Modellbildung und Simulation (Kunze)

[n-w]

Hallo Leute,

kann zufällig mal jemand eine fertige Simulation vom Auto reinstellen? Ich habs noch nichtmal hinbekommen, das der Wagen richtig hochläuft (in 6s oder so?) - braucht bei mir immer ewig. Nur find ich leider den Fehler nicht. Wär super, wenn jmd helfen könnt. Danke :flower:

[pruefi]

Die Werte sind jetzt noch nicht genau eingestellt ;-)
-die Kennlinie ist nicht unbedingt mit Realitätsbezug -> Punkte noch ändern
-die Trägheit braucht eine Anfangswinkelgeschwindigkeit (sonst läuft der Motor nicht! Drehzahllücke, deswegen Anlasser notwendig).
Die Lizenz für ITI Simulation X ist für die Studentenversion kostenlos.
Fahren 2 ist mit einer Rutsch-Automatik (3 Gänge)

[pruefi]

ITI S.. ist keine Freeware. Kostet also für die geschäftliche Nutzung richtig Geld.
Die Leute sitzten in der Webergasse in Dresden ;-)
ITI S.. setzt auf Modelica, eine modellbeschreibende Sprache und Simulationumgebung auf, davon gibt es eine Freie (OSMC!=GPL) Version unter:
http://www.ida.liu.se/labs/pelab/modelica/OpenModelica.html

Da frag ich mich natürlich, warum unsere Uni nicht soetwas für die Allgemeinheit entwickelt, anstatt die marktbeherrschenden Firmen indirekt zu mästen ;-)

[pruefi]

Code: [Select]


> restart;
Exakte analytische Lösung:
> GL:=M_G+J*diff(phi(t),t,t)=0;
> M_G:=m*g*l*phi(t);
> J:=m*l^2;
> RB:={phi(0)=phi_0,D(phi)(0)=0};
> LSG:=dsolve({GL} union RB,phi(t));
> eval(LSG,{g=l,phi_0=0.5});

> restart;
Numerische Lösung:
> G1:=D_phi´/D_t=omega´;
> G2:=D_omega´/D_t+g/l*phi´=0;
> D_t:=0.025:
> imax:=1000:
> t_max:=imax*D_t:
> phi:=array(0..imax):omega:=array(0..imax):
> D_phi´:=phi[k+1]-phi[k]:
> D_omega´:=omega[k+1]-omega[k]:
> phi´:=phi[k]:
> omega´:=omega[k]:  
> GG1:=isolate(G1,phi[k+1]);
> GG2:=isolate(G2,omega[k+1]);
> g:=l:
> phi[0]:=0.5:
> omega[0]:=0:
> LG1:=(eval(GG1,k=k-1));
> LG2:=eval(GG2,k=k-1);
> for i from 1 by 1 to 1000 do  k:=i;assign(LG1);
> assign(LG2) end do:
> plot({phi[t/D_t],cos(t)*0.5},t=0..t_max);


[pruefi]

[latex]
{\bf 1.Modellschritt=Skizze}
[/latex]

[latex]

{\bf2.Modellschritt=Zielstellung}\\
-gesucht ist $\phi(t)$=Schnittgrößen-Zeit-Funktion\\
[/latex]

[latex]
{\bf 3.Modellschritt=Voraussetzungen/Bedingungen}\\
-Punktmasse m\\
-masseloses Seil\\
-kleine Auslenkung $\phi$\\
-keine Dämpfung (weder vom Seil-Werkstoff noch vom Wind)\\
{\it Hinweis: das Seil wird hier als biegestarr angesehen und die Länge l ist der Abstand zwischen Drehgelenk und Schwerpunkt der Masse}
[/latex]

