Bombentrichter

Archiv => 1./2. Semester => Prüfungen/Testate 1./2. Sem. => Topic started by: goshina on August 12, 2010, 05:07:15 pm

Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: goshina on August 12, 2010, 05:07:15 pm
Es wäre schön wenn hier mal ein paar Vergleiche stattfinden könnten zu den Lösungen der aktuellen Klausurensammlung. Ich rechne gerade an der Aufgabe 3  WS2001/2002 (komplexe Zahlen) und komm zu keinem Punkt. Jemand nen Tipp?

Grüße.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: mgl on August 12, 2010, 07:29:32 pm
zu 3.

auf das Ergebnis x=y bin ich auch gekommen, allerdings ist da noch nicht Schluss. Die beiden Gleichungen beschreiben jeweils einen Kreis und meiner Meinung nach soll nun der Schnittpunkt dieser beiden ausgerechnet werden.

mein Ergebnis: x1,2= 1/2(1+-wurzel(2d*d -1)), das dann noch in z=x+ix einsetzen und Definitionsbereich für d angeben (d>=wurzel1/2) da d ein reeller Parameter ist.

kann auch falsch liegen :laugh:
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Post by: Steven on August 12, 2010, 06:01:33 pm
Bräuchte ebenfalls die Lösung zur oben genannten Aufgabe, sowie der Aufgabe 4.
Das Polynom lautet p(x)=x, sieht man ja auch schon anhand der gegebenen Punkte.
Integriert man das ganze... I[g]=1/2x^2.
b)Hornerschema und und Taylorentwicklung an der Stelle x0=0 liefert doch überall nur 0. Komm da nicht weiter.
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Post by: tobi0123 on August 12, 2010, 06:10:53 pm
Quote from: goshina
Ich rechne gerade an der Aufgabe 3  WS2001/2002 (komplexe Zahlen) und komm zu keinem Punkt.
meine idee: beide gleichung gleichsetzen, für z=x+iy einsetzen und dann eben quadrieren wegen beträge:

(x-1)^2+y^2 = x^2+(y-1)^2
...
y=x , also z=x+ix=x(1+i)
was besseres fällt mir auch nich ein...
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Post by: tobi0123 on August 12, 2010, 06:22:10 pm
Quote from: Steven
Das Polynom lautet p(x)=x, sieht man ja auch schon anhand der gegebenen Punkte.
Integriert man das ganze... I[g]=1/2x^2.
wie siehst du das an den gegebenen punkten?
(-1,f(-1)) --> y=f(-1)
das ist doch was anderes als (-1,-1), (0,0) , (1,1) (wo man ja die gerade y=x durchlegen könnte)
ich versteh unter Interpolationspolynom NIEDRIGSTEN grades p(x)=ax^2+bx+c, also höchste potenz x^2, weil ich 3 punkte gegeben hab...
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Post by: schaumi22 on August 12, 2010, 06:49:21 pm
Also zu 4 a;

Wir haben das Newton-Verfahren angewendet und für yi halt dann f(-1); f(0); f(1) beibehalten. Das ganze haben wir mitgeschleppt und kommen schließlich zu einem Polynom p(x)= 0,5(x²+x)(f(1)+f(-1)-2f(0))+(x+1)(f(0)-f(-1))+f(-1) =g(x)
Das ganze integriert und die Grenzen eingesetzt ergibt:
I[g]=1/3(f(1)+f(-1)-2f(0)) + 2(f(0)-f(-1)) + 2f(-1)
Wir haben das ganze mit y=x² kontrolliert und es ging auf, also sollte das Ganze doch zu einer hohen Wahrscheinlichkeit richtig sein.

bei b; keine Ahnung
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Post by: tobi0123 on August 12, 2010, 08:35:10 pm
Quote from: mgl
zu 3.
... nun der Schnittpunkt dieser beiden ausgerechnet werden.
mein Ergebnis: x1,2= 1/2(1+-wurzel(2d*d -1)) ...
'tschuldige, wenn ich so blöd frage, aber kannst du mir genau erklären, wie du den schnittpunkt ausrechnest?
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Post by: mgl on August 12, 2010, 10:50:36 pm
x=y

das in eine Ausgangsgleichung einsetzen (zB d=|x+ix-1|) und dann so umstellen das auf einer Seite null steht und man die pq Formel anwenden kann...

0=2x*x-2x+1-d*d

dann kommt man auf das Ergebnis x1,2=...
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Post by: Rollo-derWikinger on August 13, 2010, 11:22:09 am
Februar 2002

3. hab ich so wie mgl, d.h. y=x und daraus folgt

[latex] $x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{-\frac{3}{4}+d^2}$ [/latex]

4. in bin auch der meinung, dass man f(1), f(0) und f(-1) die ganze zeit mitschleppen muss

[latex]
a) $g(x) = f(-1) + [f(0) - f(-1)]\cdot(x+1) + \frac{f(1) - 2f(0) + f(-1)}{2}\cdot(x+1)\cdot x$

b) $T_{2}(x_{0}=0) = f(0) + f'(0)\cdot x + \frac{f''(0)}{2}\cdot x^2$[/latex]

c) hier ist mir allerdings nicht klar was der gute mann überhaupt will. wie soll ich denn hier den fehler abschätzen, wenn ich kein f(x) habe? einfach nur einsetzen von f(x) und g(x) aus b wird ja nich der sinn dahinter gewesen sein oder? hat wer ne idee?

[latex]
d) \\
$f(0) = 1 \\
f(1) = f(-1) = \frac{1}{e} \\
g_{a}(x) = \frac{1}{e} + (1 - \frac{1}{e})(x+1) + (\frac{1}{e} - 1)(x-1)\cdot x \\
f(0) = 1 \\
f'(0) = 0 \\
f''(0) = -2 \\
g_{b}(x) = 1 - x^2$ [/latex]

mich würd noch interessieren was eure lösung für 6. is.
ich hab sowas ziemlich hässliches raus

[latex] $ \lambda_{1} = -1 \\ \lambda_{2} = 2 + i \\ \lambda_{3} = 2 - i \\
\vec{EV_{1}} \left(\begin{array}{c}0\\0\\1 \end{array}\right)\\
\vec{EV_{2}} \left(\begin{array}{c}1\\-i\\i + 2 \end{array}\right)\\
\vec{EV_{3}} \left(\begin{array}{c}1\\i\\2 - i \end{array}\right)$[/latex]

entsprechend hässlich die lösung
[latex]
$C_1 = 0\\
C_2 = \frac{1}{2}(1 + i) \\
C_3 = \frac{1}{2}(1 - i) \\
\vec{y}(x) = \frac{1}{2}e^{(2 + i)x}\left(\begin{array}{c}1 + i\\1 - i\\1 + 3i \end{array}\right) + \frac{1}{2}e^{(2 - i)x}\left(\begin{array}{c}1 - i\\1 + i\\1 - 3i \end{array}\right)$[/latex]

hat da jemand was schöneres? schmeiß ich den imaginärteil noch irgendwie raus?
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Post by: aviator-sbh on August 13, 2010, 02:00:33 pm
Quote from: Rollo-derWikinger
Februar 2002

3. hab ich so wie mgl, d.h. y=x und daraus folgt

[latex] $x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{-\frac{3}{4}+d^2}$ [/latex]

4. in bin auch der meinung, dass man f(1), f(0) und f(-1) die ganze zeit mitschleppen muss

[latex]
a) $g(x) = f(-1) + [f(0) - f(-1)]\cdot(x+1) + \frac{f(1) - 2f(0) + f(-1)}{2}\cdot(x+1)\cdot x$

b) $T_{2}(x_{0}=0) = f(0) + f'(0)\cdot x + \frac{f''(0)}{2}\cdot x^2$[/latex]

c) hier ist mir allerdings nicht klar was der gute mann überhaupt will. wie soll ich denn hier den fehler abschätzen, wenn ich kein f(x) habe? einfach nur einsetzen von f(x) und g(x) aus b wird ja nich der sinn dahinter gewesen sein oder? hat wer ne idee?

[latex]
d) \\
$f(0) = 1 \\
f(1) = f(-1) = \frac{1}{e} \\
g_{a}(x) = \frac{1}{e} + (1 - \frac{1}{e})(x+1) + (\frac{1}{e} - 1)(x-1)\cdot x \\
f(0) = 1 \\
f'(0) = 0 \\
f''(0) = -2 \\
g_{b}(x) = 1 - x^2$ [/latex]

mich würd noch interessieren was eure lösung für 6. is.
ich hab sowas ziemlich hässliches raus

[latex] $ \lambda_{1} = -1 \\ \lambda_{2} = 2 + i \\ \lambda_{3} = 2 - i \\
\vec{EV_{1}} \left(\begin{array}{c}0\\0\\1 \end{array}\right)\\
\vec{EV_{2}} \left(\begin{array}{c}1\\-i\\i + 2 \end{array}\right)\\
\vec{EV_{3}} \left(\begin{array}{c}1\\i\\2 - i \end{array}\right)$[/latex]

entsprechend hässlich die lösung
[latex]
$C_1 = 0\\
C_2 = \frac{1}{2}(1 + i) \\
C_3 = \frac{1}{2}(1 - i) \\
\vec{y}(x) = \frac{1}{2}e^{(2 + i)x}\left(\begin{array}{c}1 + i\\1 - i\\1 + 3i \end{array}\right) + \frac{1}{2}e^{(2 - i)x}\left(\begin{array}{c}1 - i\\1 + i\\1 - 3i \end{array}\right)$[/latex]

hat da jemand was schöneres? schmeiß ich den imaginärteil noch irgendwie raus?

Kannst Du mir mal die Gleichung für deine Lambdas in 6. nennen? Ich komme auf L^3-L^2+2L+5=0. Dabei ist 1 keine Lösung.

Die komplexen Vektoren in deiner Lösung, die sich aus den komplexen Eigenwerten alpha + i*beta ergeben, kannst Du in einen realen Vektor und einen imaginären zerlegen: z = a +- ib mit z,a,b Spaltenvektoren mit reellen Indizes. Dann kannst Du die Formel von Vetters S. 81 (das Extrablatt) anwenden:
yh wird dann c1*e^(alpha*x)*(a*cos(beta*x)-b*sin(beta*x)) + das gleiche nochmal mit sin und cos vertauscht. Komplexe Eigenwerte treten offenbar immer konjugiert paarweise auf. Dann hast Du eben die beiden oben genannten Summanden für das Paar in deinem yh(x).

Zu 4:
Das mit dem Mitschleppen der f(0) usw. hab ich auch so gemacht. Ich glaube, was Herr Grossmann bei der Fehlerschätzung sehen will, ist ein Ausdruck für den Fehler, also was ist gleich der Differenz zwischen dem wahren und dem angenäherten Integral. Der Trick ist es, bei dem Taylorpolynom, das Du ja irgendwo vorher bestimmt hat, noch das Restglied R(x) dazuzuschreiben. (Bei b fehlt bei dir übrigens noch die Integration von T2. Die hab ich dann ohne dem Restglied gemacht.)
Bei c) hab ich das Integral über g(x), was gleich dem über T2(x) ist, mitsamt dem Summand R(x) genommen. Ziehst Du dann die Integrale über f (Originalfunktion) und g (deine Näherung unter b)) voneinander ab, erhältst Du Integral über R(x) von -1 bis 1.
Ich nehme an, dass das die Lösung ist, die Grossmann sehen will.
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Post by: aviator-sbh on August 13, 2010, 02:09:17 pm
Hat eigentlich jemand eine Lösung für Aufgabe 5 (Feb 2002)?

