Aufgabe 7.2.6

[HansOne]

Hallo,
ich stecke gerade in der Prüfungsvorbereitung und musste leider feststellen, dass wir in unserer Übung damals die Aufgabe 7.2.6 nicht behandelt haben und dass ich sie selber nicht lösen kann.

Kann mir jemand bitte eine Lösung dieser Aufgabe zukommen lassen?
Das wäre super nett!

Danke

[Psirus]

[latex]
\large
$ v_{rr} + \frac{1}{r^2} v_{\varphi\varphi}+ \frac{1}{r} v_r = 0 \\
R'' \Phi + \frac{1}{r^2} R \Phi'' + \frac{1}{r} R' \Phi = 0 \\
R'' \Phi + \frac{1}{r} R' \Phi = - \frac{1}{r^2} R \Phi'' \\
\frac{1}{R} (r^2 R'' + r R') = - \frac{\Phi''}{\Phi} = k^2
[/latex]
Bestimmen von R:
[latex]
\large
$ r^2 R'' + r R' - k^2 R = 0 \\
\text{Ansatz: $ R(r) = r^m $} \\
R' = m r^{m-1} \\
R'' = m(m-1)r^{m-2} \\
m^2  - k^2 = 0 \\
m = \pm k \\
R(r) = C r^k + D r^{-k} $
[/latex]
Bestimmen von Phi:
[latex]
\large
$ \Phi'' + k^2 \Phi = 0 \\
\lambda = \pm k i \\
\Phi(\varphi) = E \sin(k \varphi) + F \cos(k \varphi) $
[/latex]
Rand- und Anfangsbedingungen:
[latex]
\large
$ I: v(1,\varphi) = 0; II: v(2,\varphi) = 2 \sin \varphi \\
\text{III:} v(r,0)=v(r,2\pi); IV: v_{\varphi}(r,0)=v_{\varphi}(r,2\pi) \\
\text{aus I:} C=-D \\
\text{aus III:} k = n \rightarrow \Phi(\varphi)= \sum E_n \sin(n \varphi) + F_n \cos(n \varphi) \\
\text{in II:} 2 \sin \varphi = \sum (E_n \sin(n \varphi) + F_n \cos(n \varphi))(r^n - r^{-n}) \\
\text{Koeffizientenvergleich:} F_n = 0 \quad \forall n; E_n= 0 \quad \text{für} \quad n \neq 1 \\
E_1 (2 - \frac{1}{2} ) = 2 \\
E_1= \frac{4}{3} $
[/latex]
Und damit:
[latex]
\large
$ v(r,\varphi) = \frac {4}{3} ( r - \frac{1}{r} ) \sin \varphi $
[/latex]

[HansOne]

vielen Dank für die schnelle Antwort!
Ich werde das gleich mal durchrechnen
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Ok, ich habe jetzt folgendes Verständnisproblem:
Wie kommst du nach der Bestimmung von R und Phi auf die Anfangs- und Randbedingungen?
von da an wirds gerade schwierig mit meinem Verständnis

[Psirus]

I und II waren gegeben, III & IV müssen sich ergeben, da man ja quasi (r,0) und (r,2pi) den gleichen Ort auf dem Ring beschreiben. Dort können sich ja dann nicht 2 unterschiedliche Werte ergeben.

[HansOne]

Habs im Anhang

P.S. wie kann man hier so schön Formeln einfügen?

[Psirus]

Zu den Formeln: Latex-Plugin
Zu der RB:
[latex]
\large
$ v(1,\varphi) = 0 \leftrightarrow 0 = R(1)\Phi(\varphi) $
[/latex]
Damit das Produkt Null wird, muss einer der Faktoren Null werden. Wenn Phi für alle phi 0 wäre, hätten wir nur die triviale Lösung (die sich zusätzlich nicht mit unseren RBen verträgt). Daher ist R(1)=0.

[HansOne]

ah ok, das leuchtet mir ein.
Könntest du noch was zu den RB 2 und 3 was sagen?
Vielleicht nur ein bisschen ausführlicher?
Danke schonmal für deine Mühen!