[latex]
{\bf 4.Modellschritt=Reaktionsanalytik}\\
-Pendeln erst nach Auslenkung um den Winkel $\phi$ aus der Ruhelage infolge äußerer Kräfte/ Momente\\
-Es wirken nur die Schwerkraft $F_G$ und die Rückstellkraft $F_R$\\
-Gleichgewicht:
\begin{eqnarray*}
F_R&=&F_G \cdot \sin\phi\\
F_G&=&m\cdot g\\
F_R&=&m\cdot g \cdot \sin \phi\\
M_R&=&F_R \cdot l\\
M_R&=&m\cdot g \cdot l \cdot \sin\phi\\
\phi \ll 0.13 &\rightarrow& \sin(\phi) \approx \phi \\
M_R&=&m\cdot g \cdot l \cdot \phi
\end{eqnarray*}
{\it \small Achtung!! Im strengen Sinne liegt bei etwa $8^{\circ}$ die Grenze, um den Sinus durch das Argument zu ersetzen (siehe Reihenwentwicklung der Sinusfunktion)}\\
-Bewegungsgleichung: \\
$M_R$ das durch die Rückstellkraft erzeugte Moment\\
$J$ das Trägheitsmoment der Punktmasse
\begin{eqnarray*}
M_R+J\cdot \ddot{\phi} &=&0\\
J&=&m \cdot l^2\\
m\cdot g \cdot l \cdot \phi+m \cdot l^2\cdot \ddot{\phi}&=&0\\
g \cdot \phi + l \cdot \ddot{\phi}&=&0\\
\ddot{\phi}+\frac{g}{l}\phi&=&0  \rightarrow \mbox{ homogene lineare DGL 2. Ordnung ($1$)}\\
\end{eqnarray*}
[/latex]

[latex]
{\bf 5.Modellschritt=Lösung}\\
a) exakte Lösung über Ansatz $\phi=e^{\lambda\cdot t}$
\begin{eqnarray*}
\ddot{\phi}=\lambda^2\cdot e^{\lambda\cdot t}&=&\lambda^2\cdot \phi\\
\lambda^2\cdot \phi+\frac{g}{l} \phi&=&0 \rightarrow \mbox{ homogene lineare DGL 2. Ordnung ($1^{*}$)}\\
\chi: \lambda^2+\frac{g}{l}&=&0 \rightarrow \mbox{ charakteristische Gleichung der DGL}\\
LSG(\chi):&=&\Bigg\{\begin{array}{rl}
\lambda_{1}=&+i \sqrt{\frac{g}{l}}\\
\lambda_{2}=&-i \sqrt{\frac{g}{l}}\\
\end{array}\Bigg\} \mbox{ (konjugiert komplexe Lösung)}\\
LSG(DGL): \phi(t)&=&{\cal C}_1 \cdot e^{+i \sqrt{\frac{g}{l}} \cdot t} +{\cal C}_2 \cdot e^{-i \sqrt{\frac{g}{l}} \cdot t}\\
&&\mbox{...eine Menge Mathe...}\\
\phi(t)&=&\frac{\dot{\phi}(t=t_0)}{\sqrt{g/l}}\sin(\sqrt{g/l})+\phi(t=t_0)\cdot \cos(\sqrt{g/l}\cdot t)\\
\end{eqnarray*}
b) numerische Lösung\\
-Differentialquotienten durch Differenzenquotienten erstzen\\
\begin{equation*}
\dot{\phi}=\omega \rightarrow  \dot{\omega}+\frac{g}{l}\phi=0 \rightarrow \mbox{ DGL 1.Ordnung}\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\dot{\phi}\cong \frac{\Delta \phi}{\Delta t}  
\end{equation*}
\begin{equation*}
 \dot{\omega}=\frac{\Delta \omega}{\Delta t}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
 \frac{\Delta \phi}{\Delta t}  &=\omega\\
\frac{\Delta \omega}{\Delta t}+\frac{g}{l}\phi&=0\\
\end{array}\Bigg\} (3)
\end{equation*}
Mittels $(3)$ kann $\phi(t)$ ausgehend von $\phi(t=t_0)$ berechnet werden indem äquivalente Zeitpunkte uns Schrittweiten gelten.
\begin{equation*}
t_0=0; t_1=\Delta t; t_2=2\cdot \Delta t ;... t_k=k\cdot \Delta t; t_{k+1}=(k+1)\cdot \Delta t  \mbox{  $(4)$}
\end{equation*}
aus $(3)$ und $(4)$ folgt:\\
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\frac{\phi(t_{k+1})-\phi(t_k)}{\Delta t}  &=\omega(t_k)\\
\frac{\omega(t_{k+1})-\omega(t_k)}{\Delta t}+\frac{g}{l}\phi(t_k})&=0\\
\end{array}\Bigg\} (3^{*})
\end{equation*}
$\rightarrow$ Umformen nach der Reihenfolge der Ereignisse:\\
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\phi(t_{k+1})&=\phi(t_k)+ \omega(t_k) \cdot \Delta t \\
\omega(t_{k+1})&=\omega(t_k)-\Delta t \frac{g}{l}\phi(t_k})
\end{array} \Bigg\} (3^{**})\mbox{ iterative numerische Lösung}
\end{equation*}
[/latex]

