komplexe Zahlen Grundlagen

[freierfall]

Guten Morgen,

Ich habe zwei Fragen. z=x+iy

Re(z) = x
Im(z) =y
Betrag (z) => r = Wurzel(xhoch2+yhoch2)
Arg (z) => tan(phi)=y/x

Weil ich dieses Arg schon öfters gelesen habe, aber nicht zuordnen kann stimmt das so?

Dann will ich eine Aufgabe lösen aber ich verstehe die Aufgabenstellung gar nicht.

3.16 "Für welche Punkte z=x+iy der Gaußschen Zahlenebene gilt.

a) /arg z/< 0.5PI

...

Ich habe schon so einiges durchgelesen aber diese Zahlenebene sagt mir gar nichts.

herzlichen Dank

Sascha

[ChrisW]

Du bist nah dran. Es ist so, dass [latex]Arg(z)=\varphi=tan^{-1}{X\over Y}[/latex] ist.

[Caipiranha]

Es ist so, dass [latex]Arg(z)=\varphi=tan^{-1}{X\over Y}[/latex] ist.

Fast: [latex]Arg(z)=\varphi=tan^{-1}{y\over x}[/latex]

Die Gausche Zahlenebene kannst du dir wie ein normales x-y-Koordinatensystem vorstellen ( Re(z) = x,Im(z) = y). In diesem Koordinatensystem sollst du jetzt die Menge aller Punkte finden, deren Argument < 0.5PI.

[DIGIT]

(1) phi = arg(z) ist nur eine Abkürzung und bedeutet "Bezugswinkel"
(2) Für elementare Komplexe-Zahlen-Fummelei sind "alte Ost-Bücher" die beste Medizin. Ein gutes Schulbuch leistet ebenso gute Dienste
 
Um einen Punkt P auf einer Ebene bezogen auf den Ursprung zu bestimmen gibt es ja mehrere praktikable Möglichkeiten.
Beispielsweise:
Soviel nach rechts (per Definition positive x-Richtung)
Soviel nach oben   (per Definition positive y-Richtung)
Fertig.
Und der Vektor 0P ist die Summe der Richtungsvektoren der Koordinaten.
Das zugrundeliegende System nennt man zu Ehren von Rene Descartes
kartesisches System.
 
Du kannst den Punkt P auch anders festlegen.
Mit einem Stück Schnur vom Ursprung ist fast alles geschafft, dann weißt Du, wie weit Du vom Ursprung weg bist.
Zusätzlich musst noch die Richtung im Sinne eines Winkels auf eine Bezugsachse bestimmen.
Das gibt das so genannte polare System. Länge der Schnur mit r und Bezugswinkel phi.
Fertig.
 
Die oben genannten (Umrechungs-) Formeln sind also elementar ableitbar - und die sollte man auch "aus der Beschreibung" selber herleiten!!!
 
In der komplexen Ebene, die sich in keiner "systematischen" Weise von den  oben genannte Systemen unterscheidet, gilt: Nach rechts alles was reell ist, also x = Re(z) und rauf alles was imaginär ist, also y=Im(z)
 
Nachtrag:
Die Eulersche Formel exp( i phi) = cos(phi) + i sin(phi) kommt daher, dass man für exp(x) die Potenzreihe mit (i phi) ansetzt. Bei komplexen Exponenten trennt sich dabei die Exp-Reihe in jeweils eine Reihen für cos(phi) und sin(phi) auf, wobei man beim sin noch das i herausheben kann.
Und wenn man die Potenzreihe für exp(x) nicht auswendig weiß, dann kann man sich diese aus der Taylorreihe schnell herleiten...:whistling:
 
Grüße
DIGIT
:limes_0:

[ChrisW]

Danke für die Korrektur ICH. Es ist natürlich [latex]Arg(z)=\varphi=tan^{-1}{Y\over X}[/latex]

Nachfolgendein Bild von der berühmten komplexen Zahlenebene (aus der Wikipedia).
Wenn du dort den Bereich zwischen [latex]-0,5\pi[/latex] bis [latex]+0,5\pi[/latex] suchst wirst du angenehm überrscht sein

[freierfall]

Euch allen herzlichen Dank,

Das habe ich gebraucht, nun kann ich auch die Aufgaben rechnen. Ich hoffe heute abend noch ein bisschen Zeit zu finden. Schön das ich jetzt wenigstens 20 Minuten hatte um es mir gründlich durch zu lesen. (Sohn 40 ° Fieber)

Wenn ich mir das jetzt so anschaue verstehe ich auch nicht warum ich mir die gesamte Zeit so schwer damit getan habe. Ich werde einfach noch mehr Aufgaben rechnen und mich melden bei Fragen.

Mich freut auch sehr das ich einfach so was fragen darf und so schnell eine Anwort bekommen habe.

herzlich

Sascha

[freierfall]

Guten Morgen,

Irgendwie komme ich da immer noch nicht weiter. Bei den Matrizen geht es besser.

Die Aufgabe ist "Für welche Punkte z=x+iy der Gaußschen Zahlenebene gilt.".

für d) [latex]\noindent\(\pmb{|z+2-i|\geq 2}\)[/latex]

Die Lösung sollte sein. Peripherie und Äusseres des Kreises um z0=-2+i mit r=2.

Für z habe ich x+iy eingesetzt. Dann komme ich auf y=1 und  [latex]\(\pmb{x\geq 0}\\
\pmb{x\leq -4}\)[/latex]

Aber das kann ich nicht zu der Lösung umbauen.

Ich habe mich dann noch an der von dir DIGIT Taylorfummelei versucht bei [latex]
\noindent\(\pmb{(x+\text{iy})^6=1}\)[/latex]. Aber Kläglich gescheitert. Muss ich da wirklich schrittweise das Ding ausmultiolizieren?

herzlichen Dank

Sascha

[Caipiranha]

Soll das da ein + wischen z und 2 sein? Wenn ja kommt das nämlich hin. Der Betrag ist bei komplexen Zahlen nämlich nicht als "alles ist positiv" zu deuten, sondern als :wurzel:(Img² + Re²).

Daraus ergibt sich die Kreisgleichung (x+2)² + (y-1)² :groesser_gleich: 2²

[freierfall]

Guten Morgen,

Danke für die Anwort. Ich habe inzwischen verstanden, dass mit 2-i zu z addiert, ja wirklich ein Kreis von Möglichkeiten hinzukommt. Ich werde mir heute noch mal den alten Beitrag von Digit über die Kreisformel anschauen und noch in den Bücher die hier sind reinschauen. Dann melde ich mich nochmal.

Kann es sein, dass das Latextool kein plus versteht?

herzlichen Dank

Sascha

PS: Wens interessiert Fieber vorbei und die Lungenentzündung ist auch am abklingen.

[freierfall]

Hallo,

nun mache ich immer mal wieder einige Wiederholungen. Da kommt mir doch so eine Aufgabe dazuwischen die ich nicht verstehe.

Mein Frage wie mache ich das?
(w-z)^4=16
z ist gegeben und w ist gesucht.

Ich bin bis zur letzten Zeile gekommen und da weiss ich nicht mehr weiter. Hab einige Zwischenschritte ausgelassen. Ich habe die Binomische Formel ausmultipliziert und anschliessend die jeweiligen z eingesetzt. Aber nach dem zusammenfassen bin ich einfach nicht weitergekommen.

herzlichen Dank

Sascha