Testatklausur Professor Eppler vom letzten Jahr

[Tyson]

Hallo,
ich hab mir heute mal die Testatklausur vom letzten Jahr angeschaut und eine Frage bei Aufgabe 2d und e. Und zwar soll dort untersucht werden, inwiefern eine Funktion stetig differenzierbar ist. Nun meine frage, wie man das macht? In meinen Vorlesungsunterlagen habe ich dazu gefunden, dass man den grenzwert an einer bestimmten stelle untersuchen muss und wenn der bei annäherung von links bzw. von rechts nicht gleich ist, die funktion an dieser stelle nicht differenzierbar ist. Das würde ja aber heißen, dass jede funktion in ihrem extrempunkt nicht differenzierbar ist. Außerdem komm ich dann mit der lösung der aufgabe nicht ganz klar: Die funktion ist bei x=a nicht differenzierbar und deshlab nicht stetig differenzierbar. Ok, versteh ich. Aber eigentlich ist sie ja dann bei x=0 auch nicht differenzierbar, oder?
Ich hoffe jemand kann (und will) mir helfen.

[FenderStrat]

ich glaube, du hast irgendwo einen denkfehler drin!? deine folgerung: dann ist keine funktion in ihrem extrempunkt differenzierbar, verstehe ich schonmal nicht. wenn eine funktion einen extrempunkt hat, dann kann doch der links- und der rechtsseitige grenzwert gegen diesen extremwert streben.
mit der bertrachtung der beiden grenzwerte kriegst du nur raus, ob die funktion stetig ist oder nicht. wenn du raus bekommst, dass sie nicht stetig ist an einer bestimmten stelle, dann ist sie dort auch nicht differenzierbar. denn stetigkeit ist eine notwendige bedingung für differenzierbarkeit.
wenn du herausfindest, dass die funktion an der stelle stetig ist, dann musst du sie jetzt noch auf differenzierbarkeit überprüfen (hintergrund: stetigkeit ist eine notwendige, aber keine hinreichende bedingung für differenzierbarkeit).
das machst du im elementarsten fall über den differenzenquotinent bzw den differentialquotient.
 
hoffe ich konnte dir helfen,
liebe grüße und genieß die ferien :happy:

[Tyson]

erstmal danke. Ich hab das glaub ich etwas komisch und missverständlich ausgedrückt im ersten post. mit grenzwert meinte ich den grenzwert von (f(x)-f(xo))/(x-xo), also den grenzwert des  Differenzenquotienten. und der ist bei einem extrempunkt nun einmal bei annäherung von rechts bzw. links unterschiedlich und demzufolge ist das ganze dann dort auch nicht differenzierbar, glaube ich zumindest.

[Tyson]

noch ne andere frage zur aufgabe 2f: Wie kommmt man bitte auf diese ableitung, die als lösung dasteht? Ich würde die kettenregel anwenden und damit komme ich aber auf keine summe und einen ln hab ich auch nicht drin. Kann mir das irgend jemand erklären?

[FenderStrat]

also nochmal zum differeantialqoutienten bei einem extremwert einer stetig-differenzierbaren funktion: der differenzenquotient muss zunächst erstmal gegen 0 streben, da die stelle sonst keine extremstelle ist (wir gehen mal davon aus, keinen randbereich zu betrachten).
das ist, denke ich mal, einleuchtend und man kann sich das auch noch einmal an der notwendigen bedingung für einen extrempunkt verdeutlichen: dort muss ja die erste ableitung (was nichts anderes als der differentielquotient an dieser stelle ist) gleich 0 sein.
wenn man nun eine stetig-differenzierbare funktion hat, dann nähert sich der linkseitige und der rechtseitige differenzenquotient gegen null an (wir haben ja ein extremum). der eine differenzenquotient nähert sich aus dem negativen bereich und der andere aus dem positiven bereich. aber bei einer grenzwerbetrachtung sind dann beide 0.
hoffe das war einigermaßen verständlich, solltest du aber vielleicht nochmal durchdenken und wenns nicht einleuchtet, einfach nochmal nachhaken^^.
bei der aufgabe kann ich dir leider nicht weiterhelfen, weil ich das testat nicht habe. gibts das online?

