Author Topic: Problem bei Ü2.1.9 (Read 4120 times)

Pik As · « **on:** October 20, 2008, 02:14:41 am »

Hallo,

da ja bis jetzt noch keine Lerngruppen existieren, versuche ich es mal hier. Ich bin gerade dabei, die erste Konsultation zu 'verarbeiten'. Zu diesem Zweck habe ich mir die vorgeschlagenen Übungsaufgaben zu 'Matrizen, Determinanten, LGS' vorgenommen. Jedoch bin ich auf ein Problem gestossen. In Ü2.1.9 soll aus folgender Matrix

[latex]
\[
\mathbf{A} = \left(
\begin{array}{cc}
\cos \varphi & -\sin \varphi \\
\sin \varphi & \cos \varphi \\
\end{array} \right)
\]
[/latex]

[latex]
$\mathbf{A}^n \mbox{ für }n \geq 0 \mbox{ und } n \in \mathbf{N}$
[/latex] berechnet werden.

Die Lösung soll lauten:

[latex]
\[
\mathbf{A}^n = \left(
\begin{array}{cc}
\cos n \varphi & -\sin n \varphi \\
\sin n \varphi & \cos n \varphi \\
\end{array} \right)
\]
[/latex]

Ich habe das für [latex]n=2[/latex] durchgerechnet, und habe das richtige Ergebnis raus, aber wie kann ich nun aus dem speziellen Fall [latex]n=2[/latex] auf den allgemeinen Fall für [latex]\mathbf{A}^n[/latex] schließen?

Für sachdienliche Hinweise wäre ich dankbar.

Gruß ... Lars

€dit: Ich habe nun, mit dem Wissen, dass A die allgemeine zweidimensionale Drehmatrix ist (was auch immer das heissen mag), eine logische Herleitung gefunden:

Eine Drehung um [latex]$\varphi$[/latex], [latex]n$[/latex]-mal ausgeführt, also [latex]$\mathbf{A}^n$[/latex] ist das gleiche, wie einmal um [latex]$n\varphi$[/latex] gedreht. Also: [latex]\left[\mathbf{A}(\varphi)\right]^n = \mathbf{A}(n \varphi)[/latex]. So weit, so gut... aber wie kann ich das formal herleiten?

tippo · « **Reply #1 on:** October 24, 2008, 07:40:32 pm »

Hallo,

Ich kann dir zwar momentan nicht bei deinem Problem helfen, habe aber eine Frage bzgl. der Übungen:
Gibts irgendwo Lösungen dazu?
Oder möchte irgendwer mal die Ergebnisse vergleichen?

mfG
Tippo
a
Edit: Hat sich erledigt. Habe die Lösungen gefunden.

Pik As · « **Reply #2 on:** October 25, 2008, 12:56:08 am »

Hallo,

schau mal in das Heft "Matrizen, Determinanten, Lineare Gleichungssysteme - Übungen". Übungsaufgaben gibts da ab Seite 26, Lösungen ab Seite 40 und Lösungswege ab Seite 50. Lösungen vergleichen ist keine schlechte Idee, da man so auch Lösungswege vergleichen kann, die so nicht im Heft behandelt sind. Oftmals gibt es mehrere Lösungswege.
Heute beispielsweise bin ich auf eine Aufgabe gestoßen, wo eine Dreiecksform nicht eindeutig war, die zugehörige Diagonalform aber schon. Ich musste also von der Diagonalform auf die Richtigkeit meiner Dreiecksform schliessen. Sehr verwirrend

Gruß ... Lars

tippo · « **Reply #3 on:** October 25, 2008, 07:40:00 am »

Hallo!

Auf das Problem bei einer Dreiecksform bin ich auch schon gestoßen, siehe http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/206845,0.html hierzu.

Das Ergebnis ist nicht vergleichbar, da man ja verschîedenste Rechenwege anwenden kann, mit jeweils anderem Ergebnis.

Aber die Rechenschritte kann man sicher hier im Forum vergleichen / überprüfen lassen.

Des weiteren wird im Übungsbuch bei den Lösungen mit Brüchen usw. gerechnet, wozu uns in der Konsultation gesagt wurde, dass wir das vermeiden sollten.

mfG
Tippo

Pik As · « **Reply #4 on:** October 25, 2008, 02:56:12 pm »

Genau das Problem hatte ich. Eine gute Methode, wie ich festgestellt habe, ist weiter zu rechnen, bis man die kanonische Diagonalform hat. Die ist nämlich eindeutig. Lässt sich deine Dreiecksform in die KDF, die in der Lösung steht, überführen, ist deine Lösung richtig. So kann man gut ermitteln, ob man richtig gerechnet hat, auch wenn man keine Möglichkeit hat, den Lösungsweg zu vergleichen.

Gruß ... Lars

tippo · « **Reply #5 on:** October 25, 2008, 08:37:54 pm »

Hallo!

Hast du dir den Lösungsweg im Übungsbuch dazu mal angesehen?

Da wird das mit Hilfe der vollständigen Induktion bewiesen.
( http://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion )

Du berechnest das Beispiel mal für A^k und kommst zur erkenntnis dass dein "k" als Faktor bei jedem Element drinnen steht (im Fall k=2 multiplizierst du also A mit A).

Dann berechnest du das ganze für A^(k+1) (1mal mit A multipliziert).

Durch die vollständige Induktion geht man davon aus dass das nun für alle k >=1 mit k Element aus N gilt.

Das ist allerdings nur meine Meinung und ich bestehe keineswegs darauf dass das richtig ist.
Ich denke nicht dass das ganze mit der Drehmatrix zusamenhängt.

mfG
Tippo

Pik As · « **Reply #6 on:** October 25, 2008, 09:54:46 pm »

Hallo,

ja, den Beweis mit der vollständigen Induktion hab ich gesehen. Das die Matrix die Drehmatrix ist, hab ich überprüft. Die Induktion ist halt der formale Weg, den ich gesucht habe

Gruß ... Lars

tippo · « **Reply #7 on:** October 26, 2008, 07:05:26 am »

Ok, dann lag ich ja wenigstens zur Hälfte richtig

mfG
Tippo

Pik As · « **Reply #8 on:** October 26, 2008, 11:59:23 pm »

Ja, vereinfacht gesagt, beweist man, dass die Annahme für eine Zahl k gilt. Dann beweist man, dass die Annahme auch für dessen Nachfolger gilt. Dieser Nachfolger ist im nächsten Induktionschritt dann k, aber man hat ja schon gezeigt, dass die Annahme auch für k+1 gilt usf...
Will heissen, wenn die Annahme für eine Zahl k gilt, gilt sie auch für den Nachfolger, und somit für alle n in N, weil ja jede natürliche Zahl genau einen Nachfolger hat der seinerseits einen Nachfolger hat ...

Hoffe, das war nicht zu kompliziert :blink:

Gruß ... Lars