Aufgabe 4.21 Festigkeitslehre

[ronmen]

hey..komm mit der aufgabe nicht richtig klar..und die lsg. reichen zum verstehen überhaupt nicht aus..
lagerreaktionen und schnittreaktionen (moment um schnittstelle)--> 3 bereiche geht klar..
statisch unbestimmtes system (warum einfach)?
für alle 3 bereiche habe ich 3 koordinatensysteme festgelegt und 2x3mal integriert (EIv" --> EIv' --> EIv)
wie komme ich nun auf die Unbekannten Lagerkräfte und wie definiere ich die rand bzw übergangsbed. ...in der lösung haben sie nur 7 jedoch gelten die randbedingungen für den ersten bereich (D) doch auch für den bereich B..da müssten also noch 3 bedingungen fehlen (?)..
jedenfalls komm ich nicht weiter und bin gefrustet :mad: ..
hoffe mir kann mal jemand weiterhelfen.
liebe grüße der ronmen :wacko:

[ronmen]

super..ranbedingungen sind formuliert, so wie die verforumgs dgls für die 3 bereiche..
wie komme ich nun auf die 4 unbekannten kräfte, um die Mb verläufe zu berechnen?
grüße der ronmen und dank dir:happy: (II scho im vorraus)
ps: goile signatur

[Wills]

da hast du dein v3 wohl anders rum definiert als in der lösung

aber müsste man nicht sogar 3 bedingungen aufstellen können, die die biegesteife ecke beschreiben? ich meine zwischen je 2 teilbalken müsste doch ein rechter winkel auftreten und oben der große balken hat ja mittig auch die gleiche durchbiegung. wenn das der fall ist, hätten wir sogar 8 bedingungen und dann würde ich vom prof ne belohnung bekommen, also denk ich mal ich hab n denkfehler :blink:

außerdem wie ist das bei der 4.20? da steht als bedingung v1'(a)=v2'(0)
aber wie hab ich mir das vorzustellen? der balken wird doch prinzipiell einfach nach oben gebogen, oder? (also das M0 ist doch eigentlich das gleiche, wie eine kraft die von unten angreift)
dann müsste es doch lauten v1'(a)=-v2'(0)

und noch ne frage: wenn man die gleichung für die elastische linie aufstellt, muss sie doch bei allen teilbereichen bei der 4.20 und 4.21 EIv''=-Mb lauten (wenn man die bereichskoordinatensysteme so nimmt, wie in der lösung und Mb nach konvention definiert), richtig?

[Nick]

super..ranbedingungen sind formuliert, so wie die verforumgs dgls für die 3 bereiche..
wie komme ich nun auf die 4 unbekannten kräfte, um die Mb verläufe zu berechnen?
grüße der ronmen und dank dir:happy: (II scho im vorraus)
ps: goile signatur

Tip: Schneide das Gesamtsystem frei und stell die 3 Gleichgewichtsbedingungen auf, welche dir in der Ebene zur Verfuegung stehen. Erkannt hast du schon, dass es insgesamt 4 Unbekannte Kraftgroeßen sind. Ergo: EINFACH statisch unbestimmt. Waehle nun eine Kraft aus und mache sie zu deiner "statisch Unbestimmten". Von nun an behandelst du diese Kraft so, als wuerdest du sie kennen. Damit kannst du die verbleibenden 3 Auflagerkraefte in Abhaenigkeit von dieser statisch Unbestimmen ausrechnen (ist halt noch ein Parameter drin).
Jetzt besorgst du dir die Schnittmomente. Dort sind natuerlich die Auflagergroeßen mit drin und mit den ersten drei Formeln eingesetzt reduziert sich auch jedes Biegemoment in jedem Bereich auf eine Formel, in der Geometrieangaben, aeußere Lasten UND deine statisch Unbestimmte als Parameter vorkommen.

Nun noch die Randbedingungen aufstellen (richtig hier: 2 Konstanten pro Bereich) und noch eine zusaetzliche fuer die statisch Unbestimmte. Fertig is. Einsetzen, umstellen, ausklammern und vereinfachen vorausgesetzt.

So ich denke, das sollte helfen.

[Nick]

da hast du dein v3 wohl anders rum definiert als in der lösung

aber müsste man nicht sogar 3 bedingungen aufstellen können, die die biegesteife ecke beschreiben? ich meine zwischen je 2 teilbalken müsste doch ein rechter winkel auftreten und oben der große balken hat ja mittig auch die gleiche durchbiegung. wenn das der fall ist, hätten wir sogar 8 bedingungen und dann würde ich vom prof ne belohnung bekommen, also denk ich mal ich hab n denkfehler :blink:

Ja hast du !

Also: Gehen wir die RBs doch mal durch.

Wir fangen beim Lager D an. Wir betreiben TM mit der Theorie 1. Ordnung, was zum einen kleine Verschiebungsgradienten und zum anderen die Gleichgewichtsbetrachtung am unausgelenkten System verlangt. Die Biegelinie kann nur Verformungen senkrecht zur Laufkoordinate erfassen; nichts anderes. Also kann man hier auch nur eine vertikal orientierte Verschiebung erwarten und die ist im Lager D natuerlich NULL. Zur Verdrehung des Querschnittes kann ich hier nichts aussagen, da sich das Ende bei D frei verdrehen kann.

Gehen wir nun zum Lager C. Hier weiß ich weder die Verschiebung (die ist ja auch auszurechnen :wacko:) noch die Verdrehung des Querschnittes. Ist also nichts zu holen und wir gehen weiter zum Lager B.