Ich hab die charakteristische Gleichung
(L=Lambda)
L^5-12*L^4+53*L^3-104*L^2+80*L=0 (praktisch abgelesen)

Nun ist ja eine Lösung der homogenen DGL mit y1(x) = x*e^(4*x) gegeben. Daraus kann man ablesen, dass 4 eine doppelte Lösung der char. Gleichung sein muss. Nachdem man die 0 als Lösung schnell ersehen hat, könnte man vom Polynom dann zweimal die 4 als Nullstelle abspalten und kommt dann auf ein quadratisches, welches man schnell lösen kann. Allerdings gelingt mir die Abspaltung der 4 nur einmal. Als Ergebnis erhalte ich dann nach Abspaltung von 0 und 4:
0=L^3-8*L^2+21*L+20. Dies ist wie gesagt kein weiteres Mal mehr durch (L-4) teilbar.

b) ist ohne die homogene Lösung natürlich auch nicht lösbar, weil man nicht weiß, ob Resonanz auftritt.
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Post by: Rollo-derWikinger on August 13, 2010, 03:05:35 pm
danke für den tipp mit dem restglied, denke das macht sinn
also die gleichung für die eigenwerte is das polynom

[latex]$(2-x)(2-x)(-1-x)+(-1-x)\\
= (4-4x+x^2)(-1-x)+(-1-x)\\
= (x^2-4x+4+1)(-1-x) = 0$[/latex]

also sieht man schon den ersten eigenwert -1

[latex]$x^2-4x+5 = 0\\
\Leftrightarrow x_{1/2} = 2 \pm \sqrt{4-5} = 2 \pm i$[/latex]

die formel für komplexe eigenwerte und vektoren hab ich inzwischen auch gefunden, allerding wird das dann logischerweise ein ellenlanger therm, der über 3 zeilen geht. ob das nun des pudels kern is... ich weiß nich. möglicherweise sind meine werte auch einfach falsch.

was sagstn du zu 04.03.2005?
1.a) krieg ich mit biegen und brechen was aus, aber mehr mit raterei welches x nun der grenzübergang zu größer 1/2 is (mit exponentialform)
b) komm ich auf überhaupt kein gescheites ergebnis, nur auf zwei gleichungen mit jeweils quotienten von x oder y als lösung...

der rest ging ja eigentlich
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Post by: Rollo-derWikinger on August 13, 2010, 03:27:44 pm
ach und aufgabe 5 is übrigens ganz einfach:
machst du homogene lösung

charakteristische gleichung

[latex]$r^5 - 12r^4 + 53r^3 - 104r² + 80r = 0$[/latex]

offensichtlich ist r = 0 eine lösung und durch die eine lösung ist außerdem bekannt, dass 4 mindestens 2-fache lösung ist

[latex]$r^4 - 12r^3 + 53r^2 - 104r + 80 = 0$
Polynomdivision mit $(r-4)(r-4) = r^2 - 8r + 16\\
(r^4 - 12r^3 + 53r^2 - 104r + 80):(r^2 - 8r + 16) = r^2 - 4r + 5\\
r^2 - 4r + 5 = 0 \Leftrightarrow r_{4/5} = 2 \pm \sqrt{4-5} = 2 \pm i\\ \\
y_1 = 1\\
y_2 = e^{4x}\\
y_3 = xe^{4x}\\
y_4 = e^{2x}cos(x)\\
y_5 = e^{2x}sin(x)\\
y(x) = C_1\cdot 1 + C_2\cdot e^{4x} + C_3\cdot xe^{4x} + C_4\cdot e^{2x}cos(x) + C_5\cdot e^{2x}sin(x)\\$[/latex]

Konstanten mit VdK
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Post by: aviator-sbh on August 13, 2010, 03:43:22 pm
Quote from: Rollo-derWikinger
ach und aufgabe 5 is übrigens ganz einfach:
machst du homogene lösung

charakteristische gleichung

[latex]$r^5 - 12r^4 + 53r^3 - 104r² + 80r = 0$[/latex]

offensichtlich ist r = 0 eine lösung und durch die eine lösung ist außerdem bekannt, dass 4 mindestens 2-fache lösung ist

[latex]$r^4 - 12r^3 + 53r^2 - 104r + 80 = 0$
Polynomdivision mit $(r-4)(r-4) = r^2 - 8r + 16\\
(r^4 - 12r^3 + 53r^2 - 104r + 80):(r^2 - 8r + 16) = r^2 - 4r + 5\\
r^2 - 4r + 5 = 0 \Leftrightarrow r_{4/5} = 2 \pm \sqrt{4-5} = 2 \pm i\\ \\
y_1 = 1\\
y_2 = e^{4x}\\
y_3 = xe^{4x}\\
y_4 = e^{2x}cos(x)\\
y_5 = e^{2x}sin(x)\\
y(x) = C_1\cdot 1 + C_2\cdot e^{4x} + C_3\cdot xe^{4x} + C_4\cdot e^{2x}cos(x) + C_5\cdot e^{2x}sin(x)\\$[/latex]

Konstanten mit VdK

Danke! Hab den Fehler jetzt gefunden. Meine Polynomdivision war falsch. Die Klausur von 2005 hab ich noch nicht gemacht. Werde es wahrscheinlich Anfang nächste Woche tun.
Hast Du die Klausur auch unter Prüfungsbedingungen gerechnet (2h)?

PS: Wie machst Du eigentlich deine Formeln hier in den Posts?
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 13, 2010, 03:47:04 pm
ich hab mir keine stoppuhr gestellt, aber ich bin schon gut durchgekommen. 1 1/2 - 2 stunden denk ich mal hab ich pro klausur investiert. und wenn mich nicht alles täuscht geht die klausur auch von 7.30 - 10.30, das macht 3 std. also noch gut luft um sich zu verrechnen.
formel gehen mit latex-code http://bombentrichter.de/showthread.php?t=10958


hat denn sonst noch keiner was gerechnet? 2004? 2005? feb 2007? anyone?
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Post by: bleda on August 13, 2010, 07:00:12 pm
also wenn einer lösungen zu 2008er wdhl klausur hat, bitte melden.
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Post by: Rollo-derWikinger on August 13, 2010, 07:11:12 pm
meinst du die Ma I/2 Wdh. Prof. Grossmann 29. Februar 2008?
die lösung gibts online http://www.math.tu-dresden.de/~grossm/hompag03.html

ansonst schick ma rüber die klausur
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Post by: aviator-sbh on August 13, 2010, 07:46:41 pm
Quote from: Rollo-derWikinger
und wenn mich nicht alles täuscht geht die klausur auch von 7.30 - 10.30, das macht 3 std. also noch gut luft um sich zu verrechnen.
hat denn sonst noch keiner was gerechnet? 2004? 2005? feb 2007? anyone?

Tatsächlich, Du hast Recht! Dann ist der Stress ja halb so wild:D
Den mit 2h wärs schon ziemlich knapp. Dann hatte ich zumindest keine Zeit mehr, nach irgend welchen Fehlern zu suchen.

Ich hab die vom 29.2.08 auch gemacht. Die Lösungen stehen allerdings auch im Netz. Besteht trotzdem Interesse an LösungsWEGEN? Wenn nicht, mache ich mir nicht den Aufwand, das hier reinzuhacken.
Falls ja, könnte es aber bis morgen Vormittag dauern, denn heute Abend mach ich das nicht mehr.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 14, 2010, 09:12:51 am
ok, ich hab was für dich:
kommst du bei aufgabe 1 auf die richtigen eigenwerte? wenn ja, wie? (vorgehen reicht)
ich bestimmte ganz normal das charakteristische polynom

[latex]$x^2 - 6x - 2xi - 12i + 8 = 0\\
(x^2 - 6x + 8) + i(-2x-12)\\
(I): x^2 - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2; 4\\
(II): -2x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = -6$\\
[/latex]

das bringt mich aber nicht zur lösung
wenn ich x noch aufspalte x = a + bi komm ich auf was ganz bescheuertes
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: dux on August 14, 2010, 10:08:38 am
hi hat vll jemand die klausur feb. 2008 gerechnet und könnte mal die 4b einigermaßen detailliert reinstellen
komme irgendwie nich auf die gegebene lösung vom prof. grossmann
danke schonmal
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 14, 2010, 11:11:41 am
ok, pass auf
[latex]$x^3 \sqrt(1+x^2) = \frac{d}{dx}[(\alpha + \beta x^2)(1+x^2)^{\frac{3}{2}}]$\\
rechte Seite ableiten nach x:\\
$2x\beta (1+x^2)^\frac{3}{2} + (\alpha + \beta x^2)\frac{3}{2}(1+x^2)^\frac{1}{2} \cdot 2x$\\
Ganze Gleichung durch $\sqrt{1+x^2}$ teilen:\\
$x^3 = 2x\beta (1+x^2) + 3x(\alpha +\beta x^2)$\\
Koeffizientenvergleich \\
$x^3 = x^3 (5\beta ) + x(3\alpha + 2\beta )$\\
(x³): $ 1 = 5\beta \Rightarrow \beta = \frac{1}{5}$\\
(x): $0 = 3\alpha + 2\beta \Rightarrow \alpha = \frac{-2}{15}$[/latex]

ach quark, du wolltest ja b!
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Post by: Rollo-derWikinger on August 14, 2010, 12:05:03 pm
aber du hast ja die formel aus a), nur dass in der wurzel eben f'(x)² anstatt x steht
[latex] substituiere: $y=f'(x)=2x \\
y^2=4x^2\\
y^3=8x^3 \Rightarrow x^3=\frac{y^3}{8}\\ \\
\int x^3 \sqrt{1+x^2} = (-\frac{2}{15}+\frac{1}{5}x^2)(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\\
J_y = \frac{2\pi p}{8} \int y^3 \sqrt{1+y^2} = \frac{2\pi p}{8}(-\frac{2}{15} +\frac{1}{5}y^2)(1+y^2)^{\frac{3}{2}}$\\
mit $y=f'(x)=2x $ folgt \\

$J_y = \frac{2\pi p}{8}(-\frac{2}{15}+\frac{1}{5} 4x^2)(1+4x^2)^{\frac{3}{2}}$\\
in den Grenzen von 0 bis $\frac{\sqrt{3}}{2}$ :\\

J_y =58\pi$
[/latex]
irgendwo is noch der wurm drin oder ich hab mich verrechnet, aber so die richtung müsste es gehen. es fehlt mir noch irgendwo ein 1/2
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: aviator-sbh on August 14, 2010, 01:14:43 pm
Hab mir mal erlaubt, deine Rechnung zu korregieren:

Quote from: Rollo-derWikinger
[latex] substituiere: $y=f'(x)=2x \\
y^2=4x^2\\
y^3=8x^3 \Rightarrow x^3=\frac{y^3}{8}\\ \\
\int x^3 \sqrt{1+x^2} = (\frac{1}{5}x^2 -\frac{2}{15})(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\\
J_y = \frac{2\pi p}{8} \int y^3 \sqrt{1+y^2} = \frac{2\pi p}{8}(\frac{1}{5}y^2 -\frac{2}{15})(1+y^2)^{\frac{3}{2}}$\\
mit $y=f'(x)=2x $ folgt \\

$J_y = \frac{2\pi p}{8}(\frac{1}{5}4x^2 -\frac{2}{15})(1+4x^2)^{\frac{3}{2}}$\\
in den Grenzen von 0 bis $\frac{\sqrt{3}}{2}$ :\\

J_y = 58\pi$
[/latex]
Du hast das y in der ersten Klammer hinter dem [latex]$\frac{2\pi60}{8}$[/latex] an den zweiten Summanden geschrieben, statt an den ersten. Allerdings muss laut Lösung 29Pi rauskommen. Wo mein Fehler jetzt noch liegt, weiß ich nicht.
Außerdem ist Jy, wenn man 0 einsetzt nicht gleich 0, sondern 2Pi.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 14, 2010, 01:23:49 pm
^^ ich war grad am editieren, weil mir der fehler auch aufgefallen is. wo das 1/2 nun fehlt hab ich aber noch nich rausgefunden
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Post by: Brüllmücke on August 14, 2010, 01:48:15 pm
Hat denn schon jemand ein "vollständiges" Ergebnis der Aufgabe 3 / Februar 2002 Großmann? Auf eine ähnliche pq Formel sind wir auch gekommen. Nur wie geht es weiter oO?
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Post by: aviator-sbh on August 14, 2010, 02:05:43 pm
Quote from: Brüllmücke
Hat denn schon jemand ein "vollständiges" Ergebnis der Aufgabe 3 / Februar 2002 Großmann? Auf eine ähnliche pq Formel sind wir auch gekommen. Nur wie geht es weiter oO?

