Aufgabe 22.10

[Uschoene]

Hallo!

Ich komm leider bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Gesucht ist das geometr. Flächenträgheitsmoment roh=1 bzgl. der X-Achse des Flächenstückes
-R<= d1 <=z <= d2 <=R
mit x^2+y^2+z^2=R^2

Nutze Kugelkoordinaten!

Mein Ansatz:

J=int int (R^2 roh dw) mit R^2=x^2 + y^2

sowie als Kugelkoordinaten
x= R *sin(v) *cos(phi)
y= R *sin(v) sin(phi)
z= R cos(v)

0<=phi<=2pi
0<=v<=pi

Ich würde auf 2pi/3 *R^4  kommen.
Die Lösung im Buch kommt auf (2pi/3)R(d1^3+d2^3)+2pi(R^3(d2-d1)
Sieht ja alles ganz ähnlich aus, aber keine Ahnung was ich mit dem Bereich -R<= d1 <=z <= d2 <=R machen soll.

Jemand eine Idee? Bin für alles bankbar, es kostet als Fernstudi so unendlich viel Zeit ohne halbwegs eine Musterlösung zu haben.

lg Uwe

PS: Oder kann ich das ganze in 2 Bereiche zerlegen?
z>0: 0<=v<=arccos(d1/R)
z<0: 0<=v<=arccos(d2/R)
Mh...

[Johanson]

Bist du sicher, dass es sich um ein Flächenträgheitsmoment und nicht um ein Massenträgheitsmoment handelt?
Das sieht nämlich verdächtig danach aus.

EDIT: Oha, es war wirklich ein Flächenträgheitsmoment gemeint. Allerdings um die z-Achse, um die x-Achse wäre es wohl 'ne Nummer spannender.

-R<= d1 <=z <= d2 <=R besagt, dass du über eine Kugelscheibe integrieren sollst, die durch [latex]d_1[/latex] und [latex]d_2[/latex] begrenzt wird.

[Psirus]

Also als Spannvektoren habe ich:
[latex]

\[
\qquad
\vec{x}_\varphi=\left(\begin{array}{c}  -R ~ sin\varphi ~ cos\theta \\ R ~cos\varphi ~sin\theta \\ 0 \end{array}\right)
\vec{x}_\theta=\left(\begin{array}{c} R~cos\varphi ~ cos\theta \\ R~
 sin\varphi ~ cos\theta \\ -R~sin\theta \end{array}\right) \qquad

\]
[/latex]
Die Grenzen von [latex] \theta [/latex] hattest du ja im Grunde schon richtig:
[latex] arccos \left( \frac{d_2}{R} \right) \leq \theta \leq arccos(\frac{d_1}{R})[/latex]
Damit komme ich dann auf das Ergebnis ausm Buch.