Z6 a

[the pIke]

hallo ich hab mal ne frage zu der aufgabe...
bei der lösung der aufgabe muss man ja dieses differenzenverfahren machen...
unser übgs-leiter hat uns als ansatz gegeben gehabt
y'=(Yi+1 - Yi-1)/ 2h             (+1 und -1 sollen immer so untergestellt sein wie i...)
y' :rund: dy/dx                    

und dann y"= (Yi+1 +2Yi - Yi-1)/ h² ?
 
wie kommt der auf die 2. ableitung?  <_<

mfg pike

[DIGIT]

Hi Jungs,  :flower:
Wenig Zeit, auf die schnelle:
Die Ableitung ist ja definiert als Grenzübergang von einer Sekante zu einer Tangente.
Also y'= lim h gegen Null { ([Y(x+h) - Y(x)] /h }, wenn Du den rechtsseitigen Grenzwert bildest.
Das ist dann gleich mit y'=(Yi+1 - Yi)/ h, wenn ich der Nomenklatur folge.
Ich habe also zwei Stützstellen, eine im Punkt xi, wo ich die Ableitung bilde und eine Stützstelle xi+1 rechts davon.

Bei y'=(Yi+1 - Yi-1)/ 2h hast Du auch nur zwei Stützstellen, jedoch nicht im Punkt xi, wo Du die Ableitung bildest, sondern eine Stützstelle xi-1 links (von xi) und eine Stützstelle xi+1 rechts davon. Deshalb auch das 2h (als doppelter Abstand).
Der Grenzübergang  lim h gegen Null liefert wieder y'  dy/dx.

Soviel zur ersten Ableitung.

Bei der zweiten Ableitung geht das genauso.
Wieder Grenzübergang der Sekante in eine Tangente, nur ist nun die abzuleitende Funktion schon eine Ableitung selbst und man muss den oben genannten Klapparatismus fortführen.  
Das liefert dann, wenn man das alles einsetzt  y"= (Yi+1 +2Yi - Yi-1)/ h².

Hinweis: Das ist eine ganz normale Formel, vor der man sich nicht fürchten muss. Zweite Ableitung mit drei Stützstellen.

Im Prinzip ist die Formel y"= (Yi+1 +2Yi - Yi-1)/ h² nur der Fall zweiter Ordnung einer allgemeine Formeldarstellung.
Somit gibt es auch eine Formel für y''', y'''', etc., hier braucht man aber die entsprechende Anzahl von Stützstellen, weil sonst kommt ja nur heisse Luft heraus.

Wunderbar beschrieben ist das im Schwarz, Numerische Mathematik, (früher blau, derzeit orange). Ich kann mir nicht vorstellen, dass diese Schosse irgendwo anders besser dargestellt ist.
Eines meiner kostbarsten Bücher.
So hat halt jeder seinen Tick.
Grüße
DIGIT
 :limes_0:

[DIGIT]

Nachtrag 1:
Also wie gesagt nicht fürchten davor, einfach "zweckdienlich verwenden".
Ein übergrosser Aha-Effekt wenn man die Formel selbst ableitet, stellt sich eher nicht ein.

Nachtrag 2:
Es gibt, wenn man "genügend" Stützstellen betrachtet, für die obere Aufgabe auch andere allgemeine Darstellungen.
Es führ immer, ganz egal welchen wunderbaren Zweig der Numerik man abwandert, auf die selbe Systematik:
Mehr Stützstellen->kompliziertere Formel->besseres Ergebnis.
Goldenes Handwerk ehrt.
Grüße
DIGIT
 :limes_0:

[the pIke]

hmm digit...
vielen dank für deine ausführliche berichterstattung, aber ich kapiere das nicht was du da geschrieben hast....

wie man sich die erste ableitung herleitet is mir ja klar... denk ich mal... :rolleyes:

aber was ich eigentlich wissen wollte, wie der von 1. zur 2. ableitung kommt, das versteh ich immer noch nicht...  
es ist wohl nicht möglich sich die 2. ableitung irgendwie über quotientenregel... herzuleiten?

mfg pike

[DIGIT]

Originally posted by the pIke@18.6. 2005 - 16:53
es ist wohl nicht möglich sich die 2. ableitung irgendwie über quotientenregel... herzuleiten?
 

Hi Pike :flower:
Nein, nein, nein, hat mit der Quotientenregel nie und nimmer was zu tun.
Nicht die Formel y'=(Yi+1 - Yi-1)/ 2h nochmal ableiten - sondern elementar aus dem Differenzenquotienten herleiten.

Bilde den Differenzenquotenten der Differenzenquotienten und Du bekommst die zweite Ableitung

Skizzenhafte Darstellung:
y''(xi) = lim h gegen Null von ( y'(xi+1) - y'(xi) ) / h )  ist der Differenzenquotient für die Ableitung der Ableitung, also ergo der zweiten Ableitung.

Nun setzt Du für y'(xi+1) den Differenzenquotienten ein:
y'(xi+1) = (y(xi+1) - y(xi)) / h und auch für
y'(xi) =  (y(xi) - y(xi-1)) / h

Also
y''(xi) = lim h gegen null von 1 / h { (y(xi+1) - y(xi)) / h - (y(xi) - y(xi-1)) / h }

Eingesetzt und rumgruppiert sollte herauskommen:
y"= (Yi+1 +2Yi - Yi-1)/ h², wenn ich die Stützstellen richtig erwischt habe, Offensichtlich kommt bei dieser Skizze.
y"= (Yi+1 -2Yi - Yi-1)/ h² heraus. Sieht besser aus als die von Dir gepostete Formel. Muss geprüft werden (Schwarz, Bronstein), muss aber zur BRN, bzw. das Fenster aufmachen, dann bin ich ja schon "mittendrin".

FixHimmelHerrSchaftSeiten dass ich keinen Scanner habe.

Grüße
DIGIT
 :limes_0: