Testataufgabe vom 24 mai 2004 - grossmann

[Rocket]

grossmann testat vom 24. mai 2004
 
es geht um die aufgabe 2 b) :
 
hat jehmand eine ahnung wie das geht? oder weiß jemand welche lektüre man sich vornehmen sollte um diese aufgabe zu lösen ?
 
-ICh hab das restglied mit lagrange-formel hingeschrieben ( wobei ich mir nicht ganz sicher bin was ich als xi schreiben soll) .... naja und dann hab ich keine ahnung wie es weiter gehen soll
 
Was ist das "c" überhaupt und ist die lagrange formel überhaupt der richtige ansatz ?
 
need help
 
danke
 
 
... paar worte zu 4a) wären auch nicht schlecht

[starKI]

Für die 2b musste dir mal die Taylorreihenentwicklung vom Sinus anschauen.
Es gilt ja Tn(x)+Rn(x)=f(x)
Umgestellt ist dass dann f(x)-Tn(x)=Rn(x). Und genau dass ist ja dass was dort steht. Sin(x) entspricht f(x), x entspricht Tn(x) (sowohl für n=1 als auch n=2, da die zweite Ableitung vom Sinus an der Entwicklungsstelle 0 ist) und die Rechte Seite entspricht genau dem Restglied. Also muss man dann eine Restgliedabschätzung für das Intervall 0 bis pi/6 durchführen.

Zur 4a): Für Stetigkeit muss man sichern, dass die Funktionswerte in den "Übergangspunkten" für die beiden jeweils beteiligten Funktionen übereinstimmen (die jeweiligen Punkte einfach in die Funktionen einsetzen und dann gleichsetzen), für die Differenzierbarkeit muss noch die Ableitung übereinstimmen. Daraus erhält man einen Satz von Gleichungen, mit dem man die Lösungen bestimmen kann.

Sollteste trotzdem nicht klarkommen, musste dich nochmal melden. War zugegebenermaßen bissel Kurzfassung.

[Rocket]

ok, ich hab das problem jetzt erkannt und weiß jetzt auch was hier polynom und was die funktion ist ... aber das restglied krieg ich trotztdem nicht zusammen:
 
entspricht das c dem epsilon in der lagrange restgliedformel?
 
außerdem kann ich mit dem pi/6 nicht wirklich was anfangen , es bleibt dann immer irgendwie über und ich komm nicht auf c = 1/4.
 
es ist doch : (((sin^n+1)(έ)) / (n+1)!) * x^n+1   = Lagrange restglied
 
 
naja ich komm nicht drauf

[starKI]

Es ist ja so, dass das Taylorpolynom 1. Grades von sin(x) genau das gleiche ist, wie das 2. Grades (bei Wahl der Entwicklungsstelle x0=0).
Das Restglied sieht allgemein so hier aus: (f(n+1)(xi))/(n+1)! * (x-x0)^(n+1)
Dabei ist f(n+1) nichts anders als die (n+1)te Ableitung von f(x), xi irgendein Wert zwischen 0 und pi/6 (den wir noch nicht kennen), x liegt auch im Intervall von 0 bis pi/6 und x0 ist die Entwicklungsstelle.

Im ersten Fall (c1) brauchen wir das Restglied ersten Grades, d.h. wir müssen die zweite Ableitung bilden:
f'(x)=cos(x)
f''(x)=-sin(x)
Also sieht unser Restglied für die Entwicklungsstelle x0=0 wie folgt aus:
R1(x)=(-sin(xi)/2)(x^2). Da aber auf der linken Seite vom Gleichheitszeichen der Betrag steht, muss dieser hier auch gesetzt werden: |sin(xi)/2)(x^2)| (das minus vorm sinus kann wegen dem Betrag wegfallen). Jetzt sieht man auch, dass das c1 genau |sin(xi)|/2 entspricht. Nun wollen wir ja wissen, für welchen Wert xi dieser Term maximal wird (sprich: wir suchen den Wert xi für den das Restglied maximal groß wird). Weiterhin wissen wir, dass xi im Bereich von 0 bis pi/6 liegt. In diesem Bereich ist die sinus Funktion streng monoton steigend. Damit muss also xi=pi/6 sein. Und taataaaa ... sin(pi/6)/2 = 1/4.

Im zweiten Fall (c2) brauchen wir das Restglied zweiten Grades, d.h. wir müssen die dritte Ableitung bilden:
f'(x)=cos(x)
f''(x)=-sin(x)
f'''(x)=-cos(x)
Also sieht unser Restglied für die Entwicklungsstelle x0=0 wie folgt aus:
R2(x)=|cos(xi)/6)(x^3)|. Jetzt sieht man wieder, dass das c2 genau |cos(xi)|/6 entspricht. Nun begintt das gleiche Spiel von vorne ... die Kosinus Funktion ist im Intervall von 0 bis pi/6 monoton fallend. Damit muss also xi=0 sein, weil damit |cos(xi)|/6 maximal wird ... und wir erhalten cos(0)/6 = 1/6.

