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Archiv => 1./2. Semester => Vorlesungen/Übungen 1./2. Semester => Topic started by: sergeant on December 25, 2011, 10:19:29 pm

Title: die inverse einer Matrix mittels einer LU Zerlegung
Post by: sergeant on December 25, 2011, 10:19:29 pm

hallo,
wie berechnet man die inverse einer Matrix mittels einer  LU Zerlegung?
Die Zerlegung in LU bekomme ich hin und dann? Danek für die Hilfe im Voraus!
Das Verfahren ist dazu da, um "X" auszurechnen (A*X=b), oder?
Wo könnte ich über das Thema nachlesen?

Title: die inverse einer Matrix mittels einer LU Zerlegung
Post by: aviator-sbh on December 26, 2011, 10:58:08 am

Die LU-Zerlegung ist eigentlich dazu gedacht, ein LGS eben OHNE Inverse zu lösen. Mittels LU-Zerl. erhältst Du zwei gestaffelte LGS, die Du nur mittels Rückwärtseinsetzen lösen musst.

AX = B
LUX = B
Zuerst definierst Du UX = Y und löst LY = B. Dann löst Du mit dem bekannten Y die Gleichung UX = Y nach X.
Anstelle der Matrix B kann natürlich auch ein Vektor b stehen.

Title: die inverse einer Matrix mittels einer LU Zerlegung
Post by: koXx on January 10, 2012, 05:20:36 pm

Man kann es machen, weil durch die LU-Zerlegung eine untere und eine obere Dreiecksmatrix entstehen. Diese sind für sich selbst einfacher zu invertieren!

A = L*U => A^(-1) = (L*U)^(-1) = U^(-1)*L^(-1)

Die Inverse von L folgt meiner Erinnerung nach direkt aus der LU-Zerlegung selbst! Dadurch musst du "nur" noch die Inverse von U bestimmen und dann das Matrixprodukt ausrechnen!
Für numerische Rechnungen hat das aber eigentlich keine Bedeutung, weil Inverse Matrizen immer unschön zu bestimmen sind! Der direkte weg über ein LGS ist da sinnvoller...