Grossmann Klausur SS2010

[KleinerHugo]

Die Klausur ist jetzt Online Lösungen bitte in diesem Topic diskutieren, wegen der Übersichtlichkeit auch für spätere Semester

Klausur 20.08.2010

[Rollo-derWikinger]

Aufgabe 1: da hab ich vieles raus. das meiste is wohl blödsinn. beim rang von A hatte ich 2 für s=-1;2, sonst 3

Aufgabe 2:
Eigenwerte: -1, 1+2i, 1-2i
Eigenvektoren: (0,0,1),(1,-i,0),(1,i,0)
und nach dem vetters blatt zusammgebaut.
C1=e^x, C2 und C3 waren bei mir ewig große terme mit sin und cos

Aufgabe 3:
r (für alpha=0) =t
[latex]$m= \frac{1}{2}( \sqrt{2}-1+ln(1+ \sqrt{2}))\\
s_z= \frac{1}{m} ( \frac{ \sqrt{8} }{3}-1)$[/latex]

Augabe 4:
[latex]
$F=e^{x+y}+cos(x)\\
y=ln(cos(x)+c)-x=ln(cos(x))-x$[/latex]

Aufgabe 5: [latex]$-3+4x+(y-1)- \frac{5}{2}x^2+x(y-1)$[/latex]

Aufgabe 6: r=2, konv. [0;4]


alles natürlich ohne gewähr, bei manchen sachen bin ich mir ziemlich sicher mist gemacht zu haben

hoffe es schreibt mal wer was zum bestätigen oder dementieren.
ansonst euch allen schöne semesterferien!

[FrankWhite]

manche lösungen erkenn ich sogar zum teil wieder
aufgabe 1: welche werte durfte es nicht annehmen ?! 1 und -1 oder 1??


[EDIT: Fullquote entfernt. Der Beitrag steht doch direkt obendrüber. @ hätte auch gereicht :glare: --KleinerHugo]

[Suilivan]

öhhmm ... ich hätte bei aufgabe 6.) eher gesagt das
r = 1/2 ... wegen dem Minus in [...]2^(-k)..

hatte es eigentli auch mit Taschenrechner @ home auch so raus das r=1/2 ist.
und dann konvergierts natürli auch für was anderes

aufgabe 2 hab ich auch soooooo....

und glaube bei aufgabe 4.) hatt ich F=e^{x+y}+cos(x) ...

jooar

[MichaS]

Aufgabe 6 ist richtig gelöst! definitiv.

aufgabe 3a ist falsch! es gilt: x²+y²=1+t² --> r(t)=wurzel(1+t²)

[MichaS]

sorry! aber r=1/2 ist einfach falsch! vielleicht hast du 1/r=1/2 bestimmt!?! prüfe einfach den Punkt x=0 bzw x=4; du wirst feststellen, dass diese außerhalb deines konvergenzintervalls liegen und trotzdem konvergieren. :whistling: dann muss ja was bei dir faul sein...sorry, aber ich hab mich nicht verrechnet!:innocent:

[Rollo-derWikinger]

@micha: aufgabe 3a
mist, ich hab die dichte-funktion übersehen. aber damit hat der radius ja nix zu tun. die aufgabe is analog zu aufgabe 2 von 2005. bei der steht nur überall n a davor und deswegen is die lösung at und nich t wie hier

@suilivan: hast recht, es muss + und nicht - sein (damn!)

mit dem konvergenzradius bin ich mir ziemlich sicher und ich habe auch die randpunkte überprüft und herausbekommen, dass sie konvergieren.
sobald auch nur einer der beiden punkte 0 und 4 konvergiert muss der radius ja mindestens 2 sein

[Haves]

@Aufgabe 6: Gilt nicht für x<2, dass die Reihe alternierend konvergiert? Den Konvergenzradius mal außen vorgelassen.

