[MA 06] MatheI Wiederholung

[MBroyal]

Danke Digit, ich weiß deine Hilfe zu schätzen. Aber der link erklärt nicht die bildung von den gesuchten vektoren a und b für die gleichung:

(y,x)^T=(e^t)*{C1[a*cos(  t) - b*sin(  t)]+C2[b*cos(  t) + a*sin(  t)]}

Bei den vektoren a und b handelt es sich nicht um die Eigenvektoren !

 :_lambda: 1=1+3i   --> v1=(1,  2+i)^T
 :_lambda: 2=1 -3i   --> v2=(1,  2 -i)^T

die gesuchten vektoren:
 a=(1,  2)^T
 b=(0, -1)^T

Weiß jemand wie man da drauf kommt ? (Aufgabe 26.1b aus Ü2)

Vielen Dank.

[DIGIT]

Bei den vektoren a und b handelt es sich nicht um die Eigenvektoren !

Okay, das ist in der Hektik untergegangen, dachte, dass das klar ist.
Es gilt:
Lambda = alpha + i beta und
v_i = a_i + i b_i, also ist a_i = Re (v_i) der Realteil und b_i = Im(v_i) der Imaginärteil des Eigenvektors.

[MBroyal]

Tut mir leid, ich check den zusammenhang immer noch nicht. Es kann ja eigentlich nicht knifflig sein, aber ich seh es einfach nicht.

[DIGIT]

Es gilt:
Lambda = alpha + i beta und
v_i = a_i + i b_i, also ist a_i = Re (v_i) der Realteil und b_i = Im(v_i) der Imaginärteil des Eigenvektors.

Machs am Beispiel
( 1 -1
1 1), da ist das schön zu sehen.
[optional: mit u(0) = 1 und v(0) = 1 als Anfangsbedinungen), setz in die Formel ein, hast ja schon die richtige - und rechne die Probe wieder mit Einsetzen.
(Mal sehen, ob ich irgendwo die Musterösung parat habe )
Grüße
DIGIT
 :limes_0:

1=1+3i --> v1=(1, 2+i)^T
 2=1 -3i --> v2=(1, 2 -i)^T

die gesuchten vektoren:
a=(1, 2)^T
b=(0, -1)^T

a ist genau der Realteil von v1, weil Re(v1) = (1,2)
b ist genau der Imaginärteil von v1, weil Im(v1) = (0,1) oder (0,-1); das Vorzeichen spielt hier keine Rolle, (sollte aber nach Gewohnheit positiv genommen werden) weil es sich mit dem c_i wieder ausgleicht.
Okay ?
Einsetzen, Probe rechnen !!

Ergänzung und Tipp: :sorcerer:
Bei komplexen Systemen  der Dimension 2x2 bist Du in der Regel schneller und sicherer unterwegs, wenn du das System in eine DGL 2. Ordnung auseinanderziehst und "normal" rechnest.
Bei 3x3 auch noch gute Chancen, dann nicht mehr.

[MBroyal]

Ich danke dir Digit, aber eins bleibt noch offen: ich hab das jetzt 2 mal probiert, also beide Möglichkeiten für b=(0,1) oder b=(0,-1). Und es ist irgendwie nicht egal welches Vorzeichen man nimmt, man kommt in 26.1b nur mit dem "positvien" b=(0,1) auf die richtige Lösung.

a=(1,2)^T und b=(0,1)^T:
y=e^t [(2C1+C2)cos(3t) + (-C1+2C2)sin(3t)]     :sorcerer: {laut Lsg. richtig}

a=(1,2)^T und b=(0,-1)^T:
y=e^t [(2C1-C2)cos(3t) + (C1-2C2)sin(3t)]   :whistle:

[MisterAHA]

hi leutz,
suchen noch paar leute,die auch in der slub für mathe am fr. pauken.
...zusammen sind wir stark

gruss andreas

[pxlcore]

So, ich hab meine Mitschriften doch noch gefunden und gescannt.  

Ich hoffe mal, dass das was ich habe stimmt. Ist eben nur Aufgabe 1 bis 3.

pxlcore

[Jabba]

Originally posted by MisterAHA@28.2.2006 - 19:23
hi leutz,
suchen noch paar leute,die auch in der slub für mathe am fr. pauken.
...zusammen sind wir stark

gruss andreas

Servus!


Wann wollt ihr euch denn treffen und wo?

