Author Topic: Tipps und Hilfen für ein Integral (Read 3483 times)

koXx · « **on:** January 12, 2009, 08:26:14 am »

Servus!
Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen, nachdem ich mit google und mehreren Stunden Überlegens nicht mehr weitergefunden habe!
Und zwar möchte ich gern folgendes Integral bestimmen:

[latex]$\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0} \frac{1}{cos^4(x)}$[/latex]

Habe es schon mit einigen Substitutionen versucht, aber kam dann immer nicht weiter!

zB.: [latex]$t=tan{\frac{x}{2}}$[/latex] damit hatte ich nur noch t im Integral, aber so kompliziert, dass ich das nicht weiter integrieren konnte...
Wäre für jeden weiteren Vorschlag sehr dankbar!
Grüße Sebastian

nyphis · « **Reply #1 on:** January 12, 2009, 08:43:47 am »

vielleicht könnte das ein Ansatz sein ...
^4)]http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=1%2F(cos

^4)[/url]

Hausmeister2001 · « **Reply #2 on:** January 19, 2009, 12:00:03 pm »

hmmm, ich hätte ne Lösung über tricks und kniffe (und Integraltabellen)

Ich hoffe du hast das schwarze kleine Binomi. Seite 107, Integral 200.

[latex]$\int cos^n (x) = \frac {cos^n^-^1(x)xsin(x)} {n}+\frac {n-1} {n}\int cos^n^-^2(x)dx$[/latex]

jetzt [latex]$n=-2$[/latex] eingesetzt, und das rechte integral nach links da steht:

[latex]\int cos^-^4(x)dx = \frac {2} {3} \left( \frac {cos^-^3(x)xsin(x)} {-2}-\int cos^-^2 (x)\right)[/latex]

jetzt noch [latex]$\int cos^-^2 (x)=tan(x)$[/latex] einstezen, minus ausklammern, und da steht:

[latex]\int cos^-^4(x)dx = -\frac {2} {3} \left( \frac {cos^-^3(x)xsin(x)} {2}+ tan(x)\right)[/latex]

joa... das könnte es sein wenn ich mich nicht verrechnet habe! Müsste man mal ableiten, hab ich im moment keine lust

kann auch sein man darf in die erste Formel keine negativen n einsetzen, steht aber nicht da...

Jule · « **Reply #3 on:** January 19, 2009, 02:16:52 pm »

Habe auch noch eine Lösung anzubieten. Keine Ahnung, ob das so stimmt, aber wenn man in Mathcad das Integral als Diagramm darstellt und im Vergleich dazu das Ergebnis (siehe Anhang), sieht es zumindest optisch gleich aus.

koXx · « **Reply #4 on:** January 21, 2009, 07:08:29 am »

Sehr geile Sache eure Antworten. Hab beide Integrale mal überprüft, indem ich die Ableitung gebildet habe und die Rechung von Jule führt wieder zu [latex]$\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0} \frac{1}{cos^4(x)}$[/latex]. Danke dir, werde mich nachher mal dransetzen das zu verstehen

Hausmeister, entweder habe ich bei dir etwas nicht richtig lesen können, oder das geht auf die Weise wirklich nicht, aber wenn ich deinen Term ableite, bekomme ich was unschönes heraus ^^ Aber auch danke für deine Idee! Auch hier schau ich mal, ob es möglich ist das du dich irgendwo vertan hast oder so, denn eigentlich sind es ja nur schlichte Umformungen, die ich auf den ersten Blick erkannt habe und wenn es keine Einschränkungen für n gibt, dann sollte es doch auch damit klappen!
Grüße Sebastian

Edit: Hausmeister, mit deiner Variante geht es auch, du hast dich nur bei einem Vorzeichen vertan! Hab es selbst nochmal nachgerechnet, weil ich mir eben nicht ganz sicher war, ob ich alles richtig gelesen hatte und komme auch wieder auf [latex]$\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0} \frac{1}{cos^4(x)}$[/latex].
Also beides sehr hilfreiche Hinweise!