Meinst Du die Aufgabe mit dem komplexen z und dem Parameter d?

Ich hab da als Lösung alle z mit Re(z) = Im(z). Dies findet man durch Überlegen folgendermaßen heraus: d² = Re(z)² + Im(z)², bzw. (x - 1)² + y² = x² + (y - 1)². Da beide linken Seiten = d bzw. d² sind, hab ich sie gleichgesetzt. Einmal wird 1 vom Realteil abgezogen und einmal vom Imaginärteil (z-i).
Man erkennt, dass sich die Gleichung nur für x = y lösen lässt.
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Post by: Brüllmücke on August 14, 2010, 02:18:12 pm
Vielen Dank! Das ist es!
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Post by: tobi0123 on August 14, 2010, 02:24:06 pm
Aufgabe 3: quadratische formel gelöst und in z=x+ix eingesetzt
x1,2=(1+-sqrt(2d^2-1))/2 mit der einschränkung d ist reell und d>=sqrt(1/2)

z1=x1(1+i)
z2=x2(1+i)


Aufgabe 5:
auf die allgemeine, homogene lsg, die rollo hier gepostet hat, komm ich auch.
ansatz der partikulären lösung???
yp(x)=(a*sin(x)+b*cos(x))*x+c*e^(4x)*x^2+d*x+e

störfunktion r(x) in 3 summanden zerlegt. den ansatz für sin(x) hab ich mit x multipliziert, den ansatz für e^(4x) mit x^2 multipliziert und beim ansatz für x keine resonanz (!?)
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Post by: dizZzl on August 14, 2010, 03:47:35 pm
also bei der 6.  von feb 2002

Quote from: Rollo-derWikinger
[latex]$ \lambda_{1} = -1 \\ \lambda_{2} = 2 + i \\ \lambda_{3} = 2 - i \\

\vec{EV_{1}} \left(\begin{array}{c}0\\0\\1 \end{array}\right)\\

\vec{EV_{2}} \left(\begin{array}{c}1\\-i\\i + 2 \end{array}\right)\\

\vec{EV_{3}} \left(\begin{array}{c}1\\i\\2 - i \end{array}\right)$[/latex]

soweit geh ich auch mit, wie du es bei den eigenvektoren siehst, sind die ja konjugiert komplex... und dann wie schon einmal gesagt, die allgemeine lösung nach dem vetters-blatt... das wird dann aber schon ziemlich lang...

was ich dann noch komisch finde, mit der anfangsbedingung... die sinus und e^x  fallen ja raus, bzw werden 1...also bleiben nur noch 5 C's übrig, lass ich die alle so stehn?
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Post by: Rollo-derWikinger on August 14, 2010, 05:38:22 pm
jap, die 3 konstanten bleiben da so stehen. is halt die allgemeine lösung

[latex]
$y_h(x) = C_1 e^{-x}\left(\begin{array}{c}0\\0\\1 \end{array}\right)+C_2 e^{2x}[\left(\begin{array}{c}1\\0\\2 \end{array}\right)cos(x) - \left(\begin{array}{c}0\\-1\\1 \end{array}\right)sin(x)]\\+C_3 e^{2x}[\left(\begin{array}{c}1\\0\\2 \end{array}\right)sinx+\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1 \end{array}\right)cosx]$\\[/latex]

richtig eklig wäre nur, denn das system inhomogen wär, aber ich denk fr sowas gibts computer

für b kriegste dann ein gleichungssystem von C1, C2 und C3
I: C2 = 1
II: -C3 = 1
III: C1 + 2C2 + C3 = 1

Also C1=0 C2=1 C3=-1
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: bleda on August 14, 2010, 05:40:03 pm
falls jmd kein matheprogramm hat, kann ich die schöne suchmaschine empfehlen

http://www.wolframalpha.com/
dgl-funktion oder was auch immer eintippen und ergebnis überprüfen. das programm ist zuverlässig, manche lsg im übungsbuch sind nicht korrekt! schon 2 gehabt, die mich zur weißgluht trieben -.-
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: scholzi on August 14, 2010, 06:16:44 pm
@rollo: Müsste in deiner homogenen Lösung beim C1 nicht noch der Eigenvektor zum Eigenwert -1 stehen?? der lautet bei mir(0,0,1).
Dann erhalte ich beim einsetzen der AWA und lösen des LGS für C1=0, C2=1, C3=-1.
Diese Werte hab ich dann in die allgemeine lösung eingestzt und erhalte dann eine Lösung ohne Konstanten.
So war das auch bei den Übungsaufgaben mit Anfangswerten. Da hat man auch immer eine spezielle Lösung ohne Konstanten erhalten.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: clausi on August 14, 2010, 06:28:26 pm
Weis jemand, wie man bei der 6. Aufgabe bei der Klausur vom 28.2.2002 auf die Eigenvektoren kommt? der erste mit (0/0/1) ist ja noch einleuchtend, aber bei den anderen 2 komm ich einfach nicht drauf!
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Post by: Rollo-derWikinger on August 14, 2010, 06:58:55 pm
@scholzi: jap, hast recht. ich verlier bei latex immer die bersicht und rechne dann falsch weiter, editier das gleich

@clausi: mit pq-formel solltest du ja eigentlich auf die beiden weiteren eigenwerte [latex] $\lambda_{2/3} = 2 \pm i$[/latex] kommen.

die jagst du genau wie -1 durch die matrix und holst dir die werte für deinen eigenvektor. den kann man schon fast so ablesen.
es bleibt für 2+i:

-i  -1  0
5  -5 -3-i

(die zweite zeile is mist), noch zwei umformungen und man findet
v1=v1
v2=-v1*i
v3=(i+2)v1

setz v1 = 1 und alles is in butter
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Post by: adeptus mechanicus on August 14, 2010, 07:14:21 pm
zur aufgabe 6:
 
EW: -1 , 2 - i , 2 + i
EV: meine sind (0,0,1) , (i,1,1-2i) , (-i,1,1+2i) . es sind an der stelle natürlich noch unendlichviele andere auch möglich, sie müssen nur linear abhängig von meinen sein (sofern meine stimmen). so geht z.b. (0,0,4) statt (0,0,1)
 
beim AWA-teil komme ich auf: C1 = -2 , C2 = 1 , C3 = -i
 
@rollo:  wir haben ja die gleichen EW, aber ich denke deine EV sind nicht richtig: (1,i, -2+i) statt (1,i, 2- i) müsste da herauskommen
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Post by: joko on August 14, 2010, 07:17:43 pm
Quote from: Rollo-derWikinger
@clausi: mit pq-formel solltest du ja eigentlich auf die beiden weiteren eigenwerte [latex] $\lambda_{2/3} = 2 \pm i$[/latex] kommen.

die jagst du genau wie -1 durch die matrix und holst dir die werte für deinen eigenvektor. den kann man schon fast so ablesen.
es bleibt für 2+i:

-i  -1  0
5  -5  1-3i

(die zweite zeile is mist), noch zwei umformungen und man findet
v1=v1
v2=-v1*i
v3=(i+2)v1

setz v1 = 1 und alles is in butter

mein gleichungssystem sieht ein wenig anders aus....
in der 3. zeile komm ich auf 5 -5 -3-i

aber irgendwie kommt danach wenig schönes raus -.-
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 14, 2010, 07:28:33 pm
@joko: tippfehler, my bad
@mech: schon möglich. hab aber ehrlich gesagt keine lust die aufgabe nochmal zu rechnen ;)
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 15, 2010, 08:22:00 am
ok, ich hab noch mal was: august 2007 aufgabe 4b:
Mit Hilf der Taylor-Reihe der Funktion [latex]$e^x$[/latex] gebe man die Taylor-Reihe von f mit der Enwicklungsstelle [latex]$x_0=0$[/latex] an. Man bestimme mittels dieser den Wert [latex]$f^{(9)}(0)$[/latex] ohne neunmalige Differentiation von f.

[latex] $f(x) := (x^3-3)e^{-x}$[/latex]

in de lösung schreibt er einfach

[latex] $(x^3-3) \sum_{j=0}^{\infty}(-1)^j\frac{1}{j!}x^j$[/latex]

was einfach nur [latex] $(x^3-3)$[/latex] mal die Taylorreihe von [latex] $e^{-x}$[/latex] is. ich versteh nich so ganz, warum er die klammer so unbehelligt lässt. ??


außerdem krieg ich für märz 2005 1.b immer noch keine lösung. könnte das mal wer posten? demjenigen wäre ich sehr verbunden
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: adeptus mechanicus on August 15, 2010, 09:37:41 am
2005 1.b) W1= 2i , W2= -2
 
einfach w = a + b i ein setzen in und dann nen koeffizientenvergleich mit i und nicht-i durchführen... man kommt auf 2 gl. und mit a und b hat man 2 unbekannte. oder nich ?
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: florian1 on August 15, 2010, 09:39:43 am
Hallo hat jemand von euch schon die aufgabe 6 b 2008 gerechnet ich komm da einfach nicht auf die lsg von großmann ich hab mit den ganzen so angefangen halt yp=cyh1, y`p=c`yh1+cyh1; y``p=c``yh1+c`yh1+cyh1+c`yh1 und das in die DGL eingesetzt Das problem ist, dass sich dann nicht alle cs so aufheben wie sie sollen es bleiben dann noch c``und c` in DGL übrig. Entweder hab ich nen Fehler in den Ableitungen (was ich aber nicht glaube) oder die Sache geht sio nicht vielleicht muss ich y`=z setzen um die Ordnung zu reduzieren aber selbst damit komm ich auch nicht auf die richtige Lösung. Also falls jemand die aufgabe gemacht hat und auf die richtige lsg gekommen ist, wäre es sehr nett wenn er das mal hier reinstellen könnte
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 15, 2010, 10:23:00 am
@mech: im prinzip schon, aber wie machstn mit den beiden gleichungen weiter?
ich hab dann

I: a²-b²+2a+2b=0
II:2ab+2b-2a-4=0

form ich die zweite nach a um komm sowas wie a= (2-b)/(b-1) raus und wenn ich das in die erste einsetz kommt großerhumbug raus, denn ich höchstens mit schätzen lösen kann.

übrigens is deine lösung richtig
[latex]\omega_1=-2\\
\omega_2=2i\\
\omega_3=2i-2\\$[/latex]

wobei -2 ja nicht wirklich ne komplexe lösung ist.
außerdem dachte ich immer die lösung wäre a und b wieder zusammengesetzt zu w=a+bi?

