5.2 Impulserhaltung - u(index i) und u(index j) ?

[BionicOne]

Hallo zusammen,

ich sitze hier über Strömungslehre und habe da mal eine Frage von der ich hoffe das einer von euch sie mir beantworten kann.

Im Skript vom Heller ist im Kapitel 5.2 - Impulserhaltung in der Gleichung 5.15 im zweiten Integral ein U(index i) und ein u(index j) zu lesen. Warum index i und index j ? Inwiefern unterscheiden die sich ? Das i und j jeweils für x,y,z steht ist mir ja klar. Aber warum 2 verschiedene u´s ?

Wäre nett wenn einer von euch diese Frage beantworten könnte.

Danke, Michael

[Der grosse Bauer]

guck Dir mal die "Tensorschreibweise" an...wende diese auf die Gleichung (5.12?, ich hab nen älteren Skript) an und Du solltest zur Gleichung 5.15 kommen:
5.12 ist vektoriel notiert, 5.15 nach "Einstein'scher Summenkonvention" (= über gleiche Indizies wird summiert).

[n-w]

Warum verschiedene Geschwindigkeiten in die Gleichung gehören, weiß ich im Moment leider nicht mehr. Allerdings stehen glaube im Anhang die Gleichungen nochmal für die einzelnen Raumdimensionen. Damit konnte man dann auch was anfangen.

[DIGIT]

Im Skript vom Heller ist im Kapitel 5.2 - Impulserhaltung in der Gleichung 5.15 im zweiten Integral ein U(index i) und ein u(index j) zu lesen. Warum index i und index j ? Inwiefern unterscheiden die sich ? Das i und j jeweils für x,y,z steht ist mir ja klar. Aber warum 2 verschiedene u´s ?

Das kommt deshalb, weil man bei jedem mittelprächtigen Genuß von Flüssignahrung wieder und wieder nachdenken muss, ob diese Wunderlichkeit nun eine Matrix, einen Vektor oder ein Skalar ergibt.
 
Wenn man den Geschwindigkeitsvektor U=(u,v,w) setzt (<- und hier beginnt die erste Verwirrung mit den u's) dann ist in der ersten Gleichung:
u * UT*n (T steht für Transponiert)
in der zweiten Gleichung
v * UT*n
in der dritten Gleichung
w * UT*n
 
uj und nj werden skalar multipliziert, also Zeilenvektor der Geschwindigkeit mal Normalenvektor, in der Summekonvention - wie oben schön beschrieben - als uj*nj notiert. Sagt nix anderes aus, als Summiere über alle vorhandenen Dimensionsindixes, oder eben mathemtatisch gesprochen: Bilde das Skalarprodukt.
 
Wenn man nun den Geschwindigkeitsvektor U=(u1,u2,u3) setzt, wird die Verwirrung größer, aber man könnte es einsetzen.
 
Bitte beachte, dass die Impulsgleichung drei Gleichungen sind - oder wie Du halt Dimensionen hast.
Das heißt, dass bei der vektoriell geschriebenen Impulsgleichung ein Vektor herauskommen muss.
Wenn Du aber die vektorielle Impulsgleichung komponenten bzw. zweilenweise aufschreibst - wie im Skript auf 5.15 - dann bekommst Du drei skalare Gleichungen.
 
Gleicher Inhalt, andere Verpackung.
Hoffe, ich hab nich nicht vertan.
 
PS:
Am besten ists, wenn man sich selbst für eine Schreibweise entscheidet, sie wirklich durchdenkt und dann persönlich nützt.
Die Matrix/Vektorschreibweise ist meine bevorzugte Schreibweise, nahezu ohne Indices und man sieht "rasch":wacko: was drinnen steckt und was herauskommt.
Bei zwei Großbuchstaben mit einem Punkt dazwischen handelt es sich offensichtlich um eine Matrixmultiplikation....
 
Grüße
DIGIT
:limes_0:

[BionicOne]

@ Der grosse Bauer

Danke, soweit war mir das klar, leider ist meine Frage damit nicht hinreichend benantwortet...

@ n-w

Danke, Du hast zumindest meine Frage verstanden, auch wenn Du sie nicht beantworten kannst...

@ Digit

- Habe etwas Probleme Deinen Absatz mit u,v,w zu verstehen.

Ist ja nicht so das ich nicht schon mal so ein kleines bischen Mathe gehabt hätte, das mit dem Einstein bekomme ich schon noch raus, aber warum zu Teufel sind da 2 versch. Geschwindigkeiten drin Sind die für 2 versch. Dimensionen ?

Thx, Michael

[DIGIT]

aber warum zu Teufel sind da 2 versch. Geschwindigkeiten drin Sind die für 2 versch. Dimensionen ?

Ja, Du hast mehrere Dimensionen weil die Pampe (bzw das Fluid) fließt.
Es gibt also einen Impuls - oder besser eine Impulsbilanz - pro Dimension, analog der Statik mit einer GGB pro Dimension, oder analog Kinetik/Kinematik.
 
Bei einer räumlichen Strömung gibt es also drei Impulsbilanzen, je eine in x, in y und in z-Richtung.
Nun ist der Impuls geschwindigkeitsabhängig, also von z.B. u = dx/dt, v=dy/dt, w=dz/dt. Wie auch immer man die Geschwindigkeiten bezeichnet (u,v,w) oder (u1, u2,u3), jede Komponente der Geschwindigkeit ist die Ableitung der Dimensionskoordinaten.
 
Und der Term in 5.15 ui*uj*nj zeigt, dass die Geschwindigkeiten in Koordinatenrichtung voneinander abhängig sind (oder sein können).
Das heißt, dass Du in der ersten Impulsbilanzgleichung (der x-Gleichung oder u-Gleichung) auch noch die anderen Geschwindigkeiten drinnen hast.
Analog die anderen Gleichungen für y, z bzw. u2, u3 bzw. v,w.
 
 
Tipp:
Grob gesprochen ist die Strömungslehre ein "Gleichgewicht bzw. Statik der Impulse"
 
Man sieht das am besten an der "lustigen schwebenden Kugel":
Wenn man hier die "Impulspfeile" einzeichnet, dann kann man das als statische Aufgabe - komplett ohne SL, ohne Kontrollvolumina etc. - lösen, indem Du einfach den "fehlenden Impulspfeil" ausrechnest.
Klingt brutal, ist brutal:w00t: - aber ist gut und billig.
 
Grüße
DIGIT
:limes_0: