Taylor-Polynom - Restglied?

[Bassi]

hubidoo hat glaubsch recht!
Ich denks mir so:

schreibt mal die LAGRANGE form so auf:

Rn(x) = f^[n+1](:_xi:) * ((x-x0)^n+1) / (n+1)!

Meistens hat man aus der Aufgabe das Intervall gegeben in dem man den GRÖßTEN Fehler bestimmen soll!

Das Intervall fängt immer an der Aproximationsstelle (Entwicklungsstelle) x0 an! An dieser Stelle ist der Fehler des Tn-Modells gleich 0!!!!
Wenn ihr das Überprüfen wollt müsst ihr einfach mal x=x0 einsetzen!
Daraus wird Rn(x)=0 { x-x=0 }.

Bewege ich mich jetzt aber von x0 weg, so entsteht durch das Modell ein Fehler!
Ansonsten bräuchte man ein Taylorpolynom  :unendlich: -ten Grades !!!!!
(nur zur Vorstellung)

Jetzt lege ich mir also einen Bereich UM MEINE Entwicklungsstelle x0 fest. In diesem Bereich möchte ich jetzt wissen wo der MAXIMALE Fehler ensteht!

ES IST NÄMLICH NICHT IMMER GESAGT, DASS DER FEHLER EINER STELLE, DIE WEITER VON x0 WEG IST AUCH AUTOMATISCH GRÖßER IST! ALLERDINGS IST PRINZIPIELL DER FEHLER GRÖßER UM SO WEITER MAN SICH VON x0 ENTFERNT!
(sieht man ja auch an der gleichung - allerdings kommt es noch auch die Ableitung an!)

Wenn ich jetzt also den maximalen Fehler bestimmen möchte, und ihn in Form von Rn(x) aufschreiben möchte, dann muss ich folgendes tun:

-schauen, an welcher Stelle  :_xi: die [n+1]-te Ableitung von f(x) am größten ist!
 (denn dort ist natürlich auch der Größte Fehler! - Eigentlich bräuchte ich dazu die [n+2] Ableitung von f(x), in der ich den Anstieg [n+2] gleich Null setze und mein :_xi: erhalte...meistens ist jedoch ersichtlich wann f^[n+1](:_xi:) am größten ist --> zum beispiel ist max(sin(:_xi:)^[n+1])=1 !!!  - klar oder ?? -{daher auch das mit 1 und 0 und so....->Vorlesung})

-dann muss ich meine Aüßerste Intervallgrenze betrachten -> (x-x0)^n+1 !!!
 (denn um so weiter ich von von x0 wegkomme , um so größer der Fehler: laut (x-x0)^n+1 )

Zusammengefasst sind also ZWEI SACHEN ZU BEURTEILEN UM DEN FEHLER EINSCHÄTZEN ZU KÖNNEN - in Worten:

-Die (n+1) Ableitung von f(x) - IRGENDWO IM FEHLERINTERVALL ist sie - natürlich abhängig von f(x) - MAXIMAL -> daraus die "Stelle" :_xi: !!!!!!!!

-Und dann noch der Abstand der Fehlerstelle von dem Ausgangspunkt der Modellentwicklung - dem sogenannten Entwicklungspunkt!

Der MAXIMALE Fehler ist also:               !!!    max( Rn(x) )     !!!

Und wenn man nun beide Faktoren Zusammenfasst führt man:


 :-theta: ein und bezieht :-theta: auf den Abstand:


:-theta: = ( :_xi: - x0 ) / ( x - x0 )       -------> siehe Bärwolff Seite 115!!!

also ersetzen wir:

 :_xi: mit [ x0 + :-theta: * ( x - x0 ) ]  

-------> und dies ist das, was hobidoo gemeint hat!
Da sich :-theta: auf das Intervall bezieht gilt jetzt:

0  :kleiner_gleich:  :-theta: :kleiner_gleich: 1 !!!!!!!!!!

damit bekommt man jetzt durch einsetzen viel leichter den gesuchten Wert:

max( Rn(x) )

Man kann das ganze natürlich auch Umgekehrt machen!
Zum Beispiel sagen ich möchte irgendeinen Wert von f(x) an der Stelle x - DURCH DAS AN DER STELLE X0 ENTWICKELTE MODELL!!!! mit dem PC auf 0,00001 Genauigkeit bestimmen!

Also setze ich 0,00001  :groesser_gleich: max( Rn(x) ) und rechne mir durch einsetzen n aus !!!!!
Also weiß ich welches Tn(x) - Polynom ich dem rechner auszurechnen geben muss um meine Bedingung zu erfüllen!

Damit lässt sich unter anderm zum Beispiel ruck zuck ein Progrämmchen schreiben, mit dem ich e^1 durch ein Taylerpolynom auf (z.B.) 10 Stellen Genauigkeit genau berechnen kann!

:-) So ich geh jetzt pennen!

 :blink: viel spass beim raffen...
(ich hoffe ich hab nix falsch)