Aufgabe 24.14

[mars]

Hallo,
vllt kann mir jemand helfen. ich weiß nämlich nicht was ich bei der 24.14 machen soll.
Kann mir jemand einen Ansatz dafür geben oder mal ausführlich eine der beiden
Aufgaben (a oder c) vorrechnen? Dann wäre mir echt geholfen.

[MaBoTU]

24.14 a)
 
- zuerst musst du die DGL auf eine Form bringen, in der der Zähler von y abhängt
und der Nenner von x:
 
x^2+x*y+y^2-x^2*y'=0 durch die höchste Potenz von x teilen, hier x^2
 
-> y'=1+y/x+y^2/x^2 nun substituierst du, wie in der Aufgabe gefordert:
 
y=x*z(x) (1)
 
-> y'=1+z(x)+(z(x))^2 (2)
 
- nun leitest du (1) ab und erhältst wegen der Kettenregel y'=z(x)+x*z'(x), was du in
(2) einsetzt
 
-> z(x)+x*z'(x)=1+z(x)+(z(x))^2 die z(x) kürzen sich
 
für z' kannste schreiben dz/dx
 
durch umsortieren bildest du folgendes Integral:
 
§ dz/(1+z^2)=§ dx/x ich weiß komisches Integralzeichen, aber wat solls :wallbash:
 
 
-> arctan z = ln/x/ + c
 
z = tan(ln/x/ + c)
 
- mit Rücksubstitution erhältst du y = x*tan(ln/x/+c)
 
-durch die Anfangsbedingung erhält man -e*tan(1)=-e*tan(ln+c) -> c=0

y=x*tan(ln(-x)), da -e^(Pi/2)

[Zaubi]

muß mal schauen bin aber der Meinung das die Lösung: Y(x) = x tan (ln (-x) + ln (C))

Aufgrund des Anfangswertes der bei x = -e <0 gegeben ist und die Lösung bei x= 0 eine Singularität hat. Somit liegt die Lösung bei -e <=x<0. Dadurch kann ln(x) durch ln(-x) ersetzt werden.

[MaBoTU]

@Zaubi   ...ich hab den letzten Teil vergessen:
 
-durch die Anfangsbedingung erhält man -e*tan(1)=-e*tan(ln+c)  ->  c=0
 
y=x*tan(ln(-x)), da -e^(Pi/2)

[mars]

hey danke für den Lösungsweg. habe auch alles verstanden, aber als ich mich dann an Aufgabe 24.14 c) gemacht habe, bin ich nach dem Integrieren auf auf ein Problem gestoßen:

lnln/z/ - ln/z/ = ln/x) + c ; wie kann ich hier nach z umstellen?

[MaBoTU]

Ich weiß zwar jetzt nicht, wie du darauf gekommen bist, aber ich geb dir nochmal den Lösungsweg für die c):
 
x*y'=y*(lny-lnx)
 
y'=y/x*ln(y/X)     Logarithmengesetz!
 
Substitution: y(x)=x*z(x)
                   
                   y'(x)=z(x)+x*z'(x)
 
z(x)+x*z'(x)=z(x)*ln(z(x))
 
§ dz/(2*(lnz - 1))=§ dx/x     Substitution: t=lnz  -> dt=1/2 dz
 
§ dt/(t-1)=§dx/x
 
ln/t-1/=ln/x/ + ln/c/  (da c ne Konstante ist kannste gleich mit logarithmieren)
 
ln/lnz - 1/=ln/x/+ln/c/   (jetzt alles e^)
 
lnz - 1 = c*x  (Logarithmengesetz!)
 
lnz = c*x+1   (wieder e^) gleichzeitig resubstituieren
 
y(x)=x*e^(c*x+1)

[mermaid]

-durch die Anfangsbedingung erhält man -e*tan(1)=-e*tan(ln+c)  ->  c=0
 
y=x*tan(ln(-x)), da -e^(Pi/2)

irgendwie kapier ich das grad nich :wallbash: