Aufgabe 1b) L 2007/2 Grossmann

[koXx]

Servus!
Vielleicht versteht ja jemand von euch diese Aufgabe!
Und zwar ist eine Funktion [Latex]$f(z):=(z^2+1-i)(|z|^2+\alpha)$[/Latex] gegeben, wobei [Latex]$z \in \mathbf{C}$[/Latex] und [Latex]$\alpha \in \mathbf{R}$[/Latex] ist!

Nun sollen folgende Behauptungen überprüft werden:

a) Für [Latex]$\alpha>0$[/Latex] besitzt [Latex]$f$[/Latex] genau 2 Nullstellen.
b) Es gibt ein [Latex]$\alpha \in \mathbf{R}$[/Latex] derart, dass [Latex]$f$[/Latex] genau 3 Nullstellen besitzt.
c) Es gibt mindestens ein [Latex]$\alpha \in \mathbf{R}$[/Latex], so dass [Latex]$f$[/Latex] unendlich viele Nullstellen besitzt.

Laut Lösung sind alle Behauotungen korrekt!

Finde die Aufgabe schwer verständlich und finde überhaupt keinen Ansatz. Nach z auflösen kann ich nicht, weil die konjugiert Komplexe Zahl zu z auch in der Funktion vorkommt...zumindest weiß ich nicht, wie ich damit umgehen soll...
z in Form von x+yi darstellen hat mich auch nicht weitergebracht...
Vielleicht kann mir ja jemand von euch weiterhelfen...
Danke und Grüße
Sebastian

[Excavadora]

Also,
der Ansatz ist, dass du die 2 Faktoren jeweils getrennt betrachtest. D.h. für eine Nullstelle muss entweder der linke Faktor oder der rechte Faktor 0 werden. Des Weiteren musst du beachten, dass (betrag z)² auf jeden Fall reell ist.... schreib einfach, wenn du noch mehr hinweise brauchst.

[koXx]

Also wäre dann für [Latex]$a>0$[/Latex] die Behauptung erfüllt, weil die 2. Klammer garantiert größer 0 ist. Der Betrag der komplexen Zahl muss ja positiv sein! Also suche ich die Nullstellen von [Latex]$z²+(1-i)$[/Latex]... gibt irgendeine komplexe Zahl und deren konjugiert komplexe Zahl als die 2 Nullstellen!
Für b) würde dann doch folgen, dass [latex]$\alpha\leq0$[/latex] sein muss, damit in der 2.Klammer auch eine Nullstelle entstehen kann. Die entsteht eben genau dann, wenn [latex]$|z|^2+\alpha=0$ für \alpha\leq0[/latex] ist. So wären dann 3 Nullstellen erfüllt.
Für c) müsste [latex]$\alpha$[/latex] doch dann nicht ein bestimmter Wert sein, sondern eben selbst [latex]$|z|^2=\alpha$[/latex] sein oder? Sprich [latex]$\alpha=x^2+y^2$[/latex] und damit eine Funktion [Latex]$\alpha(z)$[/Latex].

Wäre das so richtig? Bis auf c) sollte es richtig sein, denn bei c) finde ich es komisch, dass ein Parameter selber eine Funktion von z ist ^^ Da wäre wahrscheinlich etwas anderes angebracht

[Saimat]

stimmt nicht ganz:

Bei a) hast Du Recht. 2 Nullstellen gibts mit positivem alpha. Aber überlege mal nochmal bei b) und bei c). Was bedeutet: |z|=const. in der gaußschen Zahlenebene? (Das Quadrat ändert daran nichts)

[koXx]

Ist nen Kreis mit dem Radius r=|z|² ,aber |z| ist doch nicht konstant! Wenn sich die Variable z des Polynoms ändert, muss sich auch zwangsweise |z| ändern oder nicht? Denn ich kann doch die ganze Funktion auch als [latex]$f(x,y):=((x+yi)^2+1-i)((x^2+y^2)+\alpha)$[/latex] schreiben und da sieht man doch, wenn sich das x ändert, ist auch |z| ein anderer Wert...
oder was meinst du mit |z|=const. ?

[Jonas]

die ganze aufgabe basiert auf dem betrag von der komplexen zahl 'z'. wobei man eigentlich bei der vorüberlegung darauf ein gehen sollte, dass es 2 polynome gibt (je in einer klammer ein polynom) und dass diese je null werden müssen.

daraus folgt:
aus der linken klammer 2 nullstellen, durch einfaches um stellen. und betrachten wir diese beiden nullstellen, stellen wir fest, dass diese von alpha unabhängig sind und somit immer nullstellen sind.
aus der rechten klammer durch umstellen [latex]$|z|^2=-\alpha$[/latex] (glaube ein vorgänger hat das mal falsch hingeschrieben) nun einfach betrag einer komplexen zahl einsetzten und man sieht --> wir haben einen kreisgleichung erhalten. die kann man nun total toll interpretieren.

alpha > 0: dann fallen die Nullstellen weg, da der Radius nicht negativ sein kann.

alpha = 0: dann ist der Radius = 0 und und es gibt nur eine Nullstelle + die 2 aus der anderen  Klammer

alpha < 0: Kreisgleichung ist er füllt und da wir wissen, dass es auf einem Kreis unendlich viele Lösungen gibt, ist c) damit auch bewiesen.

hoffe, dass es ein wenig geholfen hat und alle meine bemerkung richtig sind. habe selber 2 tage und 2 freunde gebraucht bis wir diese aufgabe geknackt hatten.

gruss und so viel spass beim weiterem rechnen

ps: fehler werden urheberrechtlich behandelt, also behaltet sie.

[koXx]

Ok, ich hab es kapiert
auf dem richtigen Weg war ich ja, nur die einfachsten Dinge der Mathematik hab ich mal wieder übersehen
Danke euch für die Hilfe...!