Lösungen zur Klausurensammlung

[Johannes@VT]

also ich habe für x beliebig raus da ich auf die formel [latex]$(e^x)(2cosy)=0 $[/latex] komme
also ist [latex]$y=Pi+2kPi $[/latex] und x ist somit beliebig da e^x nie null wird

ach latex ist doof der hat die formel einfach gelöscht hier ist sie nochmal:   (e^x)(2cosy)=0

[aviator-sbh]

also ich habe für x beliebig raus da ich auf die formel [latex]$(e^x)(2cosy)=0 $[/latex] komme
also ist [latex]$y=Pi+2kPi $[/latex] und x ist somit beliebig da e^x nie null wird

ach latex ist doof der hat die formel einfach gelöscht hier ist sie nochmal:   (e^x)(2cosy)=0

Kannst Du mir mal herleiten, wie Du auf diese Formel kommst?

PS:  Mit dem 2k*Pi beim y hast Du auf jeden Fall recht. Das hatte ich vergessen.

[Johannes@VT]

also du hast [latex]  $ e^z+e^-z=0 $ das wandelst du um zu $ (e^x)*(cosy+isiny)+e^-x(cos(-y)+isin(-y))$ da $e^x $ und $e^-x$ nie null wird also nur irgendeine reelle zahl ist kannst du es auch aus der gelichung rausziehen  somit muss der rest also $ (cosy+isiny)=0  (cos(-y)+isin(-y)=0$ erfüllt werden das setzt du gleich bleibt nur noch $isiny=0$ und das gilt für alle y=pi+2kpi [/latex]

[DiscoStu]

Hallo, kann mir vielleicht jemand mal bei der Aufgabe 5.b helfen aus der Klausur Grossmann 2004? Ich komm da auf keinen grünen Zweig. Danke.

[Chefwilli]

Aufgrund der Nachfrage, jetzt noch die Lösungen (mit angedeutetem Lösungsweg) von 2007:

1)
a)
Matrix aufstellen - 2Gleichung mit 2 Unbekannten
z1=2-2i
z2=1-4i
b)
tan phi=1/1
-> 45°
Ansatz: e^(x+iy)= e^x+e^iy
e^x=e^x*(cos(45°)*sin(45°))
x=ln |SQRT (2)|
y=pi/4+2kpi
z= ln |SQRT (2)| + i(pi/4+2kpi)

2)
a)
(10 3)
(3 10)
b)
EW: 7,13
EV: (1,-1)T (1,1)T
c)
Erklärung
t=1/5(7,-1,5,0)T
s=1/5(-2,-6,0,1)T
d)
Erklärung
AtA*w=At*lam*v
AtA*w=lam*(At*v)
AtA*w=lam*w=mü*w
-> lam*w=mü*w

3)
a)
Ableiten nach x,y,z
->3 Gleichungen mit 4 Unbekannten
nach x,y,z umstellen
x=c/(1-c)
y=c^2/(1-c)
z=1/(6-2c)
Dann die Hessematrix aufstellen
mit mit Bildung der 3 Hauptunterabschnittsdeterminanten (definit):
Minima: 1
Max: keine Vorhanden!
b)
war ich zu Faul: Weg ist aber
LagranceFunktion aufstellen:
L= 3x^2+(y-3)^2-z+2xy+lam(x+y+z-5)
Funktion ableiten nach x,y,z,lam
Ableitungen gleich null setzten x,y,z,lam bestimmen
FERTIG

4)
a)
R1(x)=|(f''(E)/2!)*x^2|
- x auswählen, welches am weitesten entfernt von x0 liegt
- E so wählen, dass Bruch möglichst groß zwischen x & x0 liegt
21/36*(1/(1-E)^11/4)< 21/36=c
E ist mit 0 gewählt, damit die Größte mögliche Zahl heraus kommt

b)
Mann leitet 2-3 mal die Funktion ab:
Man sieht dabei folgendes:
f'=3/4(x-1)^3/4
f''=3/4*(3/4+1)*(x-1)^(3/4-1)
f'''=3/4*(3/4+1)*(3/4+2)*(x-1)^(3/4-2)=(3/4*7/4*11/4)/(x-1)^(11/4)
> man sieht das damit die k-Ableitung stimmt

c) ich kann leider kein Summenzeichen hier deswegen ein S
S fk(0)/k! * (x-x0)^k ->
lim  fk(0)/k! * (k-1)!/fk-1(0)
kürzen
lim (k+1)/(3/4+k-1) wenn k gegen unendlich läuft  = 1
Konvergenzradius: (-1,1)

