Funktionen mehrerer Veränderlicher

[Luke]

Hallo Ihr,

Herr Hinze hat bei Funktionen mehrerer Veränderlicher oft als Beispiel die Funktion

f(x) = xt * A * x   (t meint transponiert; man sieht leicht dass es sich um ein Skalarfeld handelt)

angegeben.
Allerdings kommt er auf

grad f(x) = 2 A x

Df(x) = 2 xt A

was er einfach so hinschreibt, ich aber in keinster Weise nachvollziehen kann. Bärwolff bietet hierzu auch keinen Rat. (bin jetzt das fünfte Kapitel durch, wird nirgends verwendet)

Kann mir das mal jemand von Euch erklären?
DANKE!!!  :unsure:

Luke

[n-w]

Ich rate mal:

X transponirt ist gleich x - mal x = x². Ax² ableiten -> 2Ax.

[Luke]

Es ist auf jedenfall eine quadratische Form, aber wie das dann geht...

Das hier ist vielleicht ganz nützlich: http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node60.html

[Bassi]

Wie kann denn xt*A*x ein Skalarfeld sein,
während dann plötzlich die Ableitung
ein Vektor is?

Ich raff diese schreibweise nicht!

[Bedankomat]

1 Mitglied sagte bereits Danke!

Bassi

[Bassi]

das mit dem Danke wollt ich net!

aber so wie ich das sehe ist xt*A*x = A*x^2

sprich x^2 ist definiert als xt*x oder??

damit verstehe ich aber immer noch nicht, weshalb am ende ein Vektor für
die Ableitung raus kommt!

[DIGIT]

Wiederkehrende Widrigkeiten:
Der erste Schritt zum Verständnis ist eine saubere Sprache.
Es gibt kein Skalarfeld, ein Vektorfeld gibt es schon.

Wiederkehrende Widrigkeiten treten ebenfalls auf, wenn man Gradient und Ableitung, - wird ja schon irgendwie das selbe sein - in einen Topf wirft.

Wir bilden die Ableitung auf einer Kugeloberfläche.
Bitte sehr, in welche Richtung darfs denn sein?
So rum oder so rum ?

Wir bilden den Gradienten einer skalaren Funktion mit mehreren Variablen.

Es geht hier um skalare Funktionen mit mehreren Variablen, also generell Abbildungen von Rn->R, ein sog. Funktional.

Der Gradient einer Funktion bzw. der Nabla-Operator ist per Definition ein Vektor bzw. ein Vektorfeld.
So ist das definiert:
grad(f) = (df/dx1, df/dx2, df/dx3,…), also ein Vektor mit n Koordinaten, weil ja die Funktion auch n Variablen hat.
Also so geht das:
Klammer auf, Ableitung erste Variable, Komma, Ableitung zweite Variable, Komma, etc und wenn Du fertigt bist mit allen Variablen, dann (wichtig) Klammer zu.
Ist in einem räumlichen Kraftsystem (mit seinen Projektionen in die Hauptebenen) auch nicht anders.

z.B. f(x):R3->R:  x1 + x2 + x3, das kann man zur Not noch zeichnen bzw. nach Hinzi (beste Grüße :flower: ) allgem. quadrat. Funktional f(x) = xT* A * x
Wenn Du das manuell ausmultiplizierst und den Gradienten bildest, dann kommst Du auf grad f(x) = 2 A x. Nicht wundern, das sieht man erst mit ein bisserl Übung.

Wie kann denn xt*A*x ein Skalarfeld sein,während dann plötzlich die Ableitung ein Vektor ist?

Technische Erklärung siehe oben, aber:
Dass die potientielle Energie ein Skalar ist (ein sog. Potential) ist eine der wesentlichsten, wichtigsten Aussagen und Grundlagen der Mechanik, Dynamik, Schwinungslehre, E-Technik, Strömung, Wärme, etc.,
Ein Potential, also zum Beispiel die potentielle Energie, ist ein Skalar. Eine "Äquipotentiallinie" bzw. Ä-flächen zeigen an, dass an diesen Orten die gleiche potentielle Energie herrscht.
Gravitation ist ein Skalar, die Ableitung, der Gradient ist ein Vektorfeld, eben das Kraftfeld der Gravitation.
Magenetismus mit seinen Magnetlinien(Potential) und seinemKraftfeld (als Ableitung des Potentials) analog.
Oder denke an den Castigliano.
Und ausserdem: Warum muss eine gew. Diffgl. exakt sein, damit ich sie lösen kann und was steckt hier dahinter ? Wann ist ein Kraftfeld konservativ? Wann gilt der Energieerhaltungssatz? Dann und nur dann, wenn mein Kraftfeld (Vektorfeld) die Ableitung eines skalaren Potentials U ist (und nebenher noch Uxy = Uyz gilt)

Bärwolff bietet hierzu auch keinen Rat. (bin jetzt das fünfte Kapitel durch, wird nirgends verwendet

Warum seht ihr immer und immer wieder in Pfurzbüchern :whistle:  nach und wundert Euch dann, wenn der flehentlich gesuchte Pfurz nicht drinnen steht?
Diese Wiederkehrende Widrigkeiten verstehe ich wirklich nicht, jeder Handwerker hält (zumindest temporär) etwas auf ein ordentliches Werkzeug.
Heuser Analysis I bzw. II, hier das Kapitel Funktionen mehrere Veränderlicher.

Grüße
DIGIT
 :limes_0:

[Thomesch]

Was hast du eigentlich vorher studiert DIGIT?

Erzähl mir nich Maschinenbau ist dein Erststudium oder ,dass du das aus der schule hast!

Ich tipp ma auf Physik(vieleicht Theoretische) oder Mathe

trotzdem Danke für deine Erklärung! :flower:

[hubidoo]

Originally posted by Thomesch@25.7. 2005 - 20:35
Ich tipp ma auf Physik(vieleicht Theoretische) oder Mathe
 

....falsch

[Luke]

Originally posted by DIGIT@25.7. 2005 - 17:38
allgem. quadrat. Funktional f(x) = xT* A * x
Wenn Du das manuell ausmultiplizierst und den Gradienten bildest, dann kommst Du auf grad f(x) = 2 A x. Nicht wundern, das sieht man erst mit ein bisserl Übung.

Ich sehe das einfach nicht :-(. Müssen wir das in der Klausur können? Dieses quadratische Funktional kam auch nie in den Übungen dran. Ich bin jetzt mit dem ganzen Fachgebiet durch und das ist das einzige wo ich noch passen muss...

Grüße,
Luke