[latex]
{\bf 6.Modellschritt=Parametrierung}\\
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
l=9.81m & g=9.81\frac{m}{s^2}\\
\phi(t=t_0)=0.5rad& \dot{\phi}(t=t_0)=0\\
\Delta t=0.05s \frac{g}{l}=1 \\
\end{array}
\end{equation*}
[/latex]

[latex]
{\bf 7.Modellschritt=Zahlenrechnug}\\
a) Exakte Lösung:\\
\begin{equation*}
\phi(t)=0.5\cos(t)
\end{equation*}
b) Numerische Lösung
[/latex]


[latex]
{\bf 8.Modellschritt=Validierung}\\
Bei Vergleich der Ergebnisse fällt auf, dass im Numerischen Modell je nach Schrittweite $\Delta t$ die Amplitude über den Wert der Ausgangs-Auslenkung liegt und sich im Laufe der Rechenschritte noch erhöht (Stabilität!!)
Das widerspricht dem Energie-Erhaltungssatz (Lösung=nur teilweise plausibel)
{\it Hinweis: Im Normalfall wäre hier meiner Meinung nach Runge-Kutta oder ein ähnliches Verfahren, vielleicht sogar mit Schrittweiten-Anpassung sinnvoll.}
[/latex]

[pruefi]

Hihi weils so schön war die DGL mit Modelica:

Code: [Select]

class Pendel
 Real phi(start=0.5);
 Real omega ;
 Real alpha;
equation
 der(phi)=omega;
 der(omega)=alpha;
 alpha+phi=0;
end Pendel;


Code: [Select]

simulate(Pendel,stopTime=10)
Das Ergebnis Pendel_res.plt lässt sich mit gnuplot betrachten.

..und hier mit MAXIMA

Code: [Select]

DESOLVE(DIFF(PHI(t),t,2)+g/l*PHI(t)=0,PHI(t));
Is  g l  positive, negative, or zero?

positive
;(D2) PHI(t) =

   !
    2   SQRT(g l) t d    !
   l  SIN(-----------) (-- (PHI(t))!  )
l dt    !
   !t = 0   SQRT(g l) t
   --------------------------------------- + PHI(0) l COS(-----------)
  SQRT(g l)        l
   -------------------------------------------------------------------
    l
(C3)


[pruefi]

Ist jemand an der Lösung für den Hydraulik-Kreis interessiert?

[pruefi]

MKS
[latex]
\begin{itemize}
\item Mechanisches Ersatzsystem aus einer endlichen Anzahl starrer Körper
\item Verknüpfung über passive mechanische Elemente (masselos, Feder, Kupplung, Reibstellen) oder über aktive mechanische Elemente (Stellantrieb)
\item Zwangsbedingungen: kinematische Bindungen, Freiheitsgrade, Lager, Führungen, Gelenke
\item Auf die Körper wirken äußere Kräfte
\end{itemize}
(konservative Systeme mit holonomen Zwangsbedingungen)\\


[/latex]

Freiheitsgrade
[latex]
N-Anzahl starrer Körper\\
r-Anzahl der Zwangsbedingungen\\
f,n-Anzahl der Freiheitsgrade\\
\begin{eqnarray*}
f&=&6 \cdot N - r \mbox{ (im Raum)}\\
f&=&3 \cdot N -r \mbox{ (in der Ebene)}
\end{eqnarray*}
[/latex]

Beispiel zu den Freiheitsgraden


[latex]
Gleichung für die Ebene:\\
N=3\\
Die Gelenke haben jeweils den Freiheitgrad 1 (Rotation) und daher je 2 Zwangsbedingungen\\
$n=3 \cdot 3 - (4 \cdot 2) =1\\\\\\
[/latex]


Die Lagrange Methoden:

