Lagrange-Multiplikation

[fritti]

wie soll diese geränderte hessematrx denn eigentlich mit zb zwei neben bedingungen aussehn?:blink:

[ElArminio]

Hi!

Die Nebenbedingung(en) muss man dir geben, die befinden sich in der Aufgabenstellung.
Dort steht immer z(x,y) =.... mit oder bei... (Nebenbedingungen).
und dann stellst du deine Lagrangegleichung auf mit

L(x,y,z,lambda1, evtl. lambda2) = z(x,y) + lambda1*(Nebenbdingung1) + lambda2*(Nebenbedingung2)

Anschließend bildest du davon den Gradient und kannst dir durch Lösen der Gleichungssysteme alle x,y,z für die entsprechenden Extremstellen ermitteln.

[starKI]

Sehr interessant ... nur woher kommt diese geränderte Hesse-Matrix?
Ist ja auf jeden Fall einfacher, als das was wir in der Vorlesung gehört haben.

[xxx]

mhh, wo die herkommt weiss ich nicht,
ich habs mir aber so auf einen extra zettel notiert!
Hoffe jamal es kommt eine aufgabe mit lagrange hilfsfunktion dran, da kann ich dann hoffentlich punkten! Muss nämlich unbedingt bestehen wegen zweiter w und so.

[Kaefer]

kann mir mal bitte jemand erklären wie ich bei der lagrange multiplikation auf die nebenbedingungen komme??

[xxx]

hab dazu mal folgendes gefunden:

http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node138.html

besonders hier:
http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node144.html#SECTION05330000000000000000
da wird für die hinreichende bedingung auch die hesse matrix herangezogen aber in geänderter form!
Und dann wird die Determinante davon bestimmt und anhand dem vorzeichen ein aussage über den entsprechenden punkt zu treffen!

[starKI]

Also bei Extremwerten mit Nebenbedingungen kommst du zum Prüfen auf Minima/Maxima mit der Hesse-Matrix der Lagrange-Funktion nicht so einfach weiter, wie du es beschrieben hast. Denn: Die Extremwerte mit Nebenbedingung sind IMMER Sattelpunkte der Lagrange-Funktion. D.h. die notwendige Bedingung ist, dass der Gradient 0 ist und das ein Sattelpunkt vorliegt (mit Hesse-Matrix der Lagrange-Funktion zu prüfen). Wie die Prüfung auf die Art der Extrema geht, hatte ich in meinem ersten Post/erster Teil beschrieben.
 
Bei komplexen Eigenwerten wird einfach komplex weitergerechnet (d.h. das Gauß-Verfahren dann halt komplex angewandt).

[starKI]

Achtung: Die Erklärung (die ich im letzten Abschnitt des vorherigen Posts allgemein zu Lagrange gegeben hatte), ist so nicht ganz vollständig. Hab mich heute, nachdem es noch ein paar Unklarheiten gab, etwas intensiver damit auseinandergesetzt und eine bessere gefunden. Die richtige Erklärung beruht darauf, dass die Gradienten der Ausgangsfunktion und der Nebenbedingung die gleiche Richtung aufweisen müssen, wenn ein Extremwert vorliegen soll. Das kann man sich verdeutlichen, indem man bei gegebener Funktion z(x,y) und Nebenbedingung g(x,y)=0 von oben auf die x-y draufschaut und mal für eine Beispielfunktion (z.B. 18.19 a) ausm Ü1) die Höhenlinien einzeichnet und dann noch g(x,y) einzeichnet. Wenn man ein wenig räumliches Vorstellungsvermögen hat, wird einem daran klar, wieso die Gradienten beider Funktionen die gleiche Richtung aufweisen müssen, wenn ein Extremum vorliegen soll. Die Lagrange-Funktion ist dann die Mathematische Formulierung des Sachverhalts (der Gradient soll bei Subtraktion der beiden Funktionen 0 werden - und ob man nun addiert oder subtrahiert ist egal, da sich nur das Vorzeichen von Lamda ändert), wobei das Lamda daher kommt, dass zwar die Richtung des Gradienten als notwendige Bedingung gleich sein muss, aber die Beträge nicht zwangsläufig gleich sein müssen. Bei Bedarf kann ich auch mal nen Bildchen machen. Ich hoffe jetzt stimmts ...

[xxx]

ok, die Erklärung ist ja ganz logisch.
Über die notwendige Bedinung (lagrange hilfsfunktion) findet man mögliche Extremstellen!
Nun habe ich es immer so gemacht, dass ich mit Hilfe der definitheit der Hesse-Matrix bzw Ihrer Eigenwerte  eine Ausage über die entsprechende Extremstelle (Punkt einfach einsetzen) treffen kann!
Nur Positive Eigenwerte --> positiv definit --> rel. Minimum
Nur Negative Eigenwerte --> negativ definit --> rel. Maximum
Positive und Negative Eigenwerte --> indifinit --> Sattelpunkt

Ok, bei einer Funktion im R^2 und einer Nebenbedingung findet man für die 3x3 Hesse Matrix die Eigenwerte (Polynomfunktion 3. Grades) noch recht einfach!

