Ü2 - 3.18 h

[MrGerritson]

Hallo,
kann mir jemand diese Aufgabe erklären?   Man löse die Gleichung:  lzl=z*(z-quer)
Danke

und wenn du grad dabei bist noch die j) hinterher

[dermks]

merziger seite 169:
da steht was z-betrag bedeutet und auch was z-quer bedeutet.
ersatz deine z' durch real- und imaginärteil und dann gehts easy zu rechnen...
genauso die j) halt nur mit ner binomischen formel.


geht scharf.

[ElArminio]

zur h:

Schreibe z um in z = x + iy und rechne die rechte Seite aus. (dritte binomische Formel)
Dann steht dort wurzel(x^2 + y^2) = x^2 + y^2 oder |z| = |z|^2
aus der linken Gleichung siehst du, dass es nur geht wenn x und y null sind also z=0.
Das siehst du auch in der rechten Gleichung weil du |z| einmal ausklammern kannst, also muss das hier null sein.
Dann steht in der rechten Gleichung noch |z| = 1 und die Sache ist gegessen.

zur j:
Ersetze dein z wieder mit x und y und trenne dann in Re und Im, also mit Faktor i und ohne.
im Realteil darf dann kein y mehr sein und im Imaginärteil kein x, also kannst du diese Null setzen. (Wenn jemand eine mathematisch tollere Erklärung hat, soll er sie nennen )
Wenn du das machst, dann kommst du auf die beiden lösungen.
Ich hoffe das hilft dir halbwegs weiter.

[MrGerritson]

also die h hab ich verstanden danke!
aber bei der j)... ich habe doch dann noch viel zu viele xi's, yi's, x²'s, y's ..usw  für ne pq Formel?

[Körperklaus]

Bei der Aufgabe 3.18 j) ist es quatsch für z, "x+iy" einzusetzen, da die gleichung ja schon in quadratischer Form vorliegt kannste doch mit dem Term weiterrechnen.

z²-z+iz-i=0 lässt sich günstiger schreiben als 0=z²+(i-1)z-1, denn so kannste p und q für die Lösungsformel besser ablesen.

Lösungsformel:
z eins/zwei  = (1-i)/2 +/- wurzel( (1-i)²/4 +i)

= (1-i)/2 +/- Wurzel( (i²-2i+1)/4 +i)

i² ist ja bekanntlich -1 womit sich das ganze in der Wurzel verieinfacht.

=(1-i)/4 +- Wurzel( 1/2*i)

So jetz kommt das eigtl. Problem der Aufgabe, denn mit dem Term unter der Wurzel kannste so nich viel anfangen, deswegen musste dir überlegen, wie du jetz weiterkommst.
Deswegen lohnt es sich die Zahl unter der Wurzel zu Substituieren und zwar am besten als quadratische Variable, damit du dann gleich die Wurzel ziehen kannst.

Also:  1/2*i =A²

Jetze schreibste die Zahl A² um in die eulersche Form um, um dann die Wurzel ziehen zu können.

A²= 1/2*e ^ i*(Pi/2 +2k*PI)

-> A = (1/2*e ^ i*(Pi/2 +2k*Pi) ^ 1/2 = Wurzel(1/2)*e ^ i*(Pi/4 + k*Pi)   (für k=0,1)

So jetze haste Im Prinzip die Lösung für den Wurzel Term, allerdings musste wieder in die arithmetische Form kommen, um besser rechnen zu können.

A= Wurzel (1/2)*(cos 45° + i*sin45°) = 1/2 + 1/2 *i
 
Für k = 1 würde man cos und sin zu je 225° erhalten, was geleich -sin45°oder -cos45° entspricht.
Das heißt es würde sich insgesamt nur das Vorzeichen der kompletten Zahl A ändern.
Da  die Zahl A in Bezug auf die Zahl z allerding sowohl einmal addiert als auch einmal subtrahiert wird ist das Vorzeichen von A egal, man muss also nur einen Fall betrachten.

so ergibt sich für z:

z eins/zwei= 1/2 - 1/2 *i +/- (1/2 + 1/2 *i)

--> z1= 1      und      z2= -i


Hoffe is verständlich. Hab es extra ausführlich erklärt. Wenn es dennoch Fragen gibt, dann frag!