Hier in B ist unsere Laufkoordinate vertikal orientiert, was mir somit nur eine horizontale Verschiebung freigibt. Diese muss im Lager B wieder NULL sein und die Aussage zum verdrehten Querschnitt ist wieder unmoeglich (mit derselben Erklaerung wie in Lager D).

Zwischenstand: Wir haben bisher an den Lagern insgesamt 2 Bedingungen. Fehlen also noch ganze 5.

Also zur Grenze! Hier gehen wir systematisch vor.
1) Wir naehern uns von Lager D: Verschiebung ist vertikal orientiert! An der Bereichsgrenze muss sie identisch mit der Verschiebung aus dem Bereich aus Lager C kommend sein. [SIZE=18]Soweit also schon einmal kein Fehler fuer die Vermutung Wills![/SIZE]Auch die Verdrehung des Querschnittes muss gleich sein (hier aber bitte auf die Orientierungen der beteiligten Koordinatensysteme achten; wegen der Vorzeichen :excl: ).  Hier also 2 weitere Gleichungen.

2) Wir naehern uns von unten und schauen zum Bereich von Lager D: Erstmal faellt auf, dass Verschiebungen hier nicht vergleichbar sind, da die beiden senkrecht aufeinander stehen. Allerdings erwaehnte ich bereits die Theorie erster Ordnung und nach dieser sind die Verschiebungen sehr sehr klein. Somit kann es auch keine Verschiebung in horizontaler Richtung an dieser Bereichsgrenze geben. Sie muss ebenfalls NULL sein.
Bleibt also noch, dass wir die Verdrehungen anschauen. Richtig ist hier die biegesteife Ecke. Also muessen die Winkel (erste Ableitung der Verschiebung) gleich sein. Hier ist wieder auf die Orientierung der Koordinatensysteme zu achten.
So bekommen wir aus diesem Bereich also 2 weitere Gleichungen.

3) Wir bleiben in dem Bereich und schauen aber zum Bereich von C kommend. Die Verschiebung ist bereits beruecksichtigt, bleibt nur noch die Winkelgleichheit. Bringt also eine Gleichung. Allerdings muss ich hier aufpassen. In "1)" habe ich eine Winkelbeziehung zwischen Bereich D und Bereich C aufgestellt, in "2)" eine fuer Bereich B und Bereich D. Eine weitere Bedingung zwischen Bereich B und Bereich C ist doch aber auch schon in den ersten beiden Gleichungen enthalten und bringt demnach keine weitere Information. Also ist diese Gleichung nicht linear unabhaengig von den restlichen, bereits vorhandenen Gleichungen. Sie kann ich NICHT zu meinen RBs hinzuzaehlen.

Zaehlen wir aber nun zusammen bleiben uns nur 6 Gleichungen. Was haben wir also vergessen???
Aufgestellt wurde die Gleichung der Verschiebungen fuer Bereich D und Bereich C. Aber wir wissen an dieser Stelle mehr als das, naemlich dass (wieder Begruendung mit Theorie 1. Ordnung) in horizontaler Richtung keine Verschiebung am Verzweigungspunkt auftreten kann. Also ist diese Verschiebung hier NULL. Es bleibt jedem selbst ueberlassen, wo er diese definiert. Entweder er sagt v aus D ist hier Null oder aber v aus C ist Null. Nur beides geht wieder nicht, weil es die andere Verschiebungsgleichung aus "1)" ja schon gibt.

ERGO: Es gibt in der Tat nur 7 voneinander linear unabhaengige Gleichungen. Und wir haben ja auch nur 7 Unbekannte (6 Integrationskonstanten und eine statisch Unbestimmte).
Nun noch alles einsetzen, ausklammern, vereinfachen und schon hat man die Loesung.

außerdem wie ist das bei der 4.20? da steht als bedingung v1'(a)=v2'(0)
aber wie hab ich mir das vorzustellen? der balken wird doch prinzipiell einfach nach oben gebogen, oder? (also das M0 ist doch eigentlich das gleiche, wie eine kraft die von unten angreift)
dann müsste es doch lauten v1'(a)=-v2'(0)

und noch ne frage: wenn man die gleichung für die elastische linie aufstellt, muss sie doch bei allen teilbereichen bei der 4.20 und 4.21 EIv''=-Mb lauten (wenn man die bereichskoordinatensysteme so nimmt, wie in der lösung und Mb nach konvention definiert), richtig?

2. Sache: RICHTIG

1. Sache: FALSCH
Ein Moment ist NIEMALS wie eine Kraft. Das sind grundsaetzlich verschiedene Dinge. An dem Punkt wird ein Moment eingebracht und dies bewirkt eine Verdrehung also eine Biegung im gesamten Bauteil. In den zwei Bereichen tritt also entsprechend eine Verforumung in vertiakler Richtung auf. An den RBs fuer die Verdrehung aendert sich ueberhaupt nichts. Auch wenn dort kein Moment sondern eine Kraft eingeleitet werden sollte. Die Vorzeichen richten sich stets nur nach den beteiligten Koordinatensystemen:excl:

[Nick]

Merksatz:
Wenn die beteiligten Koordinatensysteme bei Formulierung einer RB fuer die Verdrehung der Querschnittsnormalen durch Drehen ineinander ueberfuehrbar sind, dann sind die Verdrehwinkel identisch.
Muss man aber eine Spiegelung der KS durchfuehren, um Deckungsgleichheit herzustellen, dann ist auf einer Seite ein zusaetzliches Minuszeichen zu spendieren.