[latex]
-virtuelle Arbeit: $\sum \underbrace{F_i}_{\mbox{\small{äußere Kräfte}}} \cdot \underbrace{\delta r_i}_{\mbox{\small{gedachte Lageänderung}}}=0$\\
$\rightarrow$die Gesamtarbeit im System ist $0$.\\
Lagrange 2\\
$\delta r_i$ -Die zeitunabhängige differentielle Größen müssen mit\\
$r_i$ - kinematische Zwangsbedingungen vereinbar sein.\\
-Generalisierte Koordinate:\\
$r_i$ -freie Koordinate $\rightarrow$ $q_i$ -generalisierte Koordinate für die Gesamtbilanz\\
-Jacobimatrix (J):\\
\begin{eqnarray*}
dx&=&J(q)dq\\
\dot{x}&=&J(\dot{q})\\
\dot{\phi}&=&J(\dot{q})\\
\end{eqnarray*}
Grundformel\\
\begin{large}
\begin{equation*}\frac{d}{dt}\Bigg(\frac{\delta T}{\delta \dot{q}_k}\Bigg)-\frac{\delta T}{\delta q_k}=Q_k
\end{equation*}
\end{large}
$T$-kinetische Energie\\
$Q_k$-generalisierte Kraft/ Moment\\
\begin{equation*}
Q_k=-\frac{\delta U}{\delta q_k}
\end{equation*}
$U$-potentielle Energie\\
\begin{equation*}
T=\frac{1}{2}\sum(v_i^T \cdot v_i \cdot m_i + \omega_i^T \cdot R_i \cdot I_i \cdot R_i^T \cdot \omega_i)
\end{equation*}
$v_i$-Geschwindigkeit der Masse $m-I$\\
$\omega_i$-Winkelgeschwindigkeit des Trägheitsmomentes $I_i$\\
$I_i$-Trägheitsmoment bezüglich des lokalen Koordinatensystems $KS_i$\\
$R_i \cdot I_i \cdot R_i^T$--Trägheitsmoment bezüglich des globalen Koordinatensystems $KS_0$\\
$R_i$-Drehmatrix\\
\begin{equation*}
T=\frac{1}{2}\dot{q}^T H(q)\cdot \dot{q}
\end{equation*}
$H(q)$-Massenmatrix (abhängig von den generalisierten Koordinaten)\\
\begin{equation*}
H(q)=\sum (\underbrace{m_i \cdot J_{t,i}^T \cdot J_{t,i}}_{translatorisch}+\underbrace{J_{r,i}^T \cdot R_i \cdot I_i \cdot R_i^T \cdot J_{r,i}}_{rotatorisch})
\end{equation*}
[/latex]
Bewegungsgleichung:
[latex]
\begin{eqnarray*}
\underbrace{H(q) \ddot{q}}_{\equiv  m\cdot a}+ \underbrace{C(\dot{q},q)}_{Corioliskraft}&=&Q\\
C_{i,j,k}&=&\frac{\delta H_{i,j}(q)}{\delta q_k}-\frac{1}{2}\frac{\delta H_{j,k}}{\delta q_i}
\end{eqnarray*}\\
[/latex]



Schema/ Kochrezept
[latex]
\begin{enumerate}
\item Wahl geeigneter generalisierter Koordinaten
\item Beschreibung der kinematischen Zusammenhänge
\item Berechnung der kinetischen und potentiellen Energie
\item Berechnung der generalisierten Kräfte/ Momente $Q_k$
\item Aufstellen der Bewegungsgleichung
\item Numerisches Lösen
\end{enumerate}
[/latex]

[pruefi]

Hier wird am Beispiel der Formalismus durchexerziert

[latex]
Schritt1: Finden der generalisierten Koordinaten\\
\begin{eqnarray*}
S_1&=&\left[\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array}\right]\\
S_2&=&\left[\begin{array}{c}x_2\\y_2\end{array}\right]\\
q&=&\left[\begin{array}{c}x\\ \phi\end{array}\right]
\end{eqnarray*}
$S_i$ Massenschwerpunkt\\
[/latex]

[latex]

Schritt2: Beschreiben der kinematischen Zusammenhänge\\
\begin{eqnarray*}
x_1&=&x\\
y_1&=&0\\
x_2&=&x+l \sin \phi\\
y_2&=&-l \cos \phi
\end{eqnarray*}\\
[/latex]

[latex]

