Seilkraft und Verschiebung mittels Castigliano

[Saimat]

Die Längskraft im Seil ist natürlich konstant und gleich der Seilkraft. Somit ist sie nicht vom Weg abhängig. Damit wird das Integral trivial zu Länge*Integrand.

Bsp: [latex]\int_{0}^{4}(C)dx=4C[/latex]

[Daniel Bock]

du musst ja nach z1 integrieren, also ist z1 sozusagen deine var. nach der du integrierst
M_b1= FS*sin alpha*z1-(z1^2)*o,5*q
dW/dFS = 1/EI *INT (0;3a) {(dM_b1/dFS) *M_b1}dz1 + 5*FS*a/EA = 0
=> dW/dFS = 1/EI *INT (0;3a) {(d(FS*sin alpha*z1-(z1^2)*o,5*q)/dFS) *M_b1}dz1 + 5*FS*a/EA= 0
=>dW/dFS = 1/EI*INT (0;3a) {(sin alpha*z1) *M_b1}dz1 + 0,5*FS*a/EA = 0
=> dW/dFS = 1/EI*INT (0;3a) {(sin alpha*z1) *(FS*sin alpha*z1-(z1^2)*o,5*q)}dz1 + 5*FS*a/EA= 0
=>dW/dFS = 1/EI*INT (0;3a) {(FS*sin^2 alpha*z1^2) - (z1^3*o,5*q*sin alpha)}dz1 + 5*FS*a/EA = 0
außerdem sin alpha= 4/5

=>1/EI*Grenzen(0;3a)[(1/3*FS*(4/5)^2*z1^3) - (1/4*z1^4*0,5*q*4/5)] +5*FS*a/EA = 0
Grenzen eingesetzt:
1/EI*[(1/3*FS*(4/5)^2*(3a)^3) - (1/4*(3a)^4*0,5*q*4/5)] +5*FS*a/EA = 0
=> 1/EI*144/25*FS*a^3 - 1/EI*324/40* a^4*q + 5*FS*a/EA=0
=>FS*(1/EI*144/25*a^3 +5*a/EA) = 1/EI*324/40 *a^4*q
=> FS= 81/10*a^4*q/EI / (144/25*a^3/EI + 5*a/EA)
dann noch umgestellt, muss man ein bisschen basteln, ist mir jetzt aber zu blöd, und du hast das ergebnis von der lösung

[Loewenzahn]

Hey, super Antwort !
Ja, also Brett Nr.1 ist entfernt worden (statt 23 steht nat. 25 unter der wurzel).

Wenn ich mir jetzt aber das besagte zweite Integral bestimmen will, dann hakt es iwie:
Formel (dankertdankert.de):
W=0,5* INT(o;Stablänge)(F_n^2/EA)dz, wobei die INT-Grenzen o;5a wären und F_n = FS
Da ich beim ersten Versuch munter über die Kraft integriert habe (zweites brett vor'm Kopf), fällt mir nun auf, dass ich nicht mehr weißt, wie ich den Ausdruck über den WEG integriere. Ich müsste die Kraft ja als Produkt aus "Wegstrecke*?" schreiben und dann nur diese-Wegvar. integrieren...
Ich weiß nicht genau, wie Google mein Problem verdeutlichen soll...denn Arbeit ist Kraft mal Weg, das weiß ich, aber das bringt mich ja bei meinem eigentlichen Problem des "Fremdintegrierens" nicht weiter...Ich finde einfach keine Antwort auf mein Problem

Wenn mir das nochmal jmd verlinken könnte oder sich vllt selbst die Mühe gibt...Ich wäre echt unendlich dankbar....:innocent:

[Saimat]

Dadurch, dass das System einfach statisch unbestimmt ist, bietet es sich schon an, dort den Satz von Castigliano zu benutzen.

Hier noch einmal grob die Vorgehensweise bei Castigliano:

- Lagerreaktionen bestimmen, in diesem Fall eine Last als statisch unbestimmt festlegen (Seilkraft bietet sich an)
- linearelastische Verzerrungsenergie für alle Bestandteile des Systems aufstellen und nach gewählter statisch unbestimmer Last ableiten (Formel in der Formelsammlung)
--> es gibt einen Stab und einen (Biege-)Balken
--> 2 Teile
--> 2 Integrale (Summe)
- Bedingung für Verschiebung infolge gewählter Last ausnutzen
--> FS=Lagerreaktion
--> keine Verschiebung infolge FS
--> 0 setzen

Ich denke schon, dass du die Vorgehensweise verstanden hast, wundere mich aber darüber, wie dein zweites Integral aussieht. So wie die Aufgabe aussieht, soll beim Balken nur der Biegeeinfluss und beim Seil der Längskrafteinfluss berücksichtigt werden.

Das Seil hat die Länge 5a, die Längskraft im Seil ist gleich FS. Das zweite Integral ergibt bei mir [latex]5*a*FS/EA[/latex] und nicht [latex]0,5*FS/EA[/latex].
Das hätte dir auch schon an der Dimension auffallen können, denn die Verschiebung hat die Einheit Länge, bei dir hat der zweite Teil garkeine Einheit.