[Tyson]

testat gibts hier: http://www.math.tu-dresden.de/~eppler/mw0708/Testat-MW_L.pdf
 
Was ich jetzt aber nicht verstehe ist folgendes: Im Unterricht kam das beispiel, dass die funktion Betrag(x) an der stelle x=0 nicht differenzierbar ist. Hier verhält sich das mit dem Grenzwert auch so, wie du oben bei den extremwerten erläutert hats, also von links negativ gegen null und von rechts positiv gegen null. als begründung für die nichtdiffernzierbarkeit kam dann(hab ich jedenfalls so mitbekommen), dass der Grenzwert an der stelle 0 unterschiedlich ist(also von links negativ und von rechts positiv). Keine ahnung,ob man das als zeichen für nichtdifferenzierbarkeit heranziehen kann.
Noch eine frage zu diesem Grenzwert lim x->xo f(x)-f(xo)/x-xo. der muss ja existieren, wenn eine funktion an einer bestimmten stelle xo differenzierbar ist. Aber wann bitte existiert der nicht? Noch meinem verständnis kommt dort doch 0/0 raus, gernzwert also 0, was ja für jede funktion gilt?

[Tyson]

Was ich jetzt aber nicht verstehe ist folgendes: Im Unterricht kam das beispiel, dass die funktion Betrag(x) an der stelle x=0 nicht differenzierbar ist. Hier verhält sich das mit dem Grenzwert auch so, wie du oben bei den extremwerten erläutert hats, also von links negativ gegen null und von rechts positiv gegen null. als begründung für die nichtdiffernzierbarkeit kam dann(hab ich jedenfalls so mitbekommen), dass der Grenzwert an der stelle 0 unterschiedlich ist(also von links negativ und von rechts positiv).

Ich bin mal so frei und zitiere mich selbst:happy:  Hab mir das nochmal durch den kopf gehen lassen, ist natürlich schwachsinn was ich da oben geschrieben habe. Die funktion betrag x hat links von der 0 einen anstieg von -1 und rechst davon +1, die anstiege nähern sich also nicht an, wie es bei einem extremwert der fall ist.
 
offen bleibt bei mir jedoch die frage, warum bei aufgabe 2d die funktion bei x=a nicht differenzierbar ist, wäre für eine erklärung sehr dankbar. Und außerdem bleibt das problem bei aufgabe 2e(siehe paar posts vorher).

[Saimat]

zur (d):
Wie du selbst herausgefunden/mitbekommen hast ist die funktion |x| an der Stelle 0 nicht (stetig) differenzierbar. Wie verhält sich das nun also bei x^2*|x-a| ?
Erstmal vorweg: Stetige Differenzierbarkeit bedeutet eine Stetigkeit der Ableitung und der Funktion selbst. Dazu wissen wir, dass man bei einer Grenzwertbestimmung eines Produktes die Grenzwerte der einzelnen Faktoren bestimmen und im nachhinein multiplizieren kann.
Dass die Funktion an sich stetig ist, können wir uns denke ich vorstellen. Wie sieht das für die Ableitung aus? versuchen wir es mal:
Bei der Anwendung der Produktregel fällt auf, dass wir die Ableitung von |x-a| bilden müssen. Dabei haben wir dann das gleiche Problem wie bei |x|, allerdings an der Stelle x=a und nicht bei x=0 (Die Ableitung ist nicht stetig). Dies resultiert daraus, dass die Funktion ja nur um a verschoben wurde.

zur (f):
Wenn man nun die ganze Funktion quadriert verschwinden die Betragsstriche, bzw sind sie nichtmehr relevant, denn durch das Quadrieren entfällt das Vorzeichen sowieso. Man findet nun keinen unstetigen Punkt in der Ableitung mehr.

[Tyson]

ok, klingt verständlich. Danke.
D.h. wenn man die differenzierbarkeit untersuchen soll, muss man nur schauen, wo die ableitung nicht stetig ist oder was?

[Saimat]

Differenzierbarkeit: Ableitung kann gebildet werden.
Stetige Differenzierbarkeit: Ableitung kann gebildet werden und ist stetig.