@florian: für die variation der konstanten reicht die 1. ableitung (n-1=1)
du müsstest ja rausbekommen haben:
[latex]
$y_1(x)=e^0=1\Rightarrow y_1'(x)=0\\
y_2(x)=e^x \Rightarrow y_2'(x)=e^x\\
y_h(x)=C_1y_1+C_2y_2$\\ \\
Variation der Konstanten:\\
$C_1'y_1+C_2'y_2=0\\
C_1'y_1'+C_2'y_2'=\frac{1}{2-e^{-x}}\\ \\
$C_1'+C_2'e^x=0\\
(C_1'\cdot 0)+C_2'e^x=\frac{1}{2-e^{-x}}\\
\Rightarrow C_2'=\frac{e^{-x}}{2-e^{-x}}$
Die Integration von C2 löst du dann mit Integral 246 im Merziger auf S.109\\
$C_1'=-C_2'e^x$ (Integral 245)\\ \\
$C_1=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}ln|2+e^{-x}|\\
C_2=-ln|2+e^{-x}|\\$[/latex]

das sollte die lösung sein wenn mans zusammensetzt.
hoffe ich konnte dir helfen
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Vakuole on August 15, 2010, 02:08:37 pm
Klausur 2002 A1

Wir verstehen da die Schreibweise nicht, hat jemand einen Ansatz wie ich da bei der a dran gehen soll.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: MichaS on August 15, 2010, 03:59:13 pm
Was verstehst du denn bei der Aufgabe nicht? Die Aufgabe sagt dir, wie lang dein Vektor a und b ist. Weiterhin sind die "Winkel" zwischen den Vektoren und den beiden Koordinatenachsen 1 und 2 gegeben. Dann nutzt du die Definition vom Skalarprodukt und bestimmst somit die einzelnen Komponenten: erst 1 dann 2. Die dritte erhälst du schließlich aus der Länge des Vektors und den mittlerweile bekannten Koordinaten, sowie der Kenntnis, dass cos(e3,a) >=0 ist.
und fertig...
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: MichaS on August 15, 2010, 04:00:51 pm
@rollo: jede reelle Zahl ist auch eine komplexe, daher ist 2 auch eine komplexe Zahl!
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Basti on August 15, 2010, 04:05:15 pm
Aufgabe 5b Klausur vom februar 2008

Wie ist der rechenweg um auf die spezielle Lsg zu kommen v(x)? Danke
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: heppy on August 15, 2010, 04:16:11 pm
Haben gerade die Aufgabe 4 von 2004 gerechnet und würden gerne die Ergebnisse vergleichen:

a)  [latex] $r(x)=0$[/latex]

Steht ja dann auch in der Aufgabe b)

b) [latex] $y_{H}=c_{1}x + c_{2}x^2 + c_{3}\frac{1}{x}[/latex]

da [latex] $r(x)=0$ gilt, ist $y_{H}=y$[/latex]

Danke für Antworten oder Korrekturen :)
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 15, 2010, 04:39:41 pm
@basti: der ansatz steht ja da
[latex]$y_2(x)=v(x)y_1(x)$\\
zweimal ableiten und in ursprüngliche DGL einsetzen: \\
$y_2'(x)=v'(x)y_1(x) + v(x)y_1'(x)\\
y_2''(x)=v''(x)y_1(x) + 2v'(x)y_1'(x) + v(x)y_1''(x)$\\ \\[/latex]

v(x) muss dabei herausfallen. jetzt ganz normal v bestimmen und in die erste gleichung einsetzen und man bekommt y2
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: MichaS on August 15, 2010, 04:56:11 pm
und wie bestimmt du v(x) nun? charakteristisches polynom nützt nichts. substitution leifert zwar etwas mit exp(2x²) aber es kommt noch ein weiterer faktor dazu und exp(2x²) lässt sich nicht elementar integrieren...
also WIE?

habs hinbekommen...das Integral x*exp(2x²) = (1/4) exp(2x²), woraus die Lösung folgt...
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: plumps on August 15, 2010, 05:49:12 pm
Bei der Klausur Februar 2002 ist in Aufgabe 5b) ja nach dem Ansatz für die partikuläre Lösung gefragt.
Heißt das, ich muss da nur die homogene Lösung nehmen und die C in Abhängigkeit von x darstellen? Oder wie weit muss man das machen?
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 15, 2010, 06:23:13 pm
also ich persönlich mach das ja immer mit variation der konstanten, weil das im gegensatz zu störgliedansatz immer geht, auch wenns manchmal länger dauert.
vdk geht so:

[latex] Du machst n Gleichungen (n ist die ordnung deiner DGL)\\
$y_1(x)\cdot C_1'(x) + y_2(x)\cdot C_2'(x) + ... + y_n(x)\cdot C_n'(x)=0\\
y_1'(x)\cdot C_1'(x) + y_2'(x)\cdot C_2'(x) + ... + y_n'(x)\cdot C_n'(x)=0$\\
(...)\\ \\
$y_1^{(n-2)}(x)\cdot C_1'(x) + y_2^{(n-2)}(x)\cdot C_2'(x) + ... + y_n(x)^{(n-2)}\cdot C_n'(x)=0\\
y_1^{(n-1)}(x)\cdot C_1'(x) + y_2^{(n-1)}(x)\cdot C_2'(x) + ... + y_n(x)^{(n-1)}\cdot C_n'(x)=r_(x)$[/latex]

in diesem fall wäre n LGS mit n=5 gleichungen. ausrechnen brauchste nich, weil will ja nur den ansatz
klar oder muss ich noch den kompletten ansatz einhacken?
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: plumps on August 15, 2010, 06:50:25 pm
ok danke dir, war mir nicht so ganz sicher, wie weit man das machen muss, wenn nach dem Ansatz gefragt ist. vdk muss ich mir sowieso noch mal anschaun...
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: oOpauleOo on August 16, 2010, 09:46:08 am
sagtmal hat jemand was zur 1b 10.August 2007?

auch bei der 6 b seh ich noch nicht so ganz den sinn dahinter...ich mein ich hab doch ne super lösung in 6a errechnet,und was will er jetzt?

also bei der 1b habed ich raus: z=[ln(2)]^1/2 +(pi/4)i
aber irgendwie finde ich das komisch...

vielen dank schonmal!

Ps: seht ihr das auch so, dass die schwierigkeitsgrade extrem unterschiedlich sind?
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 16, 2010, 11:09:58 am
1.b)
[latex]$e^z=e^{x+iy}=e^x(cos(y)+isin(y))=1+i\\
I:e^xcos(y)-1=0\\
II:e^xsin(y)-1=0\\
y=arctan(1)= \frac{\pi}{4}\\
x=ln(\sqrt{2})\\
z=ln(\sqrt{2})+\frac{i\pi}{4}$\\[/latex]

bei der 6 solltest du ja eigentlich noch irgendwo n c stehen haben, wegen der fehlenden randbedingung. du suchst jetzt das c für das y(-1)=-e ist
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: oOpauleOo on August 16, 2010, 12:15:26 pm
dankesehr...die komplexe aufgabe hab ich ja auch so...aber das andere ding muss ich mir nochmal genau angucken, aber erst morgen ;)

grüße und viel erfolg in GL morgen
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 16, 2010, 12:17:58 pm
ich hab die 6 noch nicht gerechnet, aber exakt wird die doch erst mit nem integrierenden faktor oder?
ab recht haste: erstmal GL. dir auch viel erfolg!
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: oOpauleOo on August 16, 2010, 01:23:36 pm
aber wenn ich die 6a gelöst habe, dann habe ich doch das c ausgerechnet...ich habe zuerst c'(x) durch die allg. lsg der exakten DGL und dann integrier ich das...soweit komm ich dann meiner meinung nach auf ein c(x) und kann so die gleichung lösen...oder ist das nicht richtig?für exakte dgls braucht man doch keine nebenbedingung oder?
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 16, 2010, 02:00:03 pm
merziger s.155 unten
eine DGL heißt exakt, falls es eine Funktion F(x,y) gibt mit... (die willst du ja bekommen)
... die Lösungen der DGL sind dann implizit gegeben durch F(x,y)=c (...) gegeben (Niveaulinien von F).

und du willst nun genau die niveaulinie haben
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Christian Steglich on August 16, 2010, 05:32:39 pm
Hat jemand zufällig nen Ansatz zu der Aufgabe 4a? Irgendwie weiß ich nicht so recht wie ich da ran gehen soll! Vor allem mit der vorgegebenen Lösung y(x)=1/x?
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 16, 2010, 05:53:29 pm
datum wär hilfreich. ich denk mal du meinst 2004?
das is ne inhomogene euler DGL (merziger s.161)
kann man also reduzieren
am ende hast du noch ne gleichung y(x)=....+c und das c bestimmst du dann mit dem ansatz y(x)=1/x und daraus folgt dann r(x)
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Vakuole on August 16, 2010, 06:44:58 pm
Ich dachte mal ich stelle mal meine Ergebnisse online, ein Paar Aufgaben hab ich ncoh nicht gerechnet (die lasse ich offen):

Großmann 29.02.08

1.


2.
a)
u=(3,0,-3)
v=(-1,2,-1)

b)
LL^Tx=b
Ich setzte:
L^Tx=w -> Lw=b w=v
weil:
L^Tx=w = L^Tx=1/3a , weil w ein vielfaches von a ist
->Auflösen:
x=1/3u= (1,0-1)
c)
det(L)=2
det(LL^T)=det(L)^2=4
d)
x^TL^TLx>0
->
Lx=y und L^Tx^T=y^T
dadurch: x^TL^TLx=y^Ty
y^Ty-> Skalarprodukt, ist bei gleichen Vektor nicht null und immer positiv
y^T*y=|y^2|


3.)
a)
p(x)=-0,5x^2+3x-2xy-2.5y+3y^2+2,5
b)
Ableitungen bilden Hessematrix aufstellen D>0 -> Extremstelle
fxx>0 rel. Minimum

c)
x=(8,-5,25)  <- ist falsch, ich versuch aus der Lösung schlau zu werden

4.)
hab da auch keinen wirklichen Ansatz :glare:
wurde die schon mal vorgerechnet hier?

5.)
hab ich noch nicht gerechnet kommt noch

6.)
a)
yH= c1+c2*e^x
b)
yS=-(x/2+1/2*ln|2-e^-x|)+(-x+1/2*ln|2e^x-1)+e^x

2007 hab ich auch schon zu Teil durch, wenn Interesse besteht stelle ich die Ergebnisse da auch online


PS: Ich übernehme keine Garantie für Richtigkeit:P

EDIT: Mir ist gerade aufgefallen, das beim Großmann die Lösung von 2008 gibt. Ich lass es trotzdem mal stehen, weil ich ein paar andere Ansätze habe (2.c) und ein anderes Ergebnis (bei 3a) ich hab das Polynom aus multipliziert.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: aviator-sbh on August 16, 2010, 07:33:39 pm
Quote from: Vakuole
Ich dachte mal ich stelle mal meine Ergebnisse online, ein Paar Aufgaben hab ich ncoh nicht gerechnet (die lasse ich offen):

Großmann 29.02.08
...
4.)
hab da auch keinen wirklichen Ansatz :glare:
wurde die schon mal vorgerechnet hier?
...

Wurde schon weiter vorne von Rollo beschrieben.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Zweifler on August 17, 2010, 09:23:52 am
Guten Morgen,

mal ein paar Ergebnisse zum Vergleich und zudem paar Fragen:
Wäre schön, wenn jemand die Ergbenisse bestätitigen, oder ggf. berichtigen könnte:

1.a) Lösungen existieren nur für c größer gleich 0; w = -1 + i (-1+sqrt(c)) bzw. w = -1 + i (-1-sqrt(c))

1.b) z = sqrt(2)*e^(i*φ)-2+i mit φ1= π/4; φ2= 11π/12; φ3= 19π/12; mit φ1: z1=-1+2i

2.a) K=1/sqrt((at)^2)

2.b) Symmetrie zur x-Achse, NAchweis über x(-t)=x(t), ergibt mit t=0 dann letztlich cos(0)=cos(0)

2.c) M=-0,5+ln(2)

3.a) p2(x)=x^2 * (2f(0)-4f(1/2)-2f(1)) + x * (-3f(0)+4f(1/2)+f(1)) + f(0)

...und dann verließen sie ihn...

I[p2] wäre doch das Integral von p2(x)/sqrt(x) in den Grenzen von 0 bis 1, oder?
MIt welchem Ansatz sollte man hier vorgehen, und wie löse ich denn anschließend die gegebene Gleichung?