[Rocket]

ja danke schön jetzt hab ichs ... ich hatte das im prinzip genau so , nur hatte ich übersehen , dass sich das x² einfach aufhebt ....
 
.... und es ist natürlich ein xi und kein epsilon

[Rob69]

is zwar schone ne weile her aber egal...
ich komm beim besten willen nich auf die 2. ableitung..bzw sieht die komisch aus..
ne kurze anleitung wäre nett...
also die erste is


-ln2(0.5)^x-2

daraus die ableitung....doppel ln gibts sowas   :-)
danke

[starKI]

Vorne steht ne Konstante (-ln2) und hinten die Ausgangsfunktion! Die Konstante wird bei der Ableitung einfach mitgenommen und die Ableitung von der Ausgangsfunktion haste ja schon.
Und (ln2)^2 gibts natürlich, warum auch nicht?

[Rob69]

habs jetzt auch raus war relativ einfach...sorry-....  nei ich meine ob es  ln²(irgendwas) gibt

[starKI]

Naja klar, sag ich ja. Das ist doch auch bloß ne andere Schreibweise für ln(irgendwas)*ln(irgendwas) bzw. ln(irgendwas)^2

[Abus]

ist die tiefgestellte 2 bei dem c der grad des polynoms??

[Wills]

ne das sind konstanten

also das wird wohl zufall sein, dass es  in der aufgabe so ist

[tschack]

hallo.ich hab nen kleines problem mit der 5 d) aus dem testat... wie können in der lösungen parameter vorkommen wenn das gleichungssystem nur aus zahlen besteht?wie zaubert er die da rein?
 
und kann evtl. mal jemand die 6 c) und die 7 ) übersetzen bzw sagen worauf das rausläuft? der immer mit seinem kaudawelsch und variablensalat. ich mein man kann die aufgaben auch etwas umständlich formulieren...
 
 
danke schonmal im voraus

[Wills]

man muss die variablen selber einführen, schließlich hast du ja nur 3 gleichen für 4 unbekannte

bei der 6. : setze einfach mal die matrizen ein in die gleichung, dann sieht das gar nicht mehr so kompliziert aus

ich hab das jedoch auch noch nicht alles probiert zu machen

[Rocket]

hallo.ich hab nen kleines problem mit der 5 d) aus dem testat... wie können in der lösungen parameter vorkommen wenn das gleichungssystem nur aus zahlen besteht?wie zaubert er die da rein?
 
und kann evtl. mal jemand die 6 c) und die 7 ) übersetzen bzw sagen worauf das rausläuft? der immer mit seinem kaudawelsch und variablensalat. ich mein man kann die aufgaben auch etwas umständlich formulieren...
 
 
danke schonmal im voraus

 
 
also wie du das so schreibst , scheinst du ja mit 5 b, und c, klargekommen zu sein ...
ich wäre dir echt dankbar wenn du dein wissen mit mir teilen könntest...
 
bei b) da hat man mehr unbekannte als gleichungen , wie soll man da auf einen wert kommen ? und c) ... was soll man bei c überhaupt machen?

[tschack]

also wie du das so schreibst , scheinst du ja mit 5 b, und c, klargekommen zu sein ...
ich wäre dir echt dankbar wenn du dein wissen mit mir teilen könntest...
 
bei b) da hat man mehr unbekannte als gleichungen , wie soll man da auf einen wert kommen ? und c) ... was soll man bei c überhaupt machen?

b)
 
geg.: x^0=0 ges.: x^1 aus R2
 
Wenn du k=0 setzt bekommst du auf der rechten seite des gleichheitszeichens b raus, da der rest durch die Multiplikation mit 0 (siehe geg. ) wegfällt. Für k = 0 steht auf der linken seite Ax^1
 
zusammen macht das
 
A * x = b
 
wenn du jetzt die matrix bzw den vektor einsetzt kommst du auf den gesuchten vektor x
 
c) Iterierte bzw Iteration ist eine Art Schrittweises Annähern an die gesuchte Lösung indem man eine Rechnung mehrere mal hintereinander durchführt.
 
z.B. das Newton Verfahren bei der suche nach Nullstellen.
 
Das Newton Verfahren basiert darauf das man einen startpunkt auf der Funktion hat.die Tangente an diesen Punkt hat eine Nullstelle... x wert der Nullstelle mit entsprechenden y Wert der Funktion ergibt einen neuen Punkt.Tangente daran gibt neue Nullstelle die näher an der der Funktion dran ist als die der 1. Tangente.Das Verfahren setzt sich fort.
 
Sprich: Was da steht ist der Abstand von der derzeitigen Annäherung (der derzeitigen Nullstelle der Tangente; x^0) zur wahren,exakten Lösung. Jedoch fehlt da eine konstante,mit der erst diese abschätzung möglich ist
 
 
wäre interessant zu wissen was bei rauskommt wenn man alles nur einsetzt.Gibt es jemanden der das mal probiert hat? bzw weiterhin ist mir die 7 nicht wirklich klar