Rang/Regularität einer Matrix

[Tyson]

hallo,
und zwar soll in der aufgabe Ü3:5.2.1b untersucht werden, ob eine lineare abbildung regulär ist. Unser übungsleiter hat dazu gesagt, dass eine matrix und somit auch die lineare abbildung dann regulär ist, wenn sie vollen rang hat(das steht auch in "Formeln und Hilfen zur höheren mathematik" auf seite 53). jetzt jedoch meine frage, was "voller" rang überhaupt bedeutet?(konnte unser übungsleiter leider nicht wirklich beantworten) heißt das, dass alle spalten bzw. zeilenvektoren linear unabhängig sein müssen? im Tafelwerk steht weiter oben dazu, dass eine (m,n)-Matrix dann vollen rang hat, wenn rgA=min(m,n). Leider kann ich mit der schreibweise nichts anfangen, weshalb mich das auch nicht weiterbringt.
jetzt aber mal noch eine andere frage zu oben genannter aufgabe: die umwandlungsmatrix sieht ja so aus
3 1
1 4
1 5
 
jetzt ist ja der rang als die anzahl der linear unabhängigen spalten bzw. zeilenvektoren definiert. jetzt gibts doch aber bei dieser matrix 2 unabhängige spalten- und 3 unabhängige zeilenvektoren, was ja eigentlich nicht sein kann, weil zeilenrang=spaltenrang sein muss.
Ich würde mich über hilfe sehr freuen.
 
EDIT: noch etwas: und zwar steht das kriterium für eine reguläre matrix(also der volle rang) ja unter "Inverse einer QUADRATISCHEN Matrix". jetzt ist die matrix in der obengenannten aufgabe nicht quadratisch. lässt sich das trotzdem anwenden?

[HPLT]

Weis zwar ned ob sich deine Frage geklärt hat aber auch für nachfolgende Studienjahre:

Deine Matrix hat genau 2 linear unabhängige Spaltenvektoren --> da Zeilenrang = Spaltenrang folgt sie hat auch 2 linear unabhängige Zeilenvektoren und da Zeilenrang = Spaltenrang = Rang der Matrix ist der Rang der Matrix erstma 2!

ich weis ned wie du drauf gekommen bist das es 3 linear unabhängige Zeilenvektoren gibt, da sich eine Matrix ja nicht aus irgendwelchen Basisvektoren ergibt. Und schon ein einfaches Rechenbeispiel zeigt, dass die Anzahl an unabhängigen Vektoren maximal gleich der Dimension des "R" sein kann --> Also bei R² --> 2 und bei R³ ---> 3.

Ich glaub ein voller Rang war es dann, wenn die Maximale Anzahl an unabhängigen Zeilenvektoren bzw. Spaltenvektoren auch ausgenutzt wird... tut aber hier eigentlich nüscht zur Sache. (Unser Übungsleiter hat da nie was von gelabert ^^)

So da wir nun Wissen das der Rang der Matrix 2 ist hat y=A*x höchstens eine Lösung (kann auch keine haben).

So da wir in Teilaufgabe a) das Bild von Phi berechnen mussten kommen wir dann auf genau eine Lösung und das bedeutet wiederrum das die lineare Abbildung regulär also injektiv.

falls nicht verstanden:
Regulär/injektiv bedeutet: "f heißt injektiv, wenn zu jedem y aus Y höchstens ein x aus X existiert mit f(x) = y. („Höchstens eines“ bedeutet dabei: Gar keines oder genau eines, aber nicht mehrere.)" Dabei sind X und Y Mengen, die x und y enthalten. (Wikipedia)

Aso und noch angefügt : rg(A)=rg(Phi)=dim(im(Phi))=2 --> Also Erzeugung einer Ebene also ist das Bild eine Ebene E=x1*(Spalte1)+x2*(Spalte2)