die inverse einer Matrix mittels einer LU Zerlegung

[sergeant]

hallo,
wie berechnet man die inverse einer Matrix mittels einer  LU Zerlegung?
Die Zerlegung in LU bekomme ich hin und dann? Danek für die Hilfe im Voraus!
Das Verfahren ist dazu da, um "X" auszurechnen (A*X=b), oder?
Wo könnte ich über das Thema nachlesen?

[aviator-sbh]

Die LU-Zerlegung ist eigentlich dazu gedacht, ein LGS eben OHNE Inverse zu lösen. Mittels LU-Zerl. erhältst Du zwei gestaffelte LGS, die Du nur mittels Rückwärtseinsetzen lösen musst.

AX = B
LUX = B
Zuerst definierst Du UX = Y und löst LY = B. Dann löst Du mit dem bekannten Y die Gleichung UX = Y nach X.
Anstelle der Matrix B kann natürlich auch ein Vektor b stehen.

[koXx]

Man kann es machen, weil durch die LU-Zerlegung eine untere und eine obere Dreiecksmatrix entstehen. Diese sind für sich selbst einfacher zu invertieren!

A = L*U => A^(-1) = (L*U)^(-1) = U^(-1)*L^(-1)

Die Inverse von L folgt meiner Erinnerung nach direkt aus der LU-Zerlegung selbst! Dadurch musst du "nur" noch die Inverse von U bestimmen und dann das Matrixprodukt ausrechnen!
Für numerische Rechnungen hat das aber eigentlich keine Bedeutung, weil Inverse Matrizen immer unschön zu bestimmen sind! Der direkte weg über ein LGS ist da sinnvoller...