7.2.13

[fischi]

hallo,
ich habe folgende frage: wie bringe die hier dieses x^2 in die lösung ein? ich komm da einfach nicht drauf. wäre gut wenn mir da jem schnell antworten könnte danke im vorraus!

[HansOne]

Ausgangsgleichung umgeformt:
[latex]$u_{x}}- \frac{y}{x}u_{y}=-\frac{(1+x^2)}{y}$[/latex]

Nun folgt der Ansatz :
[latex]$\frac{du}{dt}=\dot{u}=u_{x} \dot{x} + u_{y} \dot{y} $[/latex]

Über das Charakteristische System folgt:
[latex]$\dot{x}=1, \dot{y}=-\frac{y}{x}, --> C_{3}=xy$[/latex]

nun greift man die Ausgangsgleichung wieder auf und substituiert x und y:
[latex] x=t [/latex] [latex]y=$\frac{C_{3}}{x}$=$\frac{C_{3}}{t}$[/latex]

somit folgt:
[latex]$\dot{u}=-\frac{(1+t^2)}{c_{3}}t=-\frac{t+t^3}{C_{3}}$[/latex]

Nach Integration folgt:
[latex]u=- $\frac{1}{C_{3}}$($\frac{t^2}{2}$+$\frac{t^4}{4}$)+C [/latex]

Nun noch Rücksubstituieren und so kommt man schließlich auf:
[latex]u(x,y)=-$\frac{x}{4y}$(2+x^2)+\phi(xy)[/latex]

Also mehr kann ich auch nicht dazu sagen wie das [latex]x^2[/latex] da rein kommt... hoffe es hilft