mal ein wenig deine Formelsammlung zum Satz von Stokes.]

[Rollo-derWikinger]

@lilo: erklär mir mal bitte wie du das ohne normale machst. integrierst du einfach üver die kurve der grundfläche?

natürlich lässt sich das ganze auch mit normalenvektor lösen, denn

[latex]$ \int_A rot( \vec{f} ) d \vec{A}=\int_A (rot( \vec{f} ) \cdot \vec{n})dA$ [/latex]

diesen holt man sich aus der flächenbeschreibung. das kreuzprodukt zweier tangentialvektoren ergibt hierbei die normale.
deine fläche ist gegeben durch die grundfläche in der x-y-ebene (x>=0, y>=0, x+y<=1) und einem parametrisiertem vektor x=(x,y,g(x,y))
g(x,y) wäre dann deine fläche. die tangentialvektoren bekommt man durch richtungableitung des vektor is zwei unabhängige raumrichtungen (hier x und y-richtung)
bilden wir das kreuzprodukt (siehe MER 150) und die rotation von f

[latex]
$ \vec{n} = \vec{x_x} X \vec{x_y} = (1,0,g_x) X (0,1,g_y) = (-g_x,-g_y,1)$ \\ \\
rot \vec{f} = (0,0,2x-x^2) \\ \\
\rightarrow \int_A (rot( \vec{f} ) \cdot \vec{n})dA =\int_A (0,0,2x-x^2) \cdot (-g_x,-g_y,1)dA \\ \\
=\int_A 2x-x^2 dA [/latex]

als integrationsgrenze dient die projizierte grundfläche

[latex]$ I_A= \int_{x=0}^1 \int_{y=0}^{1-x} (2x-x^2 )dy dx = \frac{1}{4} $[/latex]

[Albert]

hab es jetzt auch hinbekommen. danke für eure hilfe... aber nochmal an rollo... wir sollen die aufgabe ja mittels satz von stokes lösen... dh. man benötigt tatsächlich keinen normalen verktor nur die tangentenvektoren der einzelnen kurvenabschnitte... finde es nur verwirrend warum dann in der aufgabe steht das die normale n positiv sein soll... oO
naja aufjedenfall verschwinden ja die beiden teilstrecken die jeweils auf der x und y achse liegen und entscheidend ist quasi nur x+y<1... ich bin nur etwas verwirrt da so ja quasi g(x,y) überhaupt keinen einfluss auf die lösung hat... grüßle

[Rollo-derWikinger]

naja, wenn die normale positiv ist, dann kannst du auf die richtung des kurvenintegrals schließen. wenn z positiv sein soll, dann muss die geschlossene fläche immer links der kurve liegen. z negativ. genau das umgekehrt