[Psirus]

RB III:
[latex]
\large
$ \Phi(0) = \Phi(2\pi) \Leftrightarrow F = F \cos(2 \pi k) \\
\leadsto k=n $
[/latex]
…da der Kosinus für alle Vielfachen von 2 pi zu 1 wird.
RB II:
[latex]
\large
$ v(2, \varphi) = 2 \sin \varphi \quad \text{da $y = r \cos \varphi$}$
[/latex]
Müsstest vll noch n bisschen konkreter fragen was unverständlich ist…

[HansOne]

ok, also was du zu RB III sagst versteh ich und konnte ich auch rechnerisch nachvollziehen... deine Begründung warum [latex]

\large

$ v(2, \varphi) = 2 \sin \varphi[/latex] kann ich leider nicht nachvollziehen

Außerdem ist mir unklar wie du auf

[latex]

\large


\text{in II:} 2 \sin \varphi = \sum (E_n \sin(n \varphi) + F_n \cos(n \varphi))(r^n - r^{-n}) \\



[/latex]

kommst...

bei steht da

[latex]

\large


\text 2 \sin \varphi = \sum (E_n \sin(n \varphi) + F_n \cos(n \varphi))(C2^n - C2^{-n})  \\  



[/latex] weil es heißt ja:

[latex]

\large


\text 2  = r  \\



[/latex]

also wie du siehst hapert es jetzt noch besonders beim einsetzen in II und der Bestimmung der Faktoren C, F, E

[Psirus]

Hast recht, es muss [latex] \large $ (2^n - 2^{-n}) $ [/latex] heißen, habe mich vertippt. Das C habe ich quasi mit in die E_n und F_n getan, sprich es müsste eigentlich heißen:
[latex]
\large $
v(r,\varphi) = \sum (E_n \sin(n \varphi) + F_n \cos(n \varphi))(Cr^n - Cr^{-n}) \\
v(r,\varphi) = \sum (G_n \sin(n \varphi) + H_n \cos(n \varphi))(r^n - r^{-n}) $
[/latex]
…und damit:
[latex]
\large $
v(2,\varphi) = \sum (G_n \sin(n \varphi) + H_n \cos(n \varphi))(2^n - 2^{-n}) = 2 \sin \varphi $
[/latex]
Da im rechten Term kein Kosinus vorkommt, müssen alle H_n Null sein. Weiterhin kommt kein Sinusterm außer für n=1 vor, daher ist G_n Null, außer G_1. G_1 berechnet sich dann wie angegeben (hieß vorhin noch E_1)
Entschuldige die Verwirrung.

[HansOne]

Daaaaanke!!! Jetzt komm ich auch zu einem Ende

Warum ist aber  [latex]

\large

$ v(2, \varphi) = 2 \sin \varphi[/latex] ??  Das kann ich immer noch nicht nachvollziehen

Hat sich geklärt, da  
[latex]

\large

$ y = r \sin \varphi[/latex] ist  trotzdem ein riesen Dankeschön für deine tolle Hilfe

[Schlund]

ich habe noch eine allgemeine frage...uns wurd eimmer vermittelt als konstante k und nich k^2 zu nehmen, ist ja mathematisch uninteressant, aber was eignet sich denn besser? Machst du mal k und woanders halt mal k^2, gibt es dafür ein erkennungsmerkmal?
Und der ansatz r^m ist mir auch neu, un einfacher als e^ax. is der auch willkürlich zu wählen, oder halt grad passend für die aufgabe.

Ich danke schon mal im voraus

[entsafter3000]

ich würde gerne wissen, ob man auch einfach eine konstante =-k annehmen kann, und man somit immer schön X"(x)+kX(x)=0 hat

[HansOne]

das verwirrt mich auch noch immer^^ Also ich nehme jetzt immer [latex]\lambda[/latex] an So wie Herr Fischer in der Vorlesung. Aber wenns natürlich eine Regel dafür gibt, wann welche Konstante anzunehmen ist, würde ich das natürlich auch gern wissen.

[Psirus]

Also der Ansatz für R ist eine alternative Möglichkeit für Eulersche DGLs, und ich find den irgendwie einfacher
Das mit den Konstanten ist so ne Sache. Prinzipiell ist es ja völlig egal, ob das Ding nun k, -k, k^2 oder [latex] $\sin\sqrt\frac{1}{\ln k}$ [/latex] ist. Allerdings muss man dann bei der Bestimmung des Lamda etwas aufpassen (Fallunterscheidung), in dem Fall hab ich k^2 genommen weil die Lösung so netter zu schreiben ist, alternativ könnte jetzt auch überall Wurzel aus k stehen.