[MA 06] Kurvenintegral

[n-w]

Kann mir jmd die Vorgehensweise zur Ermittlung des Kurvenintegrals erklären?

Danke

[DIGIT]

Hallo n-w :flower: , alter Kämpfer
Vorab-Info aus dem Kopf und auf die Schnelle.

Bisher warin wir ja immer gewohnt, nach dx zu integrieren.
Oder nach der Zeit dt oder irgendetwas "linearem".

Arbeit ist Kraft mal Weg, und spätestens hier begegnen wir dem "Weg-Integral", bzw. Linienintegral bzw. Kurvenintegral.
Da gibt es dann plötzlich kein vertrautes dx oder dt sondern ein ds, das Weg-inkrement und aus
W=  :integral: F ds ergibt sich W=F.(s2-s1).

Wenn der Weg s als (Parameter-)funktion von x gegeben ist, dann kann man das Integral wieder zurückführen von ds auf dx.
Unser vertrautes Inkrement dx geht beim Linienintegral über als "Länge des Tangentenvektors". Wenn ich diese Länge entlang der Linie ausrechnen kann, ist alles gewonnen.
Du kannst Dir die Sache mit dem Tangentenvektor auch vorstellen, als würdest Du den Geschwindigkeitsvektor entlang der Bahn nach der Zeit integrieren.
Kommt auch "Weg, bzw. Länge" heraus.

Eine allgemeine Kurve in der Ebene ist gegeben durch zwei Parameterfunktionen bzw. Komponentenfunktionen x(t), y(t). Daraus lässt sich das Weginkrement bestimmen.

Die Länge einer Kurve (ist ja auch nix anderes als ein Linienintegral) ist, wenn mich mein Gedächtnis nicht im Stich lässt, die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Ableitungen der Komponentenfunktionen - wenn man sich das genau ansieht, dann sollte das die Länge des Tangentenvektors sein.

Nochdazu ist in dieser Formel die Ableitung einer Parameterfunktion x(t) ja x_punkt(t) mal dt - und dann haben wir wieder eine "gewohnte Laufvariable" als Integrationsvariable. Kettenregel wirkt Wunder

Wenn man in der Formelsammlung nachsieht unter "Länge einer Kurve", dann sieht für die Länge einer normalen Funktion (ohne Parameterdarstellung) die  Formel L = :integral: Wurzel aus 1 plus der Ableitung der Funktion.
Wo kommt das her ? Die Kurve ist hier dargestellt als Parameterfunktionen x(t)=t und der Funktion f(t) selbst.

Wichtiger Grundgedanke bei Linien- und Oberflächenintegral.
Der Tangentenvektor an eine Kurve ist das Inkrement beim Kurvenintegral.
Der Normalenvektor einer Fläche ist das Inkrement beim Flächenintegral.
Wenn ich mir diese Vektoren (aus der Parameterdarstellung der Kurve bzw. Fläche) herrechnen kann, dann ist alles gewonnen. Kettenregel wirkt Wunder !

Die Darstellung in den Büchern ist oft kryptisch, da weißt du vorne und hinten nicht ob das ds, dn jetzt ein Skalar oder ein Vektor ist - und noch dazu ist die Sache nicht einfach und "gewöhnungsbedürftig".

n-w, :sorcerer:  rate mal, welches Buch ich hier emfehle.
Spätestens bei Green, Stokes und Gauss

[n-w]

Danke, Digit!

Hab zwar jetzt nich unbedingt alles verstanden, aber vielleicht hilfts  :flower: .


Da sich hier wirklich noch andere mit Ma beschäftigen, mal am Bsp. 22.6 b, alpha

geg:

 :integral: (y²dx - x²dy)   (in den Grenzen (0;1) bis (1;0) -> dies is die Feldfunktion ?

 KV entlang einer Geraden

-> Warum is die Fkt der Geraden x=(t;1-t)T ?

-> nu wird der Geradenvektor abgeleitet

-> wie gehts weiter?

[Caschu]

Jo also ganz einfach, du bildest dein gamma(t)=(t;1-t) und leitest das ab.

Dann setzt du deine Werte t und 1-t in deine Funktion ein und löst es wie folgt:

(1-t)²*(1) -t²*(-1) ,wobei 1 und -1 die Ableitungen von gamma(t) sind. So einfach ist der Spaß ^^

Daraus resultiert t- t²+(2/3)t³, dann t=1 eingesetzt und ferdsch!

[n-w]

Danke! Hab ich fast verstanden.

Bleibt nur noch die Frage, wofür verwende ich die geg Grenzen des Integrals und wie komme ich zur der Funktion der Geraden? Und dann beim Integrieren - woher kenne ich die Grenzen?

[Caschu]

na eine Gerade wird doch beispielsweise durch einen vektor t beschrieben?! In normaler Form wäre das y=x, weil du aber x=t setzt, wird auch y=t.
Hast du einen Startpunkt a, dann ist die Funktion a +(b-a)t.

[DIGIT]

-> nu wird der Geradenvektor abgeleitet
-> wie gehts weiter?

Sorry, mein Beitrag war unter Zeitnot erstellt.

Vielleicht nochmals, wie man von unserem vertrauten Inkrement dx, dt auf dieses Weginkrement ds kommt.
Wenn man das schafft, dann ist vieles erreicht.