Schritt3: Berechnung der kinetischen und der potentiellen Energie\\
Jacobimatrix und Massenmatrix
\begin{eqnarray*}
J_k&=&\frac{\delta x_k}{\delta q}=\left[\begin{array}{cccc}
\frac{\delta x_1}{\delta q_1} & \frac{\delta x_1}{\delta q_2}& \dots \frac{\delta x_1}{\delta q_n} \\
\frac{\delta y_1}{\delta q_1} & \frac{\delta y_1}{\delta q_2}& \dots \frac{\delta y_1}{\delta q_n} \\
\end{array}\right]\\
J_1&=&\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 &0\end{array}\right]\\
J_2&=&\left[\begin{array}{cc}1 & l \cos \phi \\ 0 & l \sin \phi \end{array}\right]\\
H(q)&=&\sum(m_i \cdot J_{t,i}^T \cdot J_{t,i}) \mbox{  nur Massenpunkte!}\\
J_{t,1}^T \cdot J_{t,1}&=&\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 &0\end{array}\right]\\
\end{eqnarray*}\\
Falksches Schema zur Berechnung des Matrizenproduktes:\\ \\
\begin{array}{cc|cc}
J_{t,2}^T \cdot J_{t,2}&&1& l \cos \phi\\
&& 0 &l \sin \phi\\
\hline
1 &0&1 & l \cos \phi\\
l \cos \phi & l \sin \phi &l \cos \phi & l^2\\
\end{array}\\


Massenmatrix:\\
$H(q)=H_1+H_2=m_1\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 &0\end{array}\right]+m_2\left[\begin{array}{cc}
1 & l \cos \phi\\l \cos \phi & l^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
m_1+m_2 & m_2 \cdot l \cos \phi\\m_2 \cdot l \cos \phi &m_2 \cdot  l^2\end{array}\right]$\\

\begin{eqnarray*}
T&=&\frac{1}{2}\dot{q}^T\cdot H(q) \cdot \dot{q}\\
\dot{q}&=&\left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{\phi}\end{array}\right]\\
\dot{q}^T&=&\left[\begin{array}{cc}\dot{x}&\dot{\phi}\end{array}\right]\\
\end{eqnarray*}
Falksches Schema:\\
\begin{small}
\begin{array}{cc|cc|c}
2T&&m_1+m_2 & m_2\cdot l \cos \phi&\dot{x}\\
&&m_2\cdot l \cos \phi &m_2\cdot l^2&\dot{\phi}\\
\hline
\dot{x}&\dot{\phi}&\dot{x}(m_1+m_2)+\dot{\phi}\m_2l\cos\phi& \dot{x}m_2l\cos\phi+\dot{\phi}m_2l^2
&\dot{x}^2(m_1+m_2)+\dot{x}\dot{\phi}m_2l\cos\phi+\dot{x}\dot{\phi}m_2l\cos\phi+\dot{\phi}^2m_2l^2\\
\end{array}\\
\end{small}
\begin{eqnarray*}
T&=&\frac{1}{2}[\dot{x}^2(m_1+m_2)+\dot{x}\dot{\phi}m_2l\cos\phi+\dot{x}\dot{\phi}m_2l\cos\phi+\dot{\phi}^2m_2l^2]\\
U_G&=&m_2\cdot g \cdot y_2 \mbox{   Potential der Schwerkraft}\\
U_F&=&\frac{1}{2}c(x-u)^2 \mbox{  Potential der Feder}\\
\end{eqnarray*}\\
[/latex]

[latex]

Schritt 4: Berechnung der generalisierten Kräfte und Momente\\
\begin{eqnarray*}
Q_1&=&\frac{\delta U}{\delta x}=-c(x-u)\\
Q_2&=&\frac{\delta U}{\delta \phi}=-m_2\cdot l \cdot g \cdot \sin\phi\\
\end{eqnarray*}\\
[/latex]

[latex]

Schritt 5: Aufstellen der Bewegungsgleichung\\
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\Bigg(\frac{\delta T}{\delta \dot{q}_k}\Bigg)-\frac{\delta T}{\delta q_k}-Q_k&=&0\\
\mbox{für $x,\dot{x}$:}\\
(m_1+m_2)\ddot{x}+(m_2l\cos\phi)\ddot{\phi}-(m_2l\sin\phi)\dot{\phi}^2+c(x-u)&=&0\\
\mbox{für $\phi,\dot{\phi}$:}\\
(m_2l\cos\phi)\ddot{x}+m_2l^2\ddot{\phi}&=&0\\
\end{eqnarray*}
[/latex]