5)
a) einsetzten und lösen (war hier auch zu faul)
bestimmen der Eigenvektoren und in den Ansatz einsetzten
b)
-Matrix zu Bestimmung von Eigenwerten aufstellen
-Determinante bilden
- lamta berechnen, dabei kommt s unter eine Wurzel
- s so wählen, dass die Würzel negativ wird und eine komplexe Zahl als Eigenwert raus kommen würde
FERTIG

6) habe ich noch nicht
hab einen Ansatz, aber so ganz komm ich da nicht weiter/durch :pinch:

Wer Fragen zu den Lösungswegen hat einfach hier stellen oder pn an mich
Korrekturen sind auch erlaubt und erwünscht!

PS: hab nun alle Lösungen von 2008- wer also einen Lösungsweg braucht- einfach Anfragen

Kannst du mir mal den Lösungsweg zu 1b erläutern. Ich werd da nicht schlau draus.

Danke

[Johannes@VT]

zu deinem Problem du willst wissen wann Kosinus und Sinus den selben Wert haben dies ist an der Stelle pi/4  und y hat dort den Wert wurzel2/2  umd aber auf 1 zu kommen musst du wurzel2/2 mit e^x so multiplizieren das man so auf 1 kommt denn x=1 und Y=1 (1+1*i)  also muss e^x=wurzel2 sein denn wurzel2²/2=1  also muss x=lnwurzel2 sein (umformung also ist die Lösung

Z=lnwurzel2+i(pi/4+kpi)


EDIT:  Wenn du das auch nicht vertstehst beschreibe mir einfach per PN genau dein Problem und ich werde dir das dann erklären bin mind. 16:45 wieder am rechner

[lorbeer]

Hallo, kann mir vielleicht jemand mal bei der Aufgabe 5.b helfen aus der Klausur Grossmann 2004? Ich komm da auf keinen grünen Zweig. Danke.

Vergleich mit Grundform der exakten DGL ergibt:
[latex]
P = e^{x+y} \\
Q= e^{x+y}-sin(y)
[/latex]

P nach x integrieren ergibt

[latex]
F(x,y) = e^{x+y} + c(y)
[/latex]

Das wiederum nach y ableiten ergibt:

[latex]
F_y = e^{x+y} + c'(y)
[/latex]

Vergleich von [latex] F_y [/latex] mit Q ergibt: c'(y) = -sin(y). Integrieren=> c(y) = cos(y). Damit ist die Grundform der Lösung

[latex]
 F(x,y) = e^{x+y} +cos(y) = K
 [/latex]

K ist eine Konstante, die für die Anfangsbedingung bestimmt werden muss. In vielen Lösungen steht C statt K, aber ich war anfangs wegen Verwechselung von c(y) und C verwirrt, deswegen schreibe ich lieber "K".
Mit den Anfangsbedingunge:
F(0,0) = e^0 + cos(0) = 2
Damit ist die implizite Form der Lösung mit AB:
[latex]
  F(x,y) = e^{x+y} + cos(y) = 2
  [/latex]
Da die explizite Form gefragt ist, wird noch nach y umgeformt: |-cos(y) |ln |-y

x = ln(2-cos(y))-y

[aviator-sbh]

also du hast [latex]  $ e^z+e^-z=0 $ das wandelst du um zu $ (e^x)*(cosy+isiny+cos(-y)+isin(-y))$ das kannst du umwandeln zu $ (e^x)*(2cosy) $ denn der Kosinus ist eine Gerade funktion und der sinus eine ungerade also hast du kosinus + kosinus und sinus- sinus, also hast du dann $ e^x*(cosy) $ [/latex]

Wenn ich das recht verstehe beziehst Du dich auf die Formel

z = x + iy = (e^x)*(cos y + i*sin y)?

Das geht hier m. E. aber nicht, weil Du nicht z nackt, sondern e^z (bzw. e^(-z) ) stehen hast.
Das wäre dann e^((e^x)*(cos y + i*sin y)) bzw. e^-(...).

Außerdem hättest Du in deiner Formel, die von mir vermutete Umwandlungsmethode vorausgesetzt, einmal das e^x und einmal e^(-x) als Vorfaktoren. Du kannst also nicht alles ausklammern und die Summe mit den cos und sin zusammenfassen.

[Johannes@VT]

Wenn ich das recht verstehe beziehst Du dich auf die Formel

z = x + iy = (e^x)*(cos y + i*sin y)?

