Navier-Stokes allg.

[Tinypete]

Hallo!
Ich steh gerade total aufm Schlauch. Ich versuch seit 2 Tagen die NSG zu verstehen.
Aber ich kapier die Schritte von Formel 8.4 bis 8.5 einfach nicht!
Wenn:
[latex]$ \frac {\delta u_k}{\delta x_k}$ = \bigtriangledown  u =  0[/latex] ; [latex]$ \frac {\delta \eta}{\delta x_j}$ = \bigtriangledown  \eta = 0[/latex]
dann fällt doch der gesamte letzte Term bei 8.4 weg...
Was hat das nun mit dieser "Vereinfachung" zu tun???
Außerdem kapier ich nicht, warum dann ausgerechnet [latex]$ \eta  \frac{\delta ^2 u_i}{\delta x_j^2}$[/latex] dabei rauskommt - wobei doch  gerade [latex] $ \delta x_j $ [/latex]   'Null' ist...
ich checks einfach net...

[Wills]

hi

also bei (8.1) siehst du ja, dass die ableitung der schubspannung ausgeführt wird, deshalb bezieht sich die ortsableitung [latex] $ \frac{\partial}{\partial x_j} $ [/latex] bei (8.4) nicht nur auf die viskosität. wenn du das mal term für term ausführst, kommst du auf (8.5)

alles klar? sonst einfach nochmal fragen

[Tinypete]

hmmm, irgendwie leider nicht  - was meinst du denn mit Term für Term?
  [FONT="]Da [latex] \nu = const. [/latex] ist, ist natürlich auch die Ableitung bzw. die Divergenz [latex] \bigtriangledown \nu = 0 [/latex]
Gut, verstanden, aber warum sich da diese Vereinfachung ergibt versteh ich immer noch nicht…

Ok, also ich versuch mal anhand Aufgabe 1 aus Serie 10 meine „Erkenntnisse“ los zu werden:

Strömung in x-Richtung:

lokale Bechleunigung = 0, da stationär;
konvektive Beschl.: [latex] (U \bigtriangledown) u = 0 [/latex], da sich das Geschw-profil an Ort  '2' ausgebildet hat;
Term 4 =0 , da y(h) von –h bis + h

(hätts gern mathematisch ausgedrückt, aber LATEX will nicht so wie ich will...)

Und im Spannungstensor ergibt sich: [latex] \nu \frac{\delta ^2 u }{\delta x^2} = 0 [/latex], da ausgebildete Strömung,
und: [latex] \nu \frac{\delta ^2 u }{\delta z^2} = 0 [/latex], da nur 2-dim. Problem

Strömung in y-Richtung:

Wie oben, jedoch zusätzlich

[latex] \nu \frac{\delta ^2 u }{\delta y^2} = 0 [/latex], da Strömung nur in x-Richtung

richtig???

           
 [/FONT]

[Tinypete]

Tja, irgendwie schein ich gar nix zu raffen:

Setzte ich bei Serie 10/1c. die Randbedingungen ein, bekomm ich für
[latex] U_{(y=0)}[/latex] :  C2 = 0
und bei
[latex] U_{(y=h)}:  C_1 = \frac{U}{h}-\frac{Kh}{2\eta}[/latex]

wer erbarmt sich meiner und erlöst mich bevor ich mich exe...

[Kuni]

Hi Pete,

Probier mal u(y= + - h) = U. Hat bei mir vorhin funktioniert.

[Wills]

hmmm, irgendwie leider nicht  - was meinst du denn mit Term für Term?
Da [latex] \nu = const. [/latex] ist, ist natürlich auch die Ableitung bzw. die Divergenz [latex] \bigtriangledown \nu = 0 [/latex]
Gut, verstanden, aber warum sich da diese Vereinfachung ergibt versteh ich immer noch nicht…

bin grad kurz angebunden, daher nur nochmal zu der urspr. frage

ich meine, dass sich das ableitungssymbol nicht nur auf nu bezieht, sondern auch auf die klammer dahinter. da nu konstant ist, kannst du das vor die ableitung ziehen. die ortsableitung bezieht sich dann ganz normal auf jeden term (3 summanden in der klammer). 2 terme fallen aufgrund der divergenzfreiheit weg (inkompressible strö.)