Wenn jetzt aber wie in Aufgabe Ü2: 18:19c ein Funktion im R^3 und zwei Nebenbedingungen gegeben ist bekommt man ein 5x5 Hesse Matrix von der es nicht mehr so einfach ist die Eigenwerte zu bestimmen da man eine Polynomfunktion 5. Grades bekommt.
Wie geht man an sowas ran?

Und ich habe noch eine andere Frage:
in der Aufgabe Ü2: 26.1 b (Differentialgleichungssysteme) bekommt man für die Matrix Komplexe Eigenwerte ( Lambda1/2= 1 +- 3i). Wie bestimmt man die dazu komplexen Eigenvektoren ?

[starKI]

Zu 2. Nein, gibt es nicht. Hier musst du kreativ sein. Aber bei uns sind die Aufgaben meistens so konstruiert, dass Lösungen auffindbar sind. Im Normalfall gehts sogar nur numerisch.
 
Zu 1.
Im Prinzip alles richtig, was du sagst. Lagrange ermittelt Extrema mit Nebenbedingungen. D.h. im Endeffekt die Extremwerte der Schnittkurve zweier (oder mehrerer) Flächen (so kann man sich das im R3 vorstellen). Mittels dem Gradienten der Lagrange-Funktion findest du Extremwert-verdächtige Punkte raus. Die tatsächlichen Extrema mit Nebenbedinungen sind jedoch nur die Sattelpunkte der Lagrange Funktion. Das prüfst du mit der Determinante der Hesse-Matrix, richtig. Damit weißt du aber noch nicht, was Minima, Maxima und Sattelpunkte der Schnitt-Raumkurve sind. Um das rauszukriegen brauchst du zuerst den Tangentialraum an die Nebenbedingung. Dabei nutzt man, dass der Gradient senkrecht auf der Funktion(sfläche) steht. Also bildet man alle Vektoren, deren Skalarprodukt mit dem Gradienten (der betrachteten Nebenbedingung) 0 ist. Die Vektoren die du da kriegst bilden im Prinzip eine (Hyper)Ebene. Nun prüfst du mit der Formel, die du schon genannt hast, was passiert, wenn man die Hesse-Matrix der Lagrangefunktion (im zu untersuchenden Punkt) mit diesen Vektoren multipliziert. Kriegt man auf jeden Fall was Positives, handelt es sich um ein Minimum. Ist das Ergebnis auf jeden Fall Negativ, ist es ein Maximum. Kriegt man 0, hat man wahrscheinlich einen Wendepunkt der Raumkurve vor sich. Was man hier macht, ist nichts anderes als eine Annäherung durch ein Taylor-Polynom 2. Grades.
 
Wenn du wirklich verstehen willst, warum und wieso das funktioniert empfehle ich dir Folgendes:
Mach dir ne Skizze, in der du genau in die Schnittkurve zweier beliebiger R3-Flächen "reinschaust" (also die Ebene, in der du die Skizze machst, muss senkrecht zur Schnittkurve liegen). Dabei kriegst du irgendwas was aussieht wie ein "X" (wie gesagt, die Flächen können beliebig sein; mal dir also irgend ein bissel geschwungenes X). Und dann überleg dir, was genau passiert, wenn du auf diese beiden Funktionen das Lagrange-Verfahren anwendest (das machst du jetzt natürlich nur für einen speziellen Punkt, aber es geht für alle anderen Punkte genauso). Leg dir dazu einfach mal ein beliebiges Lamda (am besten 1) fest und addiere dann die Kurven und zeichne das Resultat ein. Wenn du die beiden Kurven dann noch linear annäherst (in dem Punkt, in dem die Nebenbedingung die x-y-Ebene schneidet - von der siehst du natürlich bloß die Spur), siehst du sogar, wie die Lamdas zustande kommen (nämlich genauso, dass die Addition der beiden linearen Funktionen, von denen eine mit Lamda multipliziert wird, eine neue lineare Funktion mit Anstieg 0 ergibt). Mit der ganzen Überlegung wird auch ersichtlich, warum die gesuchten Extrema IMMER Sattelpunkte der Lagrange-Funktion sind.

[tschack]

es geht mir um die berechnung von extremwerten mittels lagrange-multiplikation.

verstehe ich das richtige:

dieses verfahren dient zum herausfinden von stationären punkten.ob diese stationären punkte dann tatsächlich extrema sind erfolgt über hessematrix sowie einsetzen der punkte in 2. ableitung.

weil meine frage bezieht sich auf folgendes problem:

erfolgt die auswertung ob und wenn ja was für extrema über die hesematrix oder über das gleichungssystem w*Lxx*w^T > 0 ?

l
meine 2. frage bezieht sich auf stationäre punkte. wenn ich den gradienten der funktion null setze und dann nach stationären punkten suche... gibt es da ein sicheres verfahren oder muss man ganz einfach schaun und rumprobieren? weil da bin ich mir nie sicher ob ich alle habe oder nicht.


danke