Das geht hier m. E. aber nicht, weil Du nicht z nackt, sondern e^z (bzw. e^(-z) ) stehen hast.
Das wäre dann e^((e^x)*(cos y + i*sin y)) bzw. e^-(...).

Außerdem hättest Du in deiner Formel, die von mir vermutete Umwandlungsmethode vorausgesetzt, einmal das e^x und einmal e^(-x) als Vorfaktoren. Du kannst also nicht alles ausklammern und die Summe mit den cos und sin zusammenfassen.

falsch  ich wandle die formel e^z um und zwar in e^x+iy (Bei multiplikation addieren sich die Basen also kannst du das umwandeln)

in (e^x)*e^iy... das kannst du (e^iy) in die trigonometrische form umwandeln (r=1), phi=y  dasselbe kannst du mit e^-z machen allerdings merke ich gerade das ich einen Fehler gemacht habe da belibt dann nämlich e^-x   aber da weder e^x noch e^-x null wird kannst du das aus der gleichung rausnehmen da somit cos(y)+isin(y)=0 sein muss und cos(-y)+isin(-y) null sein muss also ist somit umgewandelt  cos(y)+isin(y)=cos(y)-isin(y)  für diesen Fehler muss ich mcih ebntschuldigen auf die Formel kommst du halt durch die oben beschriebenen Punkte (e^x oder -x wird nie null)

das setzt du gleich und bekommst somit 2isiny=0  also erhälst du im gegensatz zu meiner aussage y=pi+kpi

Ps ich editiere das nochmal oben



Edit oben geändert

[Rollo-derWikinger]

Hallo, kann mir vielleicht jemand mal bei der Aufgabe 5.b helfen aus der Klausur Grossmann 2004? Ich komm da auf keinen grünen Zweig. Danke.

@discostu:

ich erklärs mal nach dem schema hier

die gleichung befindet sich schon in der sichtigen form:

[latex]$A=e^{x+y}\\
B=e^{x+y}-sin(y)$\\
die probe, ob die gleichung exakt ist kannst du dir sparen, steht ja in der aufgabenstellung, dass sies is.\\ \\
1. Schritt: Die allegemeine Lösung lautet $U(x,y)= \int A(x,y) +c(y) = C\\
U(x,y)=e^{x+y} +c(y)$\\ \\
2. Schritt: Bestimmtung von c(y)\\
setze die ableitung von U(x,y) nach y mit B(x,y) gleich\\
$U_y=e^{x+y} + c'(y) =B(x,y) e^{x+y}-sin(y)\\
c'(y)=-sin(y)\\
c(y)=- \int sin(y)=cos(y)$\\ \\
3. Schritt allgemeine Lösung:\\
$U(x,y)= \int A(x,y) +cos(y) = e^{x+y}+cos{y} =C$\\ \\
4. Schritt: spezielle lösung mit (x,y)=(0,0)\\
$U(0,0)=1+1=C \Rightarrow C=2\\
$U(x,y)= e^{x+y}+cos{y} =2$\\ \\
5.Schritt: explizite darstellung\\
Umformen nach $x(y)=-y+ln(2-cos(y))$[/latex]

ich würd mir das schema aufn zettel schreiben, is sehr hilfreich

[adeptus mechanicus]

ich würd mir das schema aufn zettel schreiben, is sehr hilfreich

du kannst aber auch stattdessden auf die seite 155 im merziger schauen. die letzte gleichung auf der seite ist eg schon die lösung zur aufgabe: F(x,y) = integral...bla
 
die integrale sind schnell gebildet: e^t+y bleibt was es is und aus dem - sin t wird cos t... da die integrale aus summen bestehen is es schnell erledigt. man muss eben nur zu 100% auf den merziger vertrauen: ich dchte erst das ein druckfehler im buch is, da p(t,y) und q(x(0),t) verwendet wird... das einmal mit der allgemeinen varieblen und einmal mit dem anfangswert gerechnet wird macht schon irgendwie stutzig
aber stimmt wie es da steht
 
probier's mal mit der gleichung, in 3-4 zeilen hast du dann die lösung (aso, da steht ja, dass die gleichung auf eine implizite lösung führt, aber eine explizite from is gesucht: einfach noch nach x umstellen und feddich isses )

