Problematik DGL

[Wills]

hi

hat jemand mal das bsp für ein dgl-system mit veränderlichen koeffizienten (also funktionen) aus der vorlesung nachgerechnet?
ich wüsst gern mal wie man sowas lösen kann (das bsp hatte dr. vanselow wärend der vertretung gerechnet, aber eben nicht das hom.problem)

y1'=-1/(x(1+x²))*y1+1/(x²(1+x²))*y2
y2'=-x²/(1+x²)*y1+(1+2x²)/(x(1+x²))*y2

mit diesen standardansatz e^(lambda*x) gehts anscheinend nicht, die lösung lässt zumindest nicht darauf schließen

und durch einfaches umformen (also in gleichung 2 nach y2 auflösen, dies dann ableiten und einsetzen) bekomm ich auch einen zu langen ausdruck, und selbst wenn ich für mein charakt.polynom eine lösung bekommen würde, müsste ja dann eine e-fkt in der homogenen lösung stehen...ich hab keine ahnung wie man sowas macht :wallbash:


danke schonmal

[starKI]

Wie der Dr. Vanselow schon sagte: eine Lösung für sowas lässt sich nur mit sehr viel Glück finden (also raten) oder aber das Ding hat eine ganz spezielle Form ... das geht aber über unseren Vorlesungsstoff hinaus. Was auch nicht unwahrscheinlich ist, ist dass die Aufgabe "rückwärts" konstruiert wurde.
Also ich glaube kaum, dass man so ein Gerät ohne weiteres gelöst kriegt. Zumal ja bei nicht konstanten Koeffizienten noch nichtmal die Existenz einer Lösung gesichert ist. Rein praktisch würde man wahrscheinlich an sowas numerisch rangehen (und mit sehr viel Glück erkennt man dann eine bekannte Funktion wieder). Was du vlt. mal spaßenshalber probieren kannst, ist ein Potenzreihenansatz. Aber da wünsch ich dir schon jetzt viel Spaß bei der Aufgabe.

[Wills]

ok dann schieb ich die aufgabe mal beiseite, ich hab mir nur dazugeschrieben "probe" und dachte halt wir sollen das mal rechnen, aber wenn das rational gar nicht lösbar ist, lass ichs gerne sein :innocent:

hätt aber gleich noch ne frage

also bei der 26.1c hat man ja mal n dgl-system mit 3 variablen, im prinzip ja sicher nix besonderes, aber meine eigenvektoren sind trotzdem anders als in der lösung und zudem weiß ich nicht, wie ich die singularität erkennen kann (die ja in der lösung berücksichtigt wurde)

also meine eigenwerte sind 1,2,2 und die eigenvektoren (0 1 0) und (0 -2 1)

[Wills]

hm danke mit dem hauptvektor das ist mir neu, hab grad mal bei wiki geschaut, da steht das auch so, jedoch müsste der doch bei dem beispiel (-1 2 1) sein
aber die richtige lösung gibt das ja immer noch nich :pinch:

[starKI]

Also als erstes mal darfste den Eigenvektor
[latex]C_2\begin{pmatrix} 0 \\ -2\\1 \end{pmatrix}e^{2t}[/latex]
nicht zweimal aufführen, da er linear abhängig vom dem Ergebnis des Hautpvektoransatzes ist:
[latex]\begin{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ -2\\1\end{pmatrix}t+\begin{pmatrix} -1 \\ 2\\-1 \end{pmatrix}\end{pmatrix}e^{2t}[/latex]
Diese lineare Abhängigkeit sollte sich zeigen lassen, indem man den ganzen Spaß mit [latex]{(A-\lambda E)}[/latex] multipliziert (ich habe das allerdings jetzt nicht ausprobiert ... aber theoretisch müsste es so sein). Auf jeden Fall geht es aber über die Wronski-Determinante nachzuweisen (das hab ich grad probiert).
Und dann muss noch etwas beachtet werden:
Es ist noch notwendig, die beiden Teile der Hauptvektorlösung jeweils mit einer eigenen Konstanten zu versehen (die beiden Teile an sich sind ja linear unabhängig voneinander und damit ist auch gewährleistet, dass beide unabhängige Lösungen der DGL sind -> du kannst die Konstanten aufgrund der Linearität der DGL einfach davor setzen).
Da sollte dann die richtige Lösung rauskommen (bei mir jedenfalls klappt es).