[MA 05] Übung 1

[Chrissi]

Hallo!
Kann mir irgendjemand mit der 21.33 (Übungsheft 2) der 1. Übung weiterhelfen.
Beim Trägheitsmoment muss 2(r^3)*[(R^2)-((a-r)^2)]^(0.5)  nach r integriert werden. Geht das über die partielle Integration?
Bin für jeden Vorschlag dankbar.

[CrustyFin]

Könnte hier nicht mal jemand antworten, ich würde es auch gerne wissen.

[Philips]

Also:

Das statische Moment ist der einfache Abstand zur entsprechenden Ebene:
hier handelt es sich um die x,y-Ebene, also nehmen wir den z-Abstand: hier ist dieser also ein der z-Wert. Nun ist es relativ umständlich in kartesischen Koordinaten das ganze zu berechnen... also werden wir mit Kugelkoordinaten rechnen:

x:= r sin :_theta:  cos :_phi:
y:= r sin :_theta:  sin :_phi:
z:= r cos :_theta:

unser Abstand ist dann: r cos :_theta:

Die Funktionaldeterminate ist: r^2 sin :_theta:

und dann alles mit Grenzen ins Integral einsetzen.

Allerdings weiß ich auch nicht 100%ig , warum in der Lösung die Grenze für :_theta:  von 0 bis  :_pi:/2  läuft. Ich nehme an, dass aus Symetriegründen zwei mal das Integral über die Hälfte das gleiche Ergebnis liefert... nur wo is der Faktor 2 in der Lösung?`Und wenn ich das Integral so ausrechne, komme ich auch auf ein anderes Ergebnis: nämlich ohne den Faktor 1/4...
Hmm naja etwas strange.... Vielleicht kann das ja jemand ein paar warme Gedanken dazu machen.  

Na dann klingt noch gut das Wochenende aus...

[Philips]

ah jetzt is der Groschen gefallen....
 :-theta: läuft von -:_pi:/2 bis :_pi:/2 für die Voll-Kugel;
hier wird die Kugel von der x-y-Ebene abgetrennt, also haben wir eine Halb-Kugel und unsere Grenze ist damit 0 bis  :_pi:/2

Na dann bis morgen in gewohnter Frische  :on2long:

[CrustyFin]

Nuja aber über das integral hast du dir noch keine gedanken gemacht, oder? ich meine auf das was du geschrieben hast sind wir ja auch gekommen, nur das integral war so beschissen

[Philips]

Naja die Grenzen des Dreichfachintegrals ergeben sich aus der Anschauung (nette Skizze dazu machen)....
ich scan mal was ein...
da die Grenzen unabhängig sind, is es egal nach welcher Variable man zuerst integriert.
der Pfeil bei der linken Skizze soll andeuten, dass diese Fläche um die z-Achse rotiert wird (sorry is ein wenig undeutlich)
Möge es weiterhelfen
Mit den Kugelkoordinaten ist das Integral auch wesentlich einfacher: die Integrationsgrenzen sind unabhängig von einander, können beliebig verstauscht werden. Die beiden inneren sind dürften keine Probs bereiten. Die äußere Grenze muss richtig integriert werden.  :integral: sin*cos = 1/2 sin^2 Steht aber alles in der schwarzen Bibel drin, ebenso die Geschichte von den Kugelkoordinaten.