[Rollo-derWikinger]

die konvergiert für alle werte innerhalb des konvergenzradius, nur die randpunkte müssen gesondert untersucht werden. dass sie im konvergenzbereich alterniert kann man so nich sagen. der punkt 0 z.b. war eine alternierende folge, der punkt 4 hingegen nicht

[Suilivan]

uhhaa habt recht , habt recht

ich hab 1/r bestimmt ... haste recht... hab das i.wie blöde aufgeschrieben gehabt in meiner Formelsammlung :wallbash:

nujaa egal ^^ , passiert.

[adeptus mechanicus]

aufgabe 1:
a) müsste ich jetzt nochmal nachrechnen, aber war machbar
b) s = 1 und s = -1 ändern den rang der matrix A von 3 auf 2... für alle anderen s is der rang 3
c) d = t * (2,-1,2,0) , mit t element der reellen zahlen
 
aufgabe 2:
wie bei rollo, nur das ich beim realteil der EV ne -1 statt der 1 hab... wahrscheinlich liegt der fehler bei mir und 1 stimmt
 
aufgabe 3:
r(t) = t
m = ln|1+wurzel(2)|
Sz = dementsprechend was anderes
 
aufgabe 5: rollo sein ergebnis sieht gut aus... 5/2 x² und so
 
aufgabe 6: is bei rollo richtig, randwerte durch majoranten-kriterium und leibnitz-k. nachweisbar konvergent
 
wer augabe 4 vermisst... ich hab an der stelle nich gepeilt was der merziger eg meint, also keine lsg

[Suilivan]

Mal ne Ausführliche Lösung zu 6. für de Konvergenzradius ... ( mirs langweilig sorry ^^)

[latex] Ausgangsformel: $\frac{1}{r} = \lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{a_{k}}$ \\
Einsetzen: $\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{1}{(k^2+1)(2^k)}}$ \\
Umformen:  $ \sqrt[k]{\frac{1}{(k^2+1)}}
\cdot \sqrt[k]{\frac{1}{(2^k)}}$ \rightarrow (\frac{1}{(k^2+1)})^
\frac{1}{k} \cdot \frac{1}{2} $ \\
Mit Limes: $ \lim\limits_{k \to \infty} (\frac{1}{(k^2+1)})^
\frac{1}{k} \cdot \frac{1}{2} \rightarrow 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{r} \\
Also: $ r = 2
[/latex]

[MichaS]

So, ich will euch ja nicht unbedingt meinen Willen aufzwingen, aber ihr habt euch verrechnet!
Bei (a) war alpha=0 somit entfällt die z-Komponente des Vektors!
Es bleibt also:
x(t) = cos(t) +tsin(t)
y(t) = sin(t) - tcos(t)
z(t) = 0
Ich quadriere die ersten beiden Zeilen und addiere sie:
x²+y²= (cos(t) +tsin(t))² + (sin(t) - tcos(t))²
Ausmultiplizieren der rechten Seite:
(cos(t) +tsin(t))² = cos²(t) +2tcos(t)sin(t) + t²sin²(t)
(sin(t) - tcos(t))² = sin²(t) - 2tcos(t)sin(t) + t²cos²(t)
Die beiden letzten Gleichungen müssen addiert werden. Es bleibt unter berücksichtigung von cos²(t) + sin²(t)=1 folgendes übrig:
x²+y²=1+t²(sin²(t) + cos²(t))=1+t²

also steht folgendes da:
x²+y²=r²=1+t²
daraus folgt
r=wurzel(1+t²)

alles korrekt!!!!

[Steven]

also steht folgendes da:
x²+y²=r²=1+t²
daraus folgt
r=wurzel(1+t²)

alles korrekt!!!!

juhuuu ich hab was richtig

[adeptus mechanicus]

daraus folgt
r=wurzel(1+t²)
 
alles korrekt!!!!

hm... ich vertrete nach wie vor die meinung das der lösungsweg über die krümmung ebener kurven und den sich daraus ergebenden reziproken (in dem fall der radius) führt. interessanterweise kann ich bei deinem lösungsweg im moment keine unstimmigkeit feststellen... bei meinem (und ich denke mal alle die regelmäßig die mathe-übungen besucht haben werden ihn auch verwendet haben) gibt es aber ebensowenig unstimmigkeit
 
auf grund der eindeutigkeit, kann es aber nur eine lösung geben xD