Edit:

4.a) y(x)=x^-1 3mal ableiten und alles in DGL einsetzen liefert: r(x)= -6x^7 + 4 x^5 - x^3 + x^-1

4.b) y(x)=A*x^-1 + B*x + C*ln(x)*x
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 17, 2010, 10:04:23 am
der ansatz ist das lagrange-interpolationspolynom (mer 178)
du hast 3 wertepaare gegeben:
[latex]
$x_1=0\\
x_2=\frac{1}{2}\\
x_3=1\\
y_1=f(0)\\
y_2=f(\frac{1}{2})\\
y_3=f(1)$\\
die formel:\\
$p(x)=\sum\limits^{n}_{i=0} y_i\cdot l_i\\
$mit:  $ l_i=\prod\limits^{n}_{j=0, j \not = i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$\\

d.h. in diesem fall:\\
$p_2(x)= f(0) \frac{(x-\frac{1}{2})(x-1)}{(0-f(\frac{1}{2}))(0-f(1))}
+ f(\frac{1}{2}) \frac{(x-0)(x-1)}{( \frac{1}{2} -f(0))( \frac{1}{2} -f(1))}
+ f(1) \frac{(x-0)(x- \frac{1}{2} )}{(1-f(0))(1-f( \frac{1}{2} ))}
$[/latex]

fertig is das lagrange-interpolationspolynom. damit kann man jetzt weiter machen.
integrieren und w0 müsste dann der erste inegrierte therm mit f(0) sein
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Zweifler on August 17, 2010, 10:08:29 am
Eben dieses wie weitermachen, wäre meine Frage. ;)
Das Interpolationspolynom habe ich ja schon aufgelöst und zusammengefasst da stehen.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: tobi0123 on August 17, 2010, 10:15:13 am
@ rollo: die formel, die du aus dem merziger angegeben hast, ist ja richtig. aber das was du eingesetzt hast, seh ich nich so.
im nenner steht immer xi-xj, also nix mit 0-f(1/2) sondern 0-1/2 usw.

@ zweifler: p2(x) hab ich auch so. und da das ganze so schön nach potenzen von x geordnet ist, kann man's doch fix duch sqrt(x) teilen, dann integrieren in den grenzen von 0 bis 1 !?

dann komm ich auf I[p2]=4/5*f(0)+16/15*f(1/2)-2/15*f(1)
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 17, 2010, 10:26:13 am
@tobi: joa is richtich
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Johannes@VT on August 17, 2010, 11:01:13 am
Also bei der Klausur 2004/1  bei der 4b

komme ich auf dei Allg Lsg [latex]$ Ax+ B/x+Cxlnx [/latex]

weil ja die Rücksubstitution [latex]$ x=e^t [/latex] dies liefert

hat jmd eine andere Lösung???
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: tobi0123 on August 17, 2010, 11:08:05 am
Quote from: Johannes@VT
Klausur 2004/1  bei der 4b komme ich auf dei Allg Lsg [latex]$ Ax+ B/x+Cxlnx [/latex]

hab ich auch so.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Zweifler on August 17, 2010, 11:25:34 am
Danke Tobi, werde es gleich noch mal so probieren.

weiter mit den anderen Aufgaben dieser Klausur:

5.a) (1) ist keine exakte DGL, (2) und (3) hingegen schon; (1) lässt sich mit μ(x)=e^(1/2*x^2) überführen

5.b) x=ln(-cos(y)+2)-y
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: tobi0123 on August 17, 2010, 11:31:59 am
Quote from: Zweifler
5.a) (1) ist keine exakte DGL, (2) und (3) hingegen schon; (1) lässt sich mit μ(x)=e^(1/2*x^2) überführen

5.b) x=ln(-cos(y)+2)-y
:up:
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: heppy on August 17, 2010, 12:18:30 pm
Habe gerade in einem alten Fred eine Lösung für die Klausur von 2004 gefunden (Prof. Großmann):

die Lösung von 4b) lautet: [latex]$y=y_{H}=c_{1}x+c_{2}xln (x)+c_{3}\frac{1}{x}$[/latex]

Quelle: http://www.bombentrichter.de/attachment.php?attachmentid=3140&d=1186648383 (http://www.bombentrichter.de/attachment.php?attachmentid=3140&d=1186648383)

Viel Spaß damit :)
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: vorni on August 17, 2010, 03:29:28 pm
Kann mir jemand bei der 2005er Klausur auf die Sprünge helfen? Ich hänge da gerade am komplexen Eigenvektor für lambda2/3 = 2 +- i. Eigenwert einsetzen, alles klar. Aber dann komme ich irgendwie nicht weiter..:blink:
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Christian Steglich on August 17, 2010, 03:37:28 pm
ich denke mal du meinst die Aufgabe 3 - ich glaub dein EW ist nicht ganz richtig die EW sind 2;2+2i;2-2i naja und die setzt du nacheinander wieder als lambda ein bekommst die EV (1,0,0);(-2i,1,1); (2i,1,1) - die musst du dann in deine Lösung mit einsetzen und die Gleichung auflösen also so müsstes grob aussehen:
y= C1* exp(2x)*(1. EV) + C2*exp((2-2i)*x) *(3.EV) +C3*exp((2+2i)*x)*(2.EV) - ja dann musst du mit der gleichung etwas hin und her jonglieren um ein vernünftiges Ergebniss zu bekommen also (Realteil und Imaginärteil separieren...) um dann später noch die Bedingung einzusetzen!
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Zweifler on August 17, 2010, 03:48:05 pm
Noch zu 2004/1:

6.c)
Die Lsg. kann man ja dem pdf von heppy entnehmen und bei dem Bb komm ich auch noch mit, aber wie kommt man denn auf das x=... ?
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: adeptus mechanicus on August 17, 2010, 06:06:31 pm
Quote from: Rollo-derWikinger
@basti: der ansatz steht ja da
[latex]$y_2(x)=v(x)y_1(x)$\\
zweimal ableiten und in ursprüngliche DGL einsetzen: \\
$y_2'(x)=v'(x)y_1(x) + v(x)y_1'(x)\\
y_2''(x)=v''(x)y_1(x) + 2v'(x)y_1'(x) + v(x)y_1''(x)$\\ \\[/latex]
 
v(x) muss dabei herausfallen. jetzt ganz normal v bestimmen und in die erste gleichung einsetzen und man bekommt y2

 
das is aufagbe 4 von 2005/1
 
ich seh gerade nich ganz wie v(x) rausfallen soll, wenn y1(x) = 1 + e^x -> y1'(x) = y1''(x) = e^x
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: plumps on August 17, 2010, 09:42:28 pm
Quote
ich seh gerade nich ganz wie v(x) rausfallen soll, wenn y1(x) = 1 + e^x -> y1'(x) = y1''(x) = e^x

na du leitest ja dein y2 zweimal ab, dann setzt du die ableitungen und so in deine ausgans-DGL ein.
wenn du das ganze jetzt ordnest nach v, v' und v'', dann steht in der  klammer von v wieder deine Ausgangs-DGL. und die ist ja =0, deshalb  fällt v weg. dann kannst du noch bissl umordnen und ausmultiplizieren  und kommst dann irgendwann auf 2v' + v'' =0
und der rest ist ja recht simpel dann.
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Post by: Mekis on August 17, 2010, 10:05:49 pm
August 2007 Grossmann Aufgabe 4
 
bei c: bis zu welchem glied muss ich dort ableiten, eigentlich ja immer so weit wie meine höchste potenz ist, diese ist aber in diesem fall ^-3/4
 
kann mir da jemand helfen?
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Post by: plumps on August 17, 2010, 10:18:57 pm
hätt auch noch ne Frage zu august 07 Grossmann:
bei 2.c) hab ich die Lösungen x bestimmt, mir ist allerdings nicht klar, wie ich mit diesen x die eigenvektoren von AtA bestimmen soll.

und dann noch bei 3.a), da komm ich irgendwie nicht auf die c, ich hab die partiellen ableitungen gebildet, und damit es Extremstellen geben kann, müssen die doch =0 sein, es müssen also stationäre Punkte vorliegen... aber irgendwie komm ich da trotzdem nicht weiter:nudelholz:, wär nett, wenn mir jemand auf die Sprünge hilft :D
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Post by: lorbeer on August 17, 2010, 11:05:04 pm
Quote from: plumps
hätt auch noch ne Frage zu august 07 Grossmann:


und dann noch bei 3.a), da komm ich irgendwie nicht auf die c, ich hab die partiellen ableitungen gebildet, und damit es Extremstellen geben kann, müssen die doch =0 sein, es müssen also stationäre Punkte vorliegen... aber irgendwie komm ich da trotzdem nicht weiter:nudelholz:, wär nett, wenn mir jemand auf die Sprünge hilft :D

Die drei partiellen Ableitungen sehen so aus:

f_x = 2cx + 2y = 0
f_y = 2y - 2c + 2x = 0
f_z = 2z * (3-c) -1 = 0

Das habe ich dann in ein LGS übertragen- da sehe ich einfacher, wann es Lösungen geben kann und wann nicht:

[latex]

\begin{matrix}  x&y&z \\    2c & 2 & 0 &| & 0\\ 2 & 2 & 0 &| & 2c \\ 0 & 0& 6-2c & |&1 \end{matrix}

[/latex]

Aus Zeile 3 sieht man, daß es für c=3 keine Lösung geben kann.

Für c = 1 steht in Zeile 1 und 2 auf der linken Seite das gleiche, aber auf der rechten Seite nicht => ebenfalls keine Lösung.

Für die anderen Fälle muss man die Gleichungen umformen, z.B. Zeile 1 - Zeile 2 ergibt:

(2c-2)*x = - 2c => x = -2c / (2c-2) = -c / (c-1)
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Post by: Rollo-derWikinger on August 18, 2010, 07:56:48 am
zu Aufgabe 4 2005:
du setzt y2(x), y2'(x) und y2''(x), so wie in dem zitat eben beschrieben in deine ursprüngliche DGL ein
[latex]
&y_2(x)=v(x)y_1(x)=v(x)(1+e^x)\\
y_2'(x)=v'(x)y_1(x)+v(x)y_1'(x)=v'(x)(1+e^x)+v(x)e^x\\
y_2''(x)=v''(x)y(x)+2v'(x)y'(x)+v(x)y''(x)=v''(x)(1+e^x)+2v'(x)e^x+v(x)e^x\\
\\(1+e^x)y''_2(x)+2y_2'(x)+a_0(x)y_2(x)=0\\
(1+e^x)[v''(x)(1+e^x)+2v'(x)e^x+v(x)e^x]+2[v'(x)(1+e^x)+v(x)e^x]+a_0v(x)(1+e^x)=0$[/latex]

das nennt man "Reduktionsverfahren von d'Alembert" und benutzt es immer bei linearen DGL höherer Ordnung mit variablen koeffizienten. dem reduktionsverfahren zufolge muss nach einsetzen der substitutionen der einfache variable koeffizient wegfallen. also a0 so wählen, dass sich v(x) kürzt

[latex]|:(1+e^x)\\
v''(1+e^x)+2v'e^x+ve^x+2v'+2v \frac{e^x}{1+e^x}+a_0v=0\\
\Rightarrow e^x + \frac{2e^x}{1+e^x}+a_0=0\\
\Leftrightarrow a_0=-e^x-\frac{2e^x}{1+e^x}$\\
hier im prinzip auch egal, weils eh rausfallen soll, aber damit hat man schonmal b)\\
es bleibt: $v''(1+e^x)+2v'(e^x+1)=0\\
e^x+1$ wird niemal 0, kann also gekürzt werden:\\
$v''+2v'=0$ es fehlt die 0-te ableitung: substituiere $z:=v'$ bzw. $z'=v''\\
z'+2z=0$ TdV liefert: $z(x)=e^{-2x}\cdot c_1$\\
Resubstituieren: $v'(x)=z(x) \Rightarrow v(x)=-\frac{e^{-2x}\cdot c_1}{2}+c_2\\
y_2(x)=y_1(x)v(x)=  [-\frac{e^{-2x}\cdot c_1}{2}+c_2](1-e^x)[/latex]
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 18, 2010, 08:01:37 am
@mekis: das taylorpolynome ist eine annäherung an eine funktion, die an der entwicklungsstelle genau gleich der funktion ist. je ofter man ableitet, desto genauer wird das polynom. im idealfall muss unendlich oft abgeleitet werden. hier steht aber "bestimme das zu f gehörige taylorpolynom 1. ordnung" also musst du nur einmal ableiten. der exponent der funktion hat nichts damit zu tun
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Post by: tobi0123 on August 18, 2010, 08:23:40 am
@ rollo:
[latex]
$z(x)=e^{-2x}\cdot c_1$\\

Resubstituieren: $v'(x)=z(x) \Rightarrow v(x)=-\frac{e^{-2x}\cdot c_1}{2}+c_2\\

[/latex]

bei der integration ist ein x im nenner, das da nich hingehört. kannst du das bitte noch ändern?