[Wills]

Hi

Wie kuni schon geschrieben hat, musst du die Haftbedingung an der oberen und unteren Wand berücksichtigen (die RB sind in der Aufgabe ja sogar gegeben). Du hast anscheinend U(y=0)=0 gesetzt, was aber an der Stelle 2 im Rohr nicht der Fall ist.

Zu deinen grundsätzlichen Überlegungen:
- stationäre Strö. => [latex]$ \frac{\partial}{\partial t}=0$[/latex]
- 2D Strö. => [latex]$ \frac{\partial}{\partial z}=0$[/latex]
- Volumenkräfte können vernachlässigt werden => [latex]$ f_i =0$[/latex]
- ausgebildete Strö. => [latex]$ \frac{\partial u}{\partial x}=0$[/latex]

aus der Konti-Gl. erhält man [latex]$ v=0$[/latex], weshalb sich die NSG in x-Richtung folgendermaßen vereinfachen lässt (1. Zeile nochmal ganz allgemein aufgeschrieben, also mit allen Termen):

[latex]$ \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} = -\frac{1}{\varrho}\frac{\partial p}{\partial x} + f_x + \nu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right)$[/latex]

[latex]$ 0 = -\frac{1}{\varrho}\frac{\partial p}{\partial x} + \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$[/latex]

[Tinypete]

Alles klar, so wie Du es beschrieben hast, versteh ich es!
Irgendie verwirrt mich die Formulierung im Skript total! Aber jetzt versuch ich auch gar nicht mehr es nachzuvollziehen...

Aber das mit den Konstanten krieg ich trotzdem nicht hin...

[latex] U'_{(y=+-h)}:  C_1 = -(\frac{K-h}{\eta}+\frac{Kh}{\eta})= 0[/latex]

[latex] U_{(y=+-h)}:  C_2 = U-(\frac{K(-h^2)}{2\eta}+\frac{Kh^2}{2\eta})=U-(\frac{Kh^2}{\eta}) [/latex]

was mach ich falsch?!

[Wills]

ich weiß nicht, wie du C1 und C2 definiert hast, aber bei mir sieht es so aus:

[latex] u(y)= - K y^2/(2 \eta) + C_1 y + C_2[/latex]

Haftbedingung:
[latex] u{(y=+-h)}=U:  C_1 = 0 \qquad C_2 = U+\frac{K}{2 \eta} h^2[/latex]

bei der 3. RB musst du den Volumenstrom gleichsetzen (siehe aufgabe b)


/edit is dieses latex-plugin verbuggt...

[Tinypete]

Nunja, ich habe:

[latex]u'' : \eta \frac {\delta^2u}{\delta y^2} = K [/latex]

[latex] u' : \delta u / \delta y = \frac {K}{\eta}y + C_1[/latex]

[latex] u(y) = (K y^2 /2\eta) + C_1 y + C_2 [/latex]

umstellen nach C_1 bzw. C_2 :

[latex] u'_{(y=+-h)}:  C_1 = -(\frac{K-h}{\eta}+\frac{Kh}{\eta})= 0[/latex]

[latex] u_{(y=+-h)}:  C_2 = U-(\frac{K(-h^2)}{2\eta}+\frac{Kh^2}{2\eta})=U-(\frac{Kh^2}{\eta}) [/latex]

...meine geringen Mathekenntnisse verlassen mich gerade irgendwie...

zu LATEX: kannst Du mir sagen warum das "\frac{}{}" nur bei mir funktioniert, wenn ich davor irgendein Zeichen schreibe...deswegen musste ich den Bruch auf die herkömliche Weise schreiben