Author Topic: Ü3 - Aufgabe 5.4.6. (Read 3162 times)

pingpong-biker · « **on:** July 11, 2009, 07:24:26 pm »

Hi,
vorab möchte ich feststellen, dass ich mich bei der Matheaufgabenwahl vertan habe.

Eigentlich war nur die Aufgabe 5.4.6. a Bestandteil der Übungsaufgaben.
Aber üben schadet ja nicht, vorallem in Hinblick auf Mathe 1!!

Bin jetzt bei der b(c habe ich schon gelöst:happy:) und komme da nicht weiter.

Aufgabe: Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen.
geg. folgende 2*2matrix
------------------------------------
[ 2+i ] [ wurzel(5) +2i ]
[ -wurzel(5)+2i ] [ 2 + i ]
------------------------------------

Eigenwerte( "minus" lambda(L) in der hauptdiagonalen):

(2+i-L)*(2+i-L) - (wurzel(5) + 2i)*(-wurzel(5)+2i)=0
(L²-4L-2L*i+4i+3) - (4i²-5) = 0
L² - 4L - 2L*i + 4i + 12 = 0

Was mache ich nun? Ich komme an der Stelle nicht weiter...
L1=2+4i
L2=2-2i (vorgegebene Lösung)
Aber auch mit den Eigenwerten komme ich nicht auf die Eigenvektoren.
Ich scheitere einfach an den langen Gleichungen...

Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!
Gruß

Johanson · « **Reply #1 on:** July 12, 2009, 05:36:50 pm »

Klammere L aus und verwende dann die Lösungsformel für quadratische Funktionen. Dann ist p = -4-2i und q = 4i+12. Du bekommst dann unter der Wurzel eine -9, was 3i entspricht. So kommst du erstmal auf die korrekten Eigenwerte.

LG Johanson

Johanson · « **Reply #2 on:** July 12, 2009, 06:04:04 pm »

Nun zu den Eigenvektoren. Wenn a und b jetzt mal die Koordinaten des Eigenvektors sind, dann kommst du nach Einsetzen von L=2+4i bestimmt hierauf:

a(-3i) + b(wurzel5 + 2i) = 0
(erste Zeile)

Schreibe um:
b(wurzel5 + 2i) = a(3i)

Diese Gleichung ist, wie man sehen kann, für a = wurzel5 + 2i und für b = 3i erfüllt.
(So eine Art "Koeffizientenvergleich", einfach auf der anderen Seite schauen!). Du kannst es probeweise in die zweite Zeile einsetzen, es stimmt. Also hast du den ersten Eigenvektor gefunden.

Wenn du ihn nun noch mit -1 und mit i multiplizierst, sieht er auch so aus wie in der Lösung. (Multiplikation mit beliebigen Zahlen ist bei Eigenvektoren gestattet, da die Länge dieser Vekoren hier keine Rolle spielt. Die Richtung ist entscheidend.)

Ähnlich verhält es sich mit dem zweiten Eigenvektor.

Viel Spaß beim Probieren, lass dich nicht unterkriegen.

LG Johanson

pingpong-biker · « **Reply #3 on:** July 14, 2009, 10:02:24 am »

hey ho. dankeschön für deine hilfe.

hast du gut erklärt und habe es jetzt auch noch mal alleine hinbekommen.

dann mal viel glück bei mathe 1!:)

Johanson · « **Reply #4 on:** July 14, 2009, 11:30:11 pm »

Kein Ding, wie du schon sagst, es schadet nicht

Dir auch viel Erfolg!

LG Johanson