// wunderbar, dankeschön. ansonsten hab ich's auch so.
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Post by: Rollo-derWikinger on August 18, 2010, 08:37:54 am
sicher das.
sonst richtig, tobi?

hat noch jemand was kluges für 2007 2 c) und d)?
eigenwerte hab ich 13 und 7, eigenvektoren (1,1) bzw. (1,-1) komm dann aber nich weiter
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Post by: aviator-sbh on August 18, 2010, 09:01:31 am
4.3.2005 / 1b)

Quote from: Rollo-derWikinger
@mech: im prinzip schon, aber wie machstn mit den beiden gleichungen weiter?
ich hab dann

I: a²-b²+2a+2b=0
II:2ab+2b-2a-4=0

form ich die zweite nach a um komm sowas wie a= (2-b)/(b-1) raus und wenn ich das in die erste einsetz kommt großerhumbug raus, denn ich höchstens mit schätzen lösen kann.

übrigens is deine lösung richtig
[latex]\omega_1=-2\\
\omega_2=2i\\
\omega_3=2i-2\\$[/latex]

wobei -2 ja nicht wirklich ne komplexe lösung ist.
außerdem dachte ich immer die lösung wäre a und b wieder zusammengesetzt zu w=a+bi?


Sag mal, Rollo, wie kommst Du auf die 2i-2? M.W. handelt es sich hier um eine quadratische Gleichung, die nur zwei Lösungen haben kann. Ich hab die 2i-2 eingesetzt und es kommt Murks raus.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Mekis on August 18, 2010, 09:15:05 am
@ rollo
was du sagst ist schon richtig, aber schau mal bei c), dort sollst du die Taylorreihe für f bei x0=0 angeben, das ist doch dasselbe wie bei Teilaufgabe a) oder nicht?
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 18, 2010, 09:59:17 am
@aviator: is auch quatsch, hab ich auch schon festgestellt. natürlich kann eine quadratische gleichung nur 2 lösungen haben. mir ist aber bis heute nicht klar, wie man auf -2 bzw 2i kommt

@mekis: bei c sollst du garnicht ableiten. das taylorpolynom ist ja eine unendlich anzahl von gleidern der taylorreihe und um die geht es hier. du sollst auf der taylorreihe und deiner funktion ne neue reihe erstellen und den konvergenzradius bestimmen

[latex] Die allgemeine Taylorreihe:\\
$T_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$\\
an der stelle a=0: \\
$T_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}x^k$\\
nun überlegst du dir wie die k-te ableitung von f wohl aussieht...\\
$f^{(k)}=\prod (-\frac{3}{4}-(k-1))$\\
das würde mir dazu einfallen (nich schön)\\
zusammen:\\
$T_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\prod (-\frac{3}{4}-(k-1))}{k!}x^k$\\[/latex]

davon roll man jetzt irgendwie den konvergenzradius bekommen :nudelholz:

also wenn jemand was schöneres hat: bitte melden
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Post by: adeptus mechanicus on August 18, 2010, 10:49:48 am
okay, also hier mal was zu 2005, 1 b :
 
bis zum koeffizientenvergleich ís soweit alles klar denke ich:
 
i :     0 = a² - b² + 2a +2b    (1)
x°:    4 = 2ab + 2b -2a         (2)
 
dann stelle ich  (2) nach b um : b = (a+2) / (a+1)
 
das ergebnis für b setze ich dann in (1) ein, das führt auf: 0 = a^4 + 4a³ +6a² + 4a
 
also is a1 = 0 erste nullstelle ->   0 = a³ + 4 a² + 6a +4
 
nun "systematisch" probieren (die nächste nullstelle muss entweder 1,2,4,-1,-2 oder -4 sein)
 
a2 = -2 -> polynomdivision und man erhält: 0 = a² + 2a + 2
a3/4 = -1 +/- wurzel(-3) ... also komplex
 
da aber z = a + b i ist müssen a und b element der reellen zahlen sein -> a3/4 entfällt
 
nagut, und jetzt setzt man einmal a1 und einmal a2 in bzw. (2) ein um b zu ermitteln
 
ergebnis is dann: w1 = 2i und w2 = -2
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 18, 2010, 11:07:50 am
ja, so hatte ich das auch. aber als ich dann die eine gleichung erweitern musste und was mit a^4 raus kam, dachte ich das kann nicht richtig sein. offensichtlich doch ^^
danke!
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Vakuole on August 18, 2010, 11:14:40 am
Quote from: Rollo-derWikinger
hat noch jemand was kluges für 2007 2 c) und d)?

Hast du inzwischen eine Lösung, sonst stell ich das online was ich habe
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 18, 2010, 11:18:28 am
@mech: welchen ansatz hast du bei 1a gewählt? additionstheorem?
@vakuole: ich bitte darum!
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Vakuole on August 18, 2010, 11:33:31 am
Leider hat meine Lösung eine Kommilitonin aber ich stell mal den Prinzipiellen Lösungsweg hier rein:

2c)

Ax=0 stellt das ganze in eine Gauß-Matrix um, die kann man dann nur lösen, wenn man 2 Parameter (z.B. s,t) einführt.
Man erhält damit ein x das von zwei Parameter abhängig ist.

Dieser x-Vektor besteht ja dann aus 2 Vektoren und diese beiden Vektoren sind JEWEILS  einer der beiden lin. unabhängigen Vektoren von AtA.


2d)
geg:
AAt*v=lam*v (1), AtA*w=mü*w (2)

w=At*v  (3) -> einsetzten in (1):
A*w=lam*v |um auf (2) zu kommen multipliziere man At von RECHTS
AtA*w=At*lam*v | weil lamta eine Zahl ist kann man diese Vorziehen
AtA*w=lam*(At*v) | die Klammer ist das selbe wie (3)
AtA*w=lam*w=mü*w

-> lam*w=mü*w
lam=mü

Der dazu gehörtet Eigenwert ist lamta
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 18, 2010, 11:45:46 am
@vakuole:
c) die vektoren hab ich noch rausbekommen, aber dass die jetzt zwei linearunabhängige eigenvektoren von A^T*A sind wusst ich nich
d) klingt logisch :)
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: aviator-sbh on August 18, 2010, 11:52:41 am
4.3.2005 / 1b)

Quote from: Rollo-derWikinger
@aviator: is auch quatsch, hab ich auch schon festgestellt. natürlich kann eine quadratische gleichung nur 2 lösungen haben. mir ist aber bis heute nicht klar, wie man auf -2 bzw 2i kommt


Du nimmst einfach die quadratische pq-Lösungsformel, nachdem Du die Gleichung in
w² + (2 - 2i)w - 4i = 0 umgestellt hast.
Du erhältst als
w12 = - (1 - i) +- SQRT((1 -i)² + 4i).
= -(1 - i) +- SQRT(2i).
Dann gehst du in die Exponentialform, womit 2i = 2e^(i*Pi/2),
also SQRT(2i) = SQRT(2) * e^(i*Pi/4) bzw. ^(i*Pi*5/4) ist dann gleich (1 + i) bzw. -(1 + i).

Damit ist w12 = - (1 - i) +- (1 + i).
w1 = 2i, w2 = -2.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 18, 2010, 11:59:47 am
das mit der exponentialform is clever. mein taschenrechner kann zwar komplexe zahlen aber bei wurzel(2i) hat er immer nur mist ausgespuckt
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: ESP on August 18, 2010, 12:09:54 pm
Was habt ihr bei 4c für ein Restglied raus?

Irgendwie komme ich auf 0, wenn ich f'''(E)/3!  *x^3  integriere zwischen -1 und 1
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: aviator-sbh on August 18, 2010, 12:15:20 pm
Quote from: Rollo-derWikinger
das mit der exponentialform is clever. mein taschenrechner kann zwar komplexe zahlen aber bei wurzel(2i) hat er immer nur mist ausgespuckt

Deinen Taschenrechner kannst Du sowieso nicht benutzen!
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Vakuole on August 18, 2010, 12:22:26 pm
Quote from: Rollo-derWikinger
c) die vektoren hab ich noch rausbekommen, aber dass die jetzt zwei linearunabhängige

Ich auch nicht, musste mich da auch von einem Mathestudenten höherer Semester erleuchten lassen
Quote
Irgendwie komme ich auf 0, wenn ich f'''(E)/3!  *x^3  integriere zwischen -1 und 1

naja fast, da man keine genaue Fkt gegeben hat ist die Lösung:

| f'''(E)/3!*x^3 |
das ist richtig, dann integriert man das ganze aber nicht, sondern setzt den x Wert ein der am weitesten von x0 entfernt ist.
In unserem Fall x=1 oder x=-1
da das Ergebnis positiv sein muss, ist es egal was man einsetzt,
wenn man jetzt x=1 einsetzt, kommt man zu dem Ergebnis

f'''(E)/6

weiter kann man es aufgrund fehlender Funktion nicht berechnen
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: ESP on August 18, 2010, 12:45:32 pm
Quote from: Vakuole
Ich auch nicht, musste mich da auch von einem Mathestudenten höherer Semester erleuchten lassen


naja fast, da man keine genaue Fkt gegeben hat ist die Lösung:

| f'''(E)/3!*x^3 |
das ist richtig, dann integriert man das ganze aber nicht, sondern setzt den x Wert ein der am weitesten von x0 entfernt ist.
In unserem Fall x=1 oder x=-1
da das Ergebnis positiv sein muss, ist es egal was man einsetzt,
wenn man jetzt x=1 einsetzt, kommt man zu dem Ergebnis

f'''(E)/6

weiter kann man es aufgrund fehlender Funktion nicht berechnen

ok also auch wenn ne Funktion gegeben wäre, dann würde man NICHT integreiren sondern auch wie hier einfach seinsetzen? Oder gibts ne Fall wo man nochmals integrieren muss?
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 18, 2010, 12:47:35 pm
Quote from: aviator-sbh
Deinen Taschenrechner kannst Du sowieso nicht benutzen!

das ist mir klar. ich dachte nur: wenn der taschenrechner da error ausspuckt, wird das wohl nicht zulässig sein. und was soll die wurzel aus i auch schon sein?
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Vakuole on August 18, 2010, 12:57:07 pm
Quote from: ESP
ok also auch wenn ne Funktion gegeben wäre, dann würde man NICHT integreiren sondern auch wie hier einfach seinsetzen? Oder gibts ne Fall wo man nochmals integrieren muss?

Also ich verbürge mich jetzt nicht für diese Aussage, aber ich hab das so gelernt,dass:

1) Formelaufstellen
2)x auswählen, welches am weitesten entfernt von x0 liegt
3) E so wählen, dass Bruch möglichst groß zwischen x & x0 liegt

Also Integrieren tu ich da nichts mehr

Du kannst nach dem Prinzip ja mal die 4a bei der 2007 Klausur rechnen:

Wenn du als Ergebnis c= 21/32 raus hast, ist es richtig
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: aviator-sbh on August 18, 2010, 01:02:49 pm
Quote from: Rollo-derWikinger
das ist mir klar. ich dachte nur: wenn der taschenrechner da error ausspuckt, wird das wohl nicht zulässig sein. und was soll die wurzel aus i auch schon sein?