[aviator-sbh]

falsch  ich wandle die formel e^z um und zwar in e^x+iy (Bei multiplikation addieren sich die Basen also kannst du das umwandeln)

in (e^x)*e^iy... das kannst du (e^iy) in die trigonometrische form umwandeln (r=1), phi=y  dasselbe kannst du mit e^-z machen allerdings merke ich gerade das ich einen Fehler gemacht habe da belibt dann nämlich e^-x   aber da weder e^x noch e^-x null wird kannst du das aus der gleichung rausnehmen da somit cos(y)+isin(y)=0 sein muss und cos(-y)+isin(-y) null sein muss also ist somit umgewandelt  cos(y)+isin(y)=cos(y)-isin(y)  für diesen Fehler muss ich mcih ebntschuldigen auf die Formel kommst du halt durch die oben beschriebenen Punkte (e^x oder -x wird nie null)

das setzt du gleich und bekommst somit 2isiny=0  also erhälst du im gegensatz zu meiner aussage y=pi+kpi

Ps ich editiere das nochmal oben



Edit oben geändert

Nach der von dir beschriebenen Umwandlung hast Du also stehen:
[latex]$
e^x(cos(y) + isin(y)) + e^{-x}(cos(-y) + isin(-y)) = 0 $ \\
$e^x$ und $e^{-x}$ sind nie gleich null und auch einander ungleich.
Daraus kannst Du aber nicht schließen, dass \\$(cos(y) + isin(y))$ und $(cos(-y) +isin(-y)) $ jeweils = 0 sind. Dies wäre theoretisch eine Lösung, wenn man aber y bestimmen will, stellt man fest, dass dies nicht möglich ist. Wenn man beides gleich setzt, kommt Pi raus. Der cos(Pi) ist aber $-1 \not= 0$, womit die Bedingung jeweils = 0 nicht erfüllbar ist. \\ Du weißt nur, dass \\
$e^x(cos(y) + isin(y)) = -e^{-x}(cos(-y) + isin(-y))$ ist. \\
[/latex]
Machst Du mit deinem Ergebnis die Probe:
[latex]
$e^{i\pi} + e^{-i\pi} = 0$\\
$-1 + -1 \not = 0$
[/latex]

Ich glaube, mit deinem Weg kommst du einfach in eine Sackgasse bei der von mir im Latex ganz oben zitierten Gleichung.
Trotzdem danke für deine Bemühung. Wahrscheinlich hab ich damals mit dem z = i einfach was falsch verstanden oder abgeschrieben.

[Steven]

1.b)
[latex]$e^z=e^{x+iy}=e^x(cos(y)+isin(y))=1+i\\
I:e^xcos(y)-1=0\\
II:e^xsin(y)-1=0\\
y=arctan(1)= \frac{\pi}{4}\\
x=ln(\sqrt{2})\\
z=ln(\sqrt{2})+\frac{i\pi}{4}$\\[/latex]

könntest du nach II. bitte nochmal detailliert drauf eingehen?

[Rollo-derWikinger]

sicher:
du teils die gleichung in realteil und imaginärteil auf
[latex]e^x(cos(y)+isin(y))=1+i\\
(e^xcos(y)-1)+i(e^xsin(y)-1)=0$\\
rechte seite: Realteil=0; Imaginärteil=0
sowohl die reale klammer als auch die imaginäre klammer müssen 0 ergeben, damit die gleichung erfüllt ist (das ist die allgemeine vorgehensweise)\\
es ergeben sich zwei gleichungen mit zwei unbekannten...\\ \\

$I:e^xcos(y)-1=0\\

II:e^xsin(y)-1=0$\\
\\
normalerweise würde man jetzt eine formel nach einer variablen umstellen und ineinander einsetzen. hab ich mir hier aber geschenkt und sie einfach gleich gesetzt:\\ \\
$e^xcos(y)-1=e^xsin(y)-1$\\
$cos(y)=sin(y) $   $|:cos(y)\\
1=tan(y)$\\



y=arctan(1)= \frac{ \pi }{4} $\\

y in beliebige formel einsetzen $(cos(\frac{ \pi }{4})=sin(\frac{ \pi }{4})= \frac{ \sqrt{2}}{2})

x=ln(\sqrt{2})\\

z=ln(\sqrt{2})+\frac{i\pi}{4}$\\ \\

man sollte hinzufügen, dass dies nur eine lösung ist. es gibt unendlich viele mit $y=\frac{ \pi }{4}+2k \pi$, weil sin und cos 2pi-symmetrisch sind[/latex]

[Steven]

ja soweit leuchtets ja auch ein, aber beim lösen des gleichungssystems steh ich vollkommen auf dem schlauch. (du hast dich gerade verschrieben, sollte sin(y) sein.)

edith sagt: ok, habs ^^