[MisterAHA]

wir sitzen immer auf der gallerie (vorn) beim eingang der slub ab 900 ...dort gibts auch nur einen tisch,wo so viel mathe drauf liegt, ...also kaum zu verfehlen

mfg andreas

[DIGIT]

Originally posted by MBroyal@28.2.2006 - 18:54
Ich danke dir Digit, aber eins bleibt noch offen: ich hab das jetzt 2 mal probiert, also beide Möglichkeiten für b=(0,1) oder b=(0,-1). Und es ist irgendwie nicht egal welches Vorzeichen man nimmt, man kommt in 26.1b nur mit dem "positvien" b=(0,1) auf die richtige Lösung.

a=(1,2)^T und b=(0,1)^T:
y=e^t [(2C1+C2)cos(3t) + (-C1+2C2)sin(3t)]    :sorcerer: {laut Lsg. richtig}

a=(1,2)^T und b=(0,-1)^T:
y=e^t [(2C1-C2)cos(3t) + (C1-2C2)sin(3t)]  :whistle:

@MBRoyal: Geht hier nicht um Recht haberei, recht Haberei oder Recht haber Ei
Die erste Lösung ist nicht zu verschmähen, weil sie so im Lösungshefterl drinnen steht.
Die zweite Lösung ist auch nicht zu verschmähen, weil sie zwar nicht im Lösungshefterl steht, aber die Diffgleichung löst :flower:  - und das ist ja der Sinn unseres hektischen treibens.

Merke :flower: , dass die Eigenvektoren nicht eindeutig berechnet, sondern geeignet gewählt werden, und da ist immer Spielraum und die Ergebnisse der allgemeinen homogenen Lösung können durchaus unterschiedlich sein.
Erst nach dem Einarbeiten der Anfangsbedinungen kommt ein eindeutiges Ergebnis heraus.
Theoretisch, Praktisch.
Grüße
DIGIT
 :limes_0:

[MBroyal]

Hi,

mir ging es doch nie um ein RechthaberEI, sondern nur um die Klärung des Problems, denn langsam müßte ich de Mathe1-Prüfung mal bestehn  :cry:  . Entschuldige, falls ich den Eindruck erweckt habe dich ärgern zu wollen. Und ich danke dir nochmal das du dir die Zeit nimmst solche Fragen zu beantworten.

[DIGIT]

mir ging es doch nie um ein RechthaberEI

Nein, :sorcerer:  genauso mir auch nicht, ganz im Gegenteil, deshalb die einleitenden defensiv gemeinten Worte.

Bemerkung noch schnell:
Beim System
( 1 -1
1 1)
sieht man schön, dass die allgemeine homogene Lösung nicht eindeutig ist, weil Du kannst z.B (1, -i) als EV wählen oder (i, 1).

[MBroyal]

gibt es eigentlich auch eine Lösungsform wie [ (y,x)^T=(e^t)*{C1[a*cos( :_beta:t) - b*sin(:_beta: t)]+C2[b*cos(:_beta: t) + a*sin( :_beta:t)]} ] für systeme mit mehreren Gleichungen also ganz allgemein für (x.1,x.2,x.3,...,x.n) bei komplexen Problemen ?

[DIGIT]

Theoretisch ja, praktisch aber nicht.

Lineare DGL höherer Ordnung:
Du hast hier
-einfache Nullstellen -F1
-mehrfache Nullstellen -F2
-konjugiert komplexe Nullstellen, ggf. diese auch mehrfach. F3
Im Endeffekt musst du für jede Nullstelle bzw. Nullstellenart die entsprechende Formel nehmen und superponieren.

Also Beispiel. DGL 6 Ordnung mit zwei einfachen Nullstellen, einer zweifachen und einer konj. Komplexen, dann u_h = c_1 * F1 {also Formel 1 für einfache Nullstelle} + c_2 * F_2 {wieder Formel 1} + {Formel 2 für die mehrfache Nullstelle mit c_3 und c_4} +  {Formel 3 für die komplexe Nullstelle mit c_5 *  und c_6}
Hoffe, ich hab mich mit den c_i's nicht verhaut, aber Du weißt schon, was ich meine.
Im Endeffekt bekommt liefert jede Nullstelle den entsprechendne Beitrag laut Formel gemäß der Art der Nullstelle.

Lineare Systeme
- genau gleiches System bzw. Philosophie;
bei 3x3 hat halt ein EV drei Dimensionen.
Ist aber wurscht. Ausgerechnet, Eingesetzt und fertig.

Bemerkung:
Auch bei einem 4x4 System hast Du für einen konjugiert komplexen EW auch nur einen konjugiert komplexen EV - und nicht vier.
Den Rest, also die anderen EVs tragen dann die anderen Eigenwerte bei, welcher Art auch immer.
Und für jeden EW superponierst du die entsprechende Formel.

Grüße
DIGIT
 :limes_0:

[MBroyal]

ähm ... auf welche Formeln beziehst du dich mit F1, F2, F3  :ph34r: ?