Aufgabe 7.2.I.2

[André 8]

Hallo Zusammen!

Bei der Berechnung der Aufgabe 7.2.I.2 komme ich nicht auf das richtige Ergebnis.
Wenn jemand die Aufgabe schon gerechnet hat und aufs Ergebnis kommt,
wäre es echt super wenn ich meine Zwischenergebnisse mit den richtigen vergleichen könnte.

Anbei meine Vorgehensweise mit den Zwischenergbnissen:
Winkel = f
Ansatz:
x=r*cosf
y=r*sinf
r=(x^2+y^2)^1/2
Ableitungen:
r/dx=1/2*2x*(x^2+y^2)^-1/2=x/r
r/(dx)^2=1/r
r/dy=y/r
r/(dy)^2=1/r
f/dx=-(1-x^2/r^2)^-1/2
f/(dx)^2=-x/[r^2(1-x^2/r^2)^3/2]
für f/dy ergeben sich gleiche Terme nur mit der Variablen y

Kettenregel und Porduktregel für Uxx und Uyy angewandt:
Ux=Urr*rx+Urf*fx
Uxx=(Urf*fx+Urr*rx)*rx+Ur*rxx+(Uff*fx+Ufr*rx)*fx+Uf*fxx
Uyy=Uxx nur mit y als Variable
Nun habe ich alles ineinader und für die Variablen x und y
r*cosf und r*sinf eingesetzt.

Ausgangsgleichung:
deltaU=Uxx+Uyy=0

Da muss aber irgendwo ein Rechenfehler sein!
Kann mir da jemand weiterhelfen?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Gruß
André

[Psirus]

Also erstmal wäre zu sagen, dass das Latex-Plugin hier Wunder helfen würde, ich seh da nämlich nicht durch.
Naja, jedenfalls habe ich einfach folgendes gemacht:
[latex]
$ r = \sqrt{x^2+y^2} \\
\varphi = \arctan{\frac{y}{x}} $
[/latex]
und anschließend quasi mit Fischers Folie #20 oder selber herleiten:
[latex]
$ u_{xx} = u_{rr} r_x^2 + 2 u_{r \varphi} r_x \varphi_x + u_r r_{xx} + u_{\varphi \varphi} \varphi_x^2 + u_{\varphi} \varphi_{xx} $
[/latex]
Analog natürlich für y.
Dann nur noch einsetzen und bissl umformen.

[Maschinist]

Die 2. Ableitungen sind falsch, da das r auch von x und y abhängt, musst du das mit Kettenregel machen. r/dy^2 = 1/r - y^2/r^3 bzw. r/dx^2 = 1/r - x^2/r^.

Die Ableitungen des Winkels sehen auch bisschen komisch aus.

Ich hab die beiden Gleichungen x=r(x,y)*cosf(x,y)  y=r(x,y)*sinf(x,y) als Grundlage für die Ableitungen genommen. Wenn du sie dann einmal nach x bzw. nach y ableitest, hast du 2 Glg. mit 2 Unbekannten ( r/dy und f/dy bzw. r/dx und f/dx ). So ergibt sich dann ganz einfach die 1. Ableitung. Danach kannst du die 2. machen und in Uxx bzw. Uyy einsetzen.

[André 8]

Hallo Zusammen,

vielen Dank euch zwei.
Bei den partiellen Ableitungen habe ich fälschlicherweise r als konstant angenommen (Danke Maschinist für den Tip mit der Kettenregel).
Absoluter Denkfehler.

Super, dass ihr so schnell geholfen habt!
Die Aufgabe war aber auch aufwendig.

Gruß
André