Gegeben ist ein Vektor v=(x,y,z) oder v=(x1,x2,x3)

Vorbemerkung: Wie lange ist der Vektor v?.
Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus dem Skalarprodukt.
Also "ausgeschrieben" ist die Länge von v: "die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten"

Bei einem Kurvenintegral ist das Weginkrement ds die Länge des Tangentenvektors.
Wie lange ist der Tangentenvektor ?
Die Länge des Tangentenvektors ist das Skalarprodukt der Ableitungen.
Also ausgeschrieben Länge von ds = "die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Ableitungen der Komponenten{funktionen}."

Und was hilft mir das ? :cry:

Beispiel: Umfang des Kreises auf einem Bierdeckel ausrechen:
Wir müssen also  L =  :integral_unbest: ds berechnen.

Wo und was ist mein ds ?

Der Kreis ist hier als Kurve in der Ebene gegeben durch zwei Komponentenfunktionen:
In x-Richtung: r(phi) = r mal cos(phi)
In y-Richtung: r(phi) = r mal sin(phi)
Die Länge des Tangentenvektors ds ist, wie gesagt, die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Ableitungen der Komponenetenfunktionen (welche von phi abhängig sind).
Hier die Ableitungen der Komponentenfunktionen bilden und einsetzen.
Also ist  L =  :integral_unbest: ds = 2 * :integral_unbest: r dphi mit den Grenzen 0 bis pi ( zweimal halber Kreis, der peniblen Ordnung wegen).
Somit ist die L = 2 pi r der Umfang des Kreises.
Geht in Ermangelung eines Bierdeckels auch im Kopf.

Sieh einer an:
Mit Hilfe der Kettenregel hab ich ganz normal über die Laufvariable dphi integrieren können. :rolleyes:

Auch wenn ich nicht nur die Länge der Kurve ausrechne, so bin ich (in der Regel) immer mit dem Integral über die Länge des Tangentenvektors konfrontiert.
Macht aber nix, weil ich mit obiger Formel - und dem Segen der Kettenregel - das Weginkrement ds wieder auf "normale Laufvariablen" dphi, dr, dt, oder d_irgendwas zurückführen kann.

Ausblick auf die Oberflächenintegrale:
Hier steht und fällt alles mit dem Normalenvektor, dem liegt aber das gleiche Gedankenprinzip zugrunde.

Grüße
DIGIT
 :limes_0:

[Andi]

könnt ihr da nochmal an nem Bsp. erklären wie man die Grenzen a und b rauskrigt? Ich versteh das noch net ganz

[DIGIT]

Ja, ja mit den depperten Grenzen.
Folgende Lösungsmöglichkeiten

(1) nach Gefühl. [diese Aussage ist zwar nicht klar aber durchaus zielführend]

(2) mit Herumrechnen. Der Anfangspunkt und Endpunkt der Kurve - also dem Schnürl - muss ja auch nach einer Operation bzw. Transformation wieder den Anfangspunkt und Endepunkt ergeben. Schauen: Was hab ich und was will ich.
Siehe Übung unten.

(3) Achtung:
Das Bestimmen der Grenzen ist manchmal eine ziemliche Fummelei und kann schon mal zwei Bierdeckel beanspruchen!
Also hier nicht wundern, wenns nicht gleich in der ersten Zeile klappt.
Manchmal ist die Berechnung der Grenzen um vieles Aufwändiger als das Kurvenintegral selber.

(3) Mach folgende Übung:
Hat mit Kurvenintegral erstmal nix zu tun, aber der Grundgedanke ist der gleiche.
Passt auf einen Bierdeckel. :flower:
Rechne aus das Integral von eins durch wurzel aus eins minus x-quadrat, mit den Grenzen 0.3 bis 0.9
Rechnen :cry:  nicht nachschauen

Variante 1:
Subsitution, Unbestimmte Integration, Rücksubstition, Grenzen einsetzen und Zahlenwert ausrechnen.

Variante 2:
Substitition, Grenzen transformieren, Bestimmte Integration und Zahlenwert ausrechnen.
Sollte das selbe herauskommen.
Und beim "Grenzen transformieren" kommt dann die wundersame Erkenntnis, oder nicht ?
Grüße
DIGIT
 :limes_0:

PS:
Ja, Vektoranalysis und dann die Integralsätze :cry: , das ist aufwändig und muss mühevoll erarbeitet werden. Nicht einfach und ich hab selber ordentlich damit zu kämfen gehabt. Der Teufel steckt im Detail, da kriegst ja voll die Krise.
Bitte legt hier noch was nach, bemüht euch, das gut zu können - dann gehts nicht nur bei Mathe leichter sondern auch bei WÜ und SL.

[n-w]

Hier am Bsp.: (22.6b

Am geg. Integral stehen zwei Punkte. Dadurch soll eine Kurve verlaufen - je nach Aufgabenstellung verschieden. Z. B. Gerade:

y=ax+b

-> Pünktchen einsetzten und a und b bestimmen -> y=-x+1

-> Nu brauchst du das als Vektor, also x=(x,y)T
-> x lässt du wie es ist und setzt unten für y halt ax+b ein -> x=(x,1-x)T

-> hast du dann abgeleitet und eingesetzt, guckst du, was du für x in den Vektor einsetzen musst, um auf deinen ersten Punkt zu kommen

-> P1(0|1), also kommst du auf den Pkt. für x=0 -> erste Grenze

...