[Loewenzahn]

Hallo,
ich habe irgendwie ein grundlegendes Verständnisproblem, wie ich aus einem System, in dem ein Seil/Stab enthalten ist, die Seilkraft zu bestimmen.
 
Ich wollte die Aufgabe mit Castigliano (energiemethode) lösen. Auflagerreaktionen und das Biegemoment habe ich soweit bestimmt, alles in Abhgkt. von FS (Seilkraft)....Nun dachte ich, Summe aus "Arbeit aus Biegemoment abgeleitet nach FS" + "Arbeit der Seilkraft abgeleitet nach FS" = Null setzen und so FS erhalten.
Leider bin ich da iwie grad voll raus (ist schon länger her, das wir das hatten)..kann mir vllt jemand den Gedankengang erklären bzw. wie geht man ran, wenn mein Weg falsch ist? Wichtig wäre mir nur, dass ich das mit dem Satz von Castigliano rechnen wollen würde...
 
Hier meine bisherigen Ergebnisse:
geg.: q,a,EI=konst, EA=konst
ges.: FS (Seilkraft), vertikale Verschiebg. in Punkt C
F_Bx= FS*cos alpha
F_By= 3aq*FS*sin alpha
M_B=FS*sin alpha*3a-4,5*a^2*q
M_b1= FS*sin alpha*z1-(z1^2)*o,5*q
Ansatz, der nach FS aufgelöst werden sollte:
Arbeitsanteil nach FS abgeleitet, der durch Biegung * Arbeitsanteil durch Seilkraft, abgeleitet nach FS = 0
dW/dFS = INT (0;3a) {(dM_b1/dFS) *M_b1} + 0,5*FS*1/EA = 0
mein Ergebnis
FS = (27a^3*q*sin alpha*1/2EA) * ( 1/ (9*a^2*(sin alpha)^2*(1/EI) + Wurzel(23)*(1/EA))
 
Richtiges Ergebnis in der Grafik.
Wäre super, wenn jmd mein Brett vorm Kopf entfernen könnte ;-):nudelholz:

[Loewenzahn]

Okay, dankeschön ;-) Hatte jetzt viele andere (universitäre) Dinge dazwischen zu tun...

Und wenn ich jetzt die Verschiebung am Punkt C (also die Vertikale Verschiebung) errechnen wollen würde, würde ich nicht nach der Seilkraft, sondern nach ihrer senkrechten Komponente ableiten? Denn eine Hilfskraft, nach der ich ableiten kann, brauch ich ja nicht, da eben schon die Komponente eine am interessierenden Ort einwirkende Kraft darstellt, richtig?!
Ich frage nur, weil ich auch dort nicht auf die Richtige Lsg komme und ich wissen will, ob ich das richtig gemacht HÄTTE...

Die Lösung für die Verschiebung wäre:

Verschiebung u = 81*q*(a^4)*(1/EI)*{125/8*(1/(((144a^2)*A/I)+125)}

Ich geh noch am Stock hier...tut mir leid, aber solche Terme sind für so Schusselkinder wie mich einfach der Tod :-(

Vielen Dank, wenn jmd ein kurzes Statement hinterlassen könnte, ob meine theoretische Lsg. stimmt...
Beste Grüße!

[Saimat]

Nein, du musst dort eine zusätzliche Kraft ansetzen.

[Loewenzahn]

Also, ich hoffe, ich nerve niemanden...:-( Aber wieso muss ich für die Verschiebung eine extra Hilfskraft einführen? Ist es einfach so, dass man nicht nach nur einzelnen Komponenten ableiten/integrieren darf? Mein Gedanke war: Wenn ich an der Stelle jetzt nur nach der vertikalen Komp. ableite, dann "fehlt" ja sozus. der horiz. Anteil der Seilkraft und dann ist die Verschieung auch von Null verschieden....

Nochmal zum Verständnis: Ich führe Hilfskräfte immer an dem bestimmten Ort ein, wenn dort keine(!) äußere Kraft einwirkt, wenn ich denn eine Verschiebung bestimmen will.

Wenn ich keine Verschiebung bestimmen will, sondern z.b eine Kraft in einem an dieser Stelle verbundenen Seil/Stab, dann führe ich deshalb keine Hilfskr. ein, weil ich ja an dieser Stelle schon eine Kraft habe, nach der ich ableiten kann...
Woher weiß ich, ob ich jetzt nach dieser Kraft ableite oder ob ich eine Hilfskraft einführen muss?
Ich finde es verwirrend, weil ich bisher immer Hilfskräfte eingeführt habe und mir gerade nicht vorstellen kann, in welchen Fällen man an solchen Stellen nach z.b. Lagerkräften ableiten muss...
Denn in dem ebigen Beispiel hat es ja nicht gereicht, dass "(hauptsache irgend-)eine Kraft" an der Stelle vorhanden war....sondern ich musste eine einführen...

[Saimat]

Es hängt einfach an der Frage, ob eine äußere Kraft an dieser Stelle vorhanden ist oder nicht. Und in diesem Fall ist dem nicht so. Dort ist lediglich ein Seil angeknüpft.
Wenn du nun dort schneidest und die Seilkraft als äußere Kraft annimmst (ob nun in Komponenten oder nicht), änderst Du das System, denn das Seil inklusive Lagerung existiert dann nichtmehr.