Aufgabe 25.3 Übungsheft 2

[Quickley]

Hallo,
könnte mir vielleicht jemand einen Ansatz zur Lösung der Aufgabe a) geben?

yy"=y'²

Bis jetzt habe habe p=y'und p'=y" gesetzt, also

y(dp/dy)=p²

Dann bin ich durch TdV zu

p=-1/(lny + c1) gekommen.

Ist das soweit richtig? Von hier an weiss ich irgendwie nicht weiter. Kann mir vielleicht jemand helfen?

Gruß

Quickley

[wilk]

Hallo,
könnte mir vielleicht jemand einen Ansatz zur Lösung der Aufgabe a) geben?

yy"=y'²

Bis jetzt habe habe p=y'und p'=y" gesetzt, also

y(dp/dy)=p²

Dann bin ich durch TdV zu

p=-1/(lny + c1) gekommen.

Ist das soweit richtig? Von hier an weiss ich irgendwie nicht weiter. Kann mir vielleicht jemand helfen?

Gruß

Quickley

Du vergisst das y auch eine Funktion ist.
Du leitest also eine zusammengesetze Funktion ab, also musst du die äußere Ableitung ( hier p'(y) ) mit der inneren Ableitung ( hier y' ) multiplizieren
Demzufolge y'' = p'(y) * y' und erneut eingesetzt y'' = p'(y) * p(y)

[Saimat]

y'' ist in dem Fall nicht p', denn p ist von y abhängig, welches wiederum von x abhängt:

y'(y(x))=p(y(x))=sqrt(y(x)*y(x)")
oder kurz:
y'=p=sqrt(yy")

Das steht auch extra in der Aufgabenstellung ("p=p(y)").

Somit kommt bei der Differenziation von p (Bildung von y") die Kettenregel zum Einsatz:

(p(y(x)))'=p'(y(x))*y'(x)=p'(y(x))*p(y(x))
oder kurz:
p=p*y'=p'*p

Damit kannst du dann ein p kürzen, resubstituierst und löst die Gleichung.

[Quickley]

Ah, ich glaube ich habs verstanden Vielen Dank euch!

[Quickley]

schon bin ich wieder beim nächsten Problem:

Aufgabe e)

y"=y'(1+tan²(y))

hier setze ich auch p=y' und y"=p'*y'.

Für 1+tan²(y) schreibe ich 1/cos²(y).

Also: p'p=p(1/cos²(y))

Nach TdV komme ich dann auch p=(sin(y)/cos(y))+c1.

Wenn ich jetzt Rücksubstituiere, dann kommt nur murks raus. Was ist falsch?

[skaal]

sin/cos=tan

dann resub und AB einsetzen

[Quickley]

Ich habe meinen Fehler entdeckt...danke ich zumindestens...

c1 = 0 und, da y(x) und auch y'(x).

Also ergibt sich c1 aus y'=sin(y)/cos(y)+c1 ---> 1=sin(Pi/4)/cos(Pi/4)+c1

Dann ist dy/dx=sin(y)/(cos(y).

Nach TdV:

ln(sin(y))=x+c2

y=arcsin(e^x*c2)

AB einsetzen und für c2=SQR(2)/2 rausbekommen.

Lösung: y=arcsin(e^x*SQR(2)/2)

Ich hoffe mal, dass meine Überlegungen jetzt endlich stimmen