[pruefi]

1) Finite-Differenzenverfahren (sehr einfach aber ungenau)
http://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Differenzen-Methode
2) Euler-Verfahren (einfach etwas genauer)
 http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersches_Polygonzugverfahren
3) Runge-Kutta RK (Einschrittverfahren)
http://de.wikipedia.org/wiki/Runge-Kutta
http://de.wikipedia.org/wiki/Klassisches_Runge-Kutta-Verfahren
4.1) Runge-Kutta-Fehlberg RKF45 (adaptives Mehrschrittverfahren) Vergleich RK4 mit RK5
4.2) Prediktorenverfahren
http://de.wikipedia.org/wiki/Mehrschrittverfahren

Allgemein:
Rundungsfehler sinkt mit größerer Schrittweite
Näherungsfehler steigt mit größerer Schrittweite
->Optimum finden
http://de.wikipedia.org/wiki/Numerische_Differentiation

--------------------------------------------------------------------------
http://de.wikipedia.org/wiki/A-Stabilit%C3%A4t
http://de.wikipedia.org/wiki/BDF-Verfahren
Anbei pdf mit Vergleich anhand einer einfachen AWA

[pruefi]

[latex]
\section*{A)Vorgänge am Einzel-Meißel }
Modell: Lösevorgang der Fräswalze=Summe der Lösewirkungen der Einzelmeißel im Eingriff.\\
Annahmen:\\
-Jeder Meißel löst seinen Spanquerschnitt vollständig.\\
-Der Lösevorgang beginnt und endet mit dem Kontakt zwischen Meißel und dem (gewachsenen) Stoff.\\
Skizze zur Funktion:
[/latex]


[latex]
\subsection*{Beschreibung der Koordinaten P}
Die Gesamtbewegung setzt sich aus der Überlagerung der Drehbewegung der Walze mit $\omega$ und der Fahrbewegung mit $v_F$ zusammen. Deswegen ist es möglich, die Bewegung innerhalb eines körpereigenen Koordinatensystems KOS2 (x'',y'',z''), das sich mit $\omega$ um die Achse $z'$ eines KOS1 (x',y',z'), welches sich mit $v_F$ im Weltkoordinatensystem WKOS  (x,y,z) bewegt, zu beschreiben.
Im Körpereigenem bewegten Koordinatensystem KOS1:\\
$P_{KOS2}:=\left( \begin{array}{c} r_S\\0\\ 0\\ \end{array}\right)$\\
$P_{KOS1}:=R_{z'}\cdot P_{KOS2}$\\
$P_{KOS1}:=\left( \begin{array}{c} r_S\cdot cos(\alpha+\phi)\\ -r_S\cdot sin(\alpha+\phi)\\ 0\\ \end{array}\right)$\\
In Weltkoordinaten WKOS(x,y,z):\\
$P_{WKOS}:=A0_{WKOS}+v_F\cdot t \left( \begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)+R_{z'}\cdot P_{KOS1}$\\
$P_{WKOS}:=\left( \begin{array}{c} x_0\\ r_S\\ 0\\ \end{array}\right)+\left( \begin{array}{c} v_F\cdot t\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)+\left( \begin{array}{c} r_S\cdot cos(\alpha+\phi)\\ -r_S\cdot sin(\alpha+\phi)\\ 0\\ \end{array}\right)$\\
$P_{WKOS}:=\left( \begin{array}{c} x_0+v_F \cdot t+ r_S\cdot cos(\alpha+\omega \cdot t)\\ r_S(1-sin(\alpha+\omega \cdot t))\\ 0\\ \end{array}\right)$\\

\begin{tabular}{ll}
$A0:=\left( \begin{array}{c} x_0\\ r_S\\ 0\\ \end{array}\right)$ &Anfangsverschiebung zwischen KOS1 und WKOS\\
$\omega$ &Rotationsgeschwindigkeit der Walze\\
$v_F$ &Translationsgeschwindigkeit\\
$\phi:=\omega \cdot t$ &Drehwinkel ausgehend von der Anfangsverdrehung $\alpha$\\
$r_S$ &Abstand Drehpunkt-Meißelspitze\\
$R_{z'}$& Drehmatrix für Drehung um $z'$\\
$t$ &Zeit\\
\end{tabular}
[/latex]


[latex]
\subsection*{Geschwindigkeit in P}
Aus den Koordinaten von $P(x,y,z)$ läßt sich die Geschwindigkeit ermitteln:\\
$v:=\frac{d}{dt}P_{WKOS}=v_F \left( \begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)+\frac{d}{dt}R_{z'}\cdot P_{KOS1}$\\
$v:=\left( \begin{array}{c} \dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{z}\\ \end{array}\right)=
\left( \begin{array}{c} v_F\\0 \\ 0\\ \end{array}\right) -\omega\cdot r_S \left( \begin{array}{c}sin(\alpha+\omega \cdot t)\\ cos(\alpha+\omega \cdot t))\\ 0\\ \end{array}\right)$\\
somit ergibt sich für den Betrag der Geschwindigkeit:\\
$v_R:=|v|=\sqrt{v\cdot v}=\sqrt{[v_F-\omega\cdot r_S\cdot sin(\alpha+\omega \cdot t)]^2+[-\omega \cdot r_S\cdot cos(\alpha+\omega \cdot t)]^2}$\\
mit $\epsilon:=\alpha+\omega \cdot t$ wird daraus:\\
$v_R:=\sqrt{[v_F-\omega\cdot r_S\cdot sin(\epsilon)]^2+[\omega \cdot r_S\cdot cos(\epsilon)]^2}$\\
unter Auspotenzieren und Ausklammern von $\omega \cdot r_S$ entsteht:\\
$v_R:=\sqrt{v_{F}^{2}-2\cdot v_{F} \cdot \omega\cdot r_S\cdot sin(\epsilon) +[sin(\epsilon)^2+cos(\epsilon)^2][\omega\cdot r_S]^2}$\\
$v_R:=\omega\cdot r_S \sqrt{\left(\frac{v_{F}}{\omega\cdot r_S}\right)^{2}-2 \left(\frac{v_{F}}{\omega\cdot r_S}\right) sin(\epsilon) +1}$\\
wir defineren: $\kappa:=\left(\frac{v_{F}}{\omega\cdot r_S}\right)$ als Verhältnis zwischen Fahr- und Umfangsgeschwindigkeit\\
$v_R:=\omega\cdot r_S \sqrt{\kappa^{2}-2 \kappa \cdot sin(\epsilon) +1}$\\
Skizze zur Kinematik im Punkt P:
[/latex]

[pruefi]

CODE mit BUG zum selberfinden ;-)

Code: [Select]

> restart;
> with(LinearAlgebra):
> P_KOS2:=;
> Rz:=1*Matrix([[cos(phi),-sin(phi),0],[sin(phi),cos(phi),0],[0,0,1]]):
> P_KOS1:=Rz.P_KOS2:
> P_WKOS:=a0++P_KOS1:
> r_S:=1:a0:=<0,r_S,0>:
> phi:=alpha+omega*t:
> v_F:=1:omega:=5:
> P_WKOS;
> t:=tau/100:
> s:=seq([P_WKOS[1],P_WKOS[2]],tau=0..40):
> kreis:=[seq([r_S*cos(phi/10),r_S+r_S*sin(phi/10)],phi=-20..10)]:
> s1:=[eval(s,alpha=0)]:s2:=[eval(s,alpha=0.7)]:
> plot({s1,s2,kreis},color=[red,blue,black]);
Plot des Sichelschnittes (mit fehlerfreiem CODE erzeugt;-)):

[pruefi]

Hallo,
Ich mache eine Lerngruppe für Modellbildung/Simulation auf.
Ziel:
1.) Durchgehen des Formalismus
2.) Beispiele aus der Vorlesung
Ort:
Uni
Wer will noch daran teilnehmen?
PM an mich!

[n-w]

Hat schon mal jemand den Fragebogen ausgefüllt?
Ich hab gar keine Lust, das alles auswendig zu lernen. :cry:

[pruefi]

Musst du auch nicht, wir sind ja alle ein bisschen faul.
Mit einer Menge Logik/ Systematik und physikalisch/ mathematischen Geschick ist alles "relativ" leicht herleitbar. ;-)