SQRT(i) = SQRT(1*e^(i*Pi/2)) = e^(i*Pi/4) = 0.5*SQRT(2)*(1 + i).
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: adeptus mechanicus on August 18, 2010, 02:05:27 pm
Quote from: Rollo-derWikinger
@mech: welchen ansatz hast du bei 1a gewählt? additionstheorem?

2005 1.a )
 um die frage zu beanworten: eher nein, sondern
cos a = cos (-a)
sin a = - sin (-a) (also hier liegen gerade und ungerade funktion vor)
 
1. bedingung: z element Komplexe zahlen -> z = 0 + a i
2. bedingung: 1/2 kleiner gleich |sinh (z)| ->
 
|1/2 (e^z - e^(-z)| < 1/2 (ich lass das kleiner gleich mal nen kleiner sein, weil ich sonst soviel schreibaufwand habe... ihr wisst ja wie das gemeint is)
-> |e^(ai) - e^(-ai)| < 1
<-> |cos a + i sin a - cos (-a) - i sin (-a)| < 1 , jetzt wird das oben stehende benutzt: gerade und ungerade fkt.
|0 + i * 2 * sin a| < 1
na, und das is der betrag einer komplexen zahl... also folgt
wurzel(0² + (2 sin a)²) < 1  -> 2 | sin a| < 1
der sinus bei 30° ist 0.5 (und bei -30°)
also: -(pi/6) <= a <= pi/6 (jetzt also wieder mit aufgabenstellungskonformen kleiner gleich)
 
also is z = a i mit der obigen einschränkung für a
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 18, 2010, 02:19:22 pm
Quote from: MichaS
@rollo: jede reelle Zahl ist auch eine komplexe, daher ist 2 auch eine komplexe Zahl!

du kannst doch nicht einfach den realteil 0 setzen, oder?
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: tobi0123 on August 18, 2010, 02:30:48 pm
Quote from: Rollo-derWikinger
du kannst doch nicht einfach den realteil 0 setzen, oder?
aufgabenstellung: bestimmen sie alle z element C, die auf der IMAGINÄREN ACHSE liegen...
damit ist der realteil =0.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Chefwilli on August 18, 2010, 02:31:36 pm
Quote from: tobi0123
Aufgabe 3: quadratische formel gelöst und in z=x+ix eingesetzt
x1,2=(1+-sqrt(2d^2-1))/2 mit der einschränkung d ist reell und d>=sqrt(1/2)

z1=x1(1+i)
z2=x2(1+i)


Aufgabe 5:
auf die allgemeine, homogene lsg, die rollo hier gepostet hat, komm ich auch.
ansatz der partikulären lösung???
yp(x)=(a*sin(x)+b*cos(x))*x+c*e^(4x)*x^2+d*x+e

störfunktion r(x) in 3 summanden zerlegt. den ansatz für sin(x) hab ich mit x multipliziert, den ansatz für e^(4x) mit x^2 multipliziert und beim ansatz für x keine resonanz (!?)
Oh man langsam wirds unübersichtlich hier. Man hätte für jede Klausur ein extra Topic machen sollen.

Also ich glaube deine Lösung ist falsch.
Die Lösungen der chrakt. Gl. sind:
x1    =0
x2,3 = 4
x3,5 = 2+-i

Die Störfunktion sind 3 Teile, also alle getrennt auf Resonanz untersuchen.
siehe Merzi S.162 mitte

für sin(x)  --> a+bi = i  -->nicht Lösung der chrakt. Gl. -->keine Resonanz

für exp(4x) --> a+b i= 4 -->zweifache Lsg. d. cha. Gl. --> zweifache Resonanz

für x --> a+bi = 0 -->einfache Lsg der cha. Gl. --> einfache Resoanz

also hat man als Ansatz:

Yp=A sin(x) + B cos (x) + C x^2 exp(4x) + x(Dx+E)
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: adeptus mechanicus on August 18, 2010, 02:59:08 pm
Quote
für exp(4x) --> a+b i= 4 -->zweifache Lsg. d. cha. Gl. --> zweifache Resonanz
 
also hat man als Ansatz:
 
Yp=A sin(x) + B cos (x) + C x^2 exp(4x) + x(Dx+E)

das mit der doppelten resonanz stimmt, aber dann muss in der partikulären lsg stehen:
 
Yp=A sin(x) + B cos (x) + (Cx²+Dx+E) exp(4x) + x (Fx+G)
 
ggf. kann man sich das auf . 162 anschaun: das beispiel mit x² + 1 is zeigt wie man bei doppelter resonanz verfahren soll
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Chefwilli on August 18, 2010, 03:05:10 pm
Quote from: adeptus mechanicus
das mit der doppelten resonanz stimmt, aber dann muss in der partikulären lsg stehen:
 
Yp=A sin(x) + B cos (x) + (Cx²+Dx+E) exp(4x) + x (Fx+G)
 
ggf. kann man sich das auf . 162 anschaun: das beispiel mit x² + 1 is zeigt wie man bei doppelter resonanz verfahren soll
:blink:
Schau nochmal genau hin. Wenn k-fache Resonanz vorliegt, dann mulitipliziert man den Normalansatz mit x^k.

Ist auch oben so beschrieben und wurde bei deinen Beispiel so gemacht.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: adeptus mechanicus on August 18, 2010, 03:24:22 pm
okay, hast recht.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: MichaS on August 18, 2010, 03:34:10 pm
Quote from: Rollo-derWikinger
du kannst doch nicht einfach den realteil 0 setzen, oder?

na klar geht das! jede natürliche zahl ist doch eine ganze zahl und somit auch eine rationale Zahl somit auch eine reelle zahl. eine komplexe zahl setzt sich doch aus realteil und imaginärteil zusammen! niemand sagt, dass der imaginärteil nicht null sein darf! ergo: jede reelle zahl ist auch eine komplexe!
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Johannes@VT on August 18, 2010, 03:35:26 pm
@ Micha erstens die Antwort dazu ist höher ... zweitens deine Antwort ergibt nicht wirklich Sinn, denn du darfst die Werte nur nach bedingung und nicht willkürlich wählen
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: MichaS on August 18, 2010, 03:39:38 pm
Quote from: Johannes@VT
@ Micha erstens die Antwort dazu ist höher ... zweitens deine Antwort ergibt nicht wirklich Sinn, denn du darfst die Werte nur nach bedingung und nicht willkürlich wählen

Meine Antwort ergibt dahingehend schon sinn, dass ich zitiert wurde, dass "2" eine komplexe zahl ist.warum ich jedenfalls bei obiger aufgabe zitiert wurde, ist mir gänzlich unklar :whistling:
warum macht der hier keine doppelzitate?!?!
naja! ihr wisst ja, was gemeint ist!
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: MichaS on August 18, 2010, 04:31:09 pm
Quote from: Rollo-derWikinger
@aviator: is auch quatsch, hab ich auch schon festgestellt. natürlich kann eine quadratische gleichung nur 2 lösungen haben. mir ist aber bis heute nicht klar, wie man auf -2 bzw 2i kommt

@mekis: bei c sollst du garnicht ableiten. das taylorpolynom ist ja eine unendlich anzahl von gleidern der taylorreihe und um die geht es hier. du sollst auf der taylorreihe und deiner funktion ne neue reihe erstellen und den konvergenzradius bestimmen

[latex] Die allgemeine Taylorreihe:\\
$T_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$\\
an der stelle a=0: \\
$T_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}x^k$\\
nun überlegst du dir wie die k-te ableitung von f wohl aussieht...\\
$f^{(k)}=\prod (-\frac{3}{4}-(k-1))$\\
das würde mir dazu einfallen (nich schön)\\
zusammen:\\
$T_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\prod (-\frac{3}{4}-(k-1))}{k!}x^k$\\[/latex]

davon roll man jetzt irgendwie den konvergenzradius bekommen :nudelholz:

also wenn jemand was schöneres hat: bitte melden


deine k-te ableitung ist falsch!

[latex] \\
$f^{(1)}(x)=\frac{3}{4}(1-x)^{\frac{-7}{4}}$\\
$f^{(2)}(x)=\frac{3}{4}\frac{7}{4}(1-x)^{\frac{-11}{4}}$\\
$f^{(3)}(x)=\frac{3}{4}\frac{7}{4}\frac{11}{4}(1-x)^{\frac{-15}{4}}$\\
\\
$\frac{3}{4}\frac{7}{4}\frac{11}{4}...=\frac{3}{4}(\frac{3}{4}+1)(\frac{3}{4}+2)...$\\
daher kann man ablesen:
$f^{(k)}(x)=(\prod\limits_{n=1}^{k}\frac{3}{4}+n-1)(1-x)^{-(\frac{3}{4}+k)}$\\

(d) Die Taylorreihe ist eine Potenzreihe! Hier wie folgt:

$T_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\prod\limits_{n=1}^{k} (\frac{3}{4}+n-1)}{k!}x^k$\\

   In den Ableitungen kommt immer der Term $(1-x)^{irgendwas}$ vor; da $f^{k}(0)$ jedesmal gefordert ist, sind die Ableitungsterme an der Stelle 0 immer 1

Der Mittelpunkt des Kovergenzintervalls beträgt 0.
Der Kovergenzradius: der Grenzwert ist IMMER für k gegen unendlich!!

$r=\lim(\frac{c_{k}}{c_{k+1}})$\\
wobei $c_{k}=\frac{\prod\limits_{n=1}^{k} (\frac{3}{4}+n-1)}{k!}$ ist\\
$r=\lim\frac{\frac{\prod\limits_{n=1}^{k} (\frac{3}{4}+n-1)}{k!}}{\frac{\prod\limits_{n=1}^{k+1} (\frac{3}{4}+n-1)}{k+1!}}$\\
$(k+1)!=(k+1)k!$ und $\frac{\prod\limits_{n=1}^{k} (\frac{3}{4}+n-1)}{\prod\limits_{n=1}^{k+1} (\frac{3}{4}+n-1)}=\frac{1}{\frac{3}{4}+k$}\\

Beachte Doppelbruch!!!\\

$r=\lim\frac{\frac{\prod\limits_{n=1}^{k} (\frac{3}{4}+n-1)}{k!}}{\frac{\prod\limits_{n=1}^{k+1} (\frac{3}{4}+n-1)}{k+1!}}=\lim\frac{k+1}{\frac{3}{4}+k}=1$\\
Der Konvergenzradius beträgt $r=1$ und somit ist das VORLÄUFIGE Konvergenzintervall x aus (-1;1)\\
Die Konvergenz an der Randpunkten gehen dann schnell![/latex]
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: aviator-sbh on August 18, 2010, 04:43:47 pm
Zwecks Erhaltung der Übersicht schlage ich vor, dass ab sofort jeder als Überschrift in den Posts fett die Aufgabe und aus welcher Klausur sie stammt, hinschreibt.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 18, 2010, 04:58:01 pm
2007 Aufgabe 4 c)

also richtig is das aber auch nicht:

[latex]f^{(k)}(x)=(\prod\limits_{n=1}^{k}\frac{3}{4}+n-1)(1-x)^{\frac{3}{4}+k}$[/latex]

es geht hier doch um ableitungen, dein exponent wird aber immer größer und nicht kleiner.
und weil der exponent immer negativer wird muss das produkt ja auch mit jedem k+ sein vorzeichen ändern.

die ableitungen sind ja auch nich
[latex]\\

$f^{(1)}(x)=\frac{3}{4}(1-x)^{\frac{-7}{4}}$\\

$f^{(2)}(x)=\frac{3}{4}\frac{7}{4}(1-x)^{\frac{-11}{4}}$\\

$f^{(3)}(x)=\frac{3}{4}\frac{7}{4}\frac{11}{4}(1-x)^{\frac{-15}{4}}$[/latex]

sondern

[latex]\\

$f^{(1)}(x)=\frac{-3}{4}(1-x)^{\frac{-7}{4}}$\\

$f^{(2)}(x)=\frac{-3}{4}\frac{-7}{4}(1-x)^{\frac{-11}{4}}$\\

$f^{(3)}(x)=\frac{-3}{4}\frac{-7}{4}\frac{-11}{4}(1-x)^{\frac{-15}{4}}$\\[/latex]

ich seh meinen fehler nicht. für mich kommt das sehr gut hin

edit: ah ich seh schon, das vorzeichen gleicht sich immer mit der nachdifferenzierten -1 aus
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: MichaS on August 18, 2010, 05:01:33 pm
Quote from: Rollo-derWikinger
2007 Aufgabe 4 c)

also richtig is das aber auch nicht:

[latex]f^{(k)}(x)=(\prod\limits_{n=1}^{k}\frac{3}{4}+n-1)(1-x)^{\frac{3}{4}+k}$[/latex]

es geht hier doch um ableitungen, dein exponent wird aber immer größer und nicht kleiner.
und weil der exponent immer negativer wird muss das produkt ja auch mit jedem k+ sein vorzeichen ändern.

ich seh meinen fehler nicht. für mich kommt das sehr gut hin

sorry! wird oben geändert! na klar ist der exponent negativ!
du vergisst beim ableiten die innere ableitung, was -1 liefert!
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 18, 2010, 05:06:49 pm
schon gesehen ;)
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Vakuole on August 18, 2010, 06:48:38 pm
Aufgrund der Nachfrage, jetzt noch die Lösungen (mit angedeutetem Lösungsweg) von 2007:

1)
a)
Matrix aufstellen - 2Gleichung mit 2 Unbekannten
z1=2-2i
z2=1-4i

b)
tan phi=1/1
-> 45°
Ansatz: e^(x+iy)= e^x+e^iy
e^x=e^x*(cos(45°)*sin(45°))
x=ln |SQRT (2)|
y=pi/4+2kpi
z= ln |SQRT (2)| + i(pi/4+2kpi)

2)
a)
(10 3)
(3 10)
b)
EW: 7,13
EV: (1,-1)T (1,1)T
c)
Erklärung (http://www.bombentrichter.de/showpost.php?p=147636&postcount=91)
t=1/5(7,-1,5,0)T
s=1/5(-2,-6,0,1)T

d)
Erklärung (http://www.bombentrichter.de/showpost.php?p=147636&postcount=91)
AtA*w=At*lam*v
AtA*w=lam*(At*v)
AtA*w=lam*w=mü*w
-> lam*w=mü*w

3)
a)
Ableiten nach x,y,z
->3 Gleichungen mit 4 Unbekannten
nach x,y,z umstellen
x=c/(1-c)
y=c^2/(1-c)
z=1/(6-2c)

Dann die Hessematrix aufstellen
mit mit Bildung der 3 Hauptunterabschnittsdeterminanten (definit):
Minima: 1
Max: keine Vorhanden!
b)
war ich zu Faul: Weg ist aber
LagranceFunktion aufstellen:
L= 3x^2+(y-3)^2-z+2xy+lam(x+y+z-5)
Funktion ableiten nach x,y,z,lam
Ableitungen gleich null setzten x,y,z,lam bestimmen
FERTIG

4)
a)
R1(x)=|(f''(E)/2!)*x^2|
- x auswählen, welches am weitesten entfernt von x0 liegt
- E so wählen, dass Bruch möglichst groß zwischen x & x0 liegt
21/36*(1/(1-E)^11/4)< 21/36=c
E ist mit 0 gewählt, damit die Größte mögliche Zahl heraus kommt

b)
Mann leitet 2-3 mal die Funktion ab:
Man sieht dabei folgendes:
f'=3/4(x-1)^3/4
f''=3/4*(3/4+1)*(x-1)^(3/4-1)
f'''=3/4*(3/4+1)*(3/4+2)*(x-1)^(3/4-2)
=(3/4*7/4*11/4)/(x-1)^(11/4)
> man sieht das damit die k-Ableitung stimmt

c) ich kann leider kein Summenzeichen hier deswegen ein S
S fk(0)/k! * (x-x0)^k ->
lim  fk(0)/k! * (k-1)!/fk-1(0)
kürzen
lim (k+1)/(3/4+k-1) wenn k gegen unendlich läuft  = 1
Konvergenzradius: (-1,1)

5)
a) einsetzten und lösen (war hier auch zu faul)
bestimmen der Eigenvektoren und in den Ansatz einsetzten
b)
-Matrix zu Bestimmung von Eigenwerten aufstellen
-Determinante bilden
- lamta berechnen, dabei kommt s unter eine Wurzel
- s so wählen, dass die Würzel negativ wird und eine komplexe Zahl als Eigenwert raus kommen würde
FERTIG

6) habe ich noch nicht
hab einen Ansatz, aber so ganz komm ich da nicht weiter/durch :pinch:

Wer Fragen zu den Lösungswegen hat einfach hier stellen oder pn an mich
Korrekturen sind auch erlaubt und erwünscht!

PS: hab nun alle Lösungen von 2008- wer also einen Lösungsweg braucht- einfach Anfragen
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 18, 2010, 07:52:27 pm
zur fehlenden aufgabe 6 von 2007:

a)
[latex]$y^2-(2x+1)e^{2x}+2xyy'=0\\
y'= dy/dx $\\
umformen auf die form $A(x,y)dx+B(x,y)dy=0\\
A=y^2-(2x+1)e^{2x}\\
B=2xy$\\
Bedingung, dass die Gleichung exakt ist:\\ \\
$\frac{dA(x,y)}{dy}=\frac{dB(x,y)}{dx}\\
\Rightarrow A_y=B_x\\
2y=2y$ die Gleichung ist exakt!\\ \\
Ansatz: $F(x,y)=\int B(x,y)dy +c(x)\\
F(x,y)=\int 2xy \cdot dy+c(x)\\
=xy^2 +c(x)$\\
Lösen von c(x):\\
Setze $F_x=A(x,y)\\
y^2+c'(x)=y^2-(2x+1)e^{2x}\\
\Rightarrow c(x)= - \int (2x-1)e^{2x}\\
c(x)=-xe^{2x}$\\

Implizite Lösung: $F(x,y)=xy^2-xe^{2x}=C$\\ \\
b) mit $y(1)=-e$ folgt:
1(-e)^2-1e^2-C=0 \Rightarrow C=0$\\
Spezielle Lösung: $F(x,y)=xy^2-xe^{2x}$[/latex]

Lösungsweg nachzulesen HIER (http://j.imagehost.org/0869/Skript_DGL_TUM_10.jpg)
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Greenmachine on August 18, 2010, 09:54:37 pm
Quote from: adeptus mechanicus
2005 1.a )
 um die frage zu beanworten: eher nein, sondern
cos a = cos (-a)
sin a = - sin (-a) (also hier liegen gerade und ungerade funktion vor)
 
1. bedingung: z element Komplexe zahlen -> z = 0 + a i
2. bedingung: 1/2 kleiner gleich |sinh (z)| ->
 
|1/2 (e^z - e^(-z)| < 1/2 (ich lass das kleiner gleich mal nen kleiner sein, weil ich sonst soviel schreibaufwand habe... ihr wisst ja wie das gemeint is)
-> |e^(ai) - e^(-ai)| < 1
<-> |cos a + i sin a - cos (-a) - i sin (-a)| < 1 , jetzt wird das oben stehende benutzt: gerade und ungerade fkt.
|0 + i * 2 * sin a| < 1
na, und das is der betrag einer komplexen zahl... also folgt
wurzel(0² + (2 sin a)²) < 1  -> 2 | sin a| < 1
der sinus bei 30° ist 0.5 (und bei -30°)
also: -(pi/6) <= a <= pi/6 (jetzt also wieder mit aufgabenstellungskonformen kleiner gleich)
 
also is z = a i mit der obigen einschränkung für a

du hast das mit dem kleiner gleich und größer gleich verdreht...
ansonsten ist es glaub ich richtig, bis auf die tatsache das ALLE komplexen Zahlen die dieser Bedingung genügen gesucht sind....
also |sin a| >= 1/2

das wären dann z= ai; pi/6 + k*pi <= a <= 5/6 pi + k*pi
 wenn ich mich nicht irre.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Chefwilli on August 18, 2010, 10:12:43 pm
Quote from: adeptus mechanicus
2005 1.a )
 um die frage zu beanworten: eher nein, sondern
cos a = cos (-a)
sin a = - sin (-a) (also hier liegen gerade und ungerade funktion vor)
 
1. bedingung: z element Komplexe zahlen -> z = 0 + a i
2. bedingung: 1/2 kleiner gleich |sinh (z)| ->
 
|1/2 (e^z - e^(-z)| < 1/2 (ich lass das kleiner gleich mal nen kleiner sein, weil ich sonst soviel schreibaufwand habe... ihr wisst ja wie das gemeint is)
-> |e^(ai) - e^(-ai)| < 1
<-> |cos a + i sin a - cos (-a) - i sin (-a)| < 1 , jetzt wird das oben stehende benutzt: gerade und ungerade fkt.
|0 + i * 2 * sin a| < 1
na, und das is der betrag einer komplexen zahl... also folgt
wurzel(0² + (2 sin a)²) < 1  -> 2 | sin a| < 1
der sinus bei 30° ist 0.5 (und bei -30°)
also: -(pi/6) <= a <= pi/6 (jetzt also wieder mit aufgabenstellungskonformen kleiner gleich)
 
also is z = a i mit der obigen einschränkung für a
Ich frag mich ob man das so machen kann. Du ziehst den Betrag aus einer polaren Darstellung. Ich bin aber der Meinung, dass man nur den Betrag ziehen kann mit der Wurzel wenn es in kartesicher Darstellung ist.

Wie gesagt vielleicht gibt es einen der da Licht ins Dunkle bringen kann.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Greenmachine on August 18, 2010, 10:30:51 pm
Quote from: Chefwilli
Ich frag mich ob man das so machen kann. Du ziehst den Betrag aus einer polaren Darstellung. Ich bin aber der Meinung, dass man nur den Betrag ziehen kann mit der Wurzel wenn es in kartesicher Darstellung ist.

Wie gesagt vielleicht gibt es einen der da Licht ins Dunkle bringen kann.

nein das ist keine polare Darstellung, sondern einfach nur eine komplexe zahl in der
Form z = x + iy
--->  z = 0 + i*sin a    sin a ist dabei einfach nur ein von a abhängiger faktor vor dem i

der betrag dieser komplexen zahl ist dann logischerweise einfach |sin a|
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Chefwilli on August 18, 2010, 10:51:58 pm
Achso ja danke.

Jetzt seh ich das auch^^

Manchmal guckt man irgendwo drauf und findet den Fehler nicht...
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: SINEATER on August 18, 2010, 11:01:37 pm
So wer nur lange genug sucht der findet auch;)
 
ich hab hier mal die Lösungen der Klausuren von Prof. Grossmann zusammen gesucht, dann brauch hier nur noch über den weg bei diesen klausuren diskutiert werden.
 
Viel Glück bei der Prüfung:)
 
Link zu den Klausuren (http://www.math.tu-dresden.de/%7Egrossm/hompag03.html)
 
[EDIT: urheberrechtlich geschützte Anhänge entfernt dafür LINK zu Prof. Großmanns Web-Seite eingefügt ;) :glare: --KleinerHugo (http://www.bombentrichter.de/member.php?u=9)]

da man hier sowas ja anscheinend nicht posten kann sucht einfach mal in älteren themen nach den lösungen da waren die moderatoren anscheinend nicht so pingelig...
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 19, 2010, 09:47:31 am
@ vakuole:
was hastn du bei aufgabe 4c) (2002) mit den Restglied noch angestellt? oder hast du nur das restglied berechnet und fertig?
gefragt is ja nach dem fehler |I[f]-I[g]| nach oben?
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: FrankWhite on August 19, 2010, 12:10:37 pm
Quote from: Rollo-derWikinger
[latex] $ \lambda_{1} = -1 \\ \lambda_{2} = 2 + i \\ \lambda_{3} = 2 - i \\
\vec{EV_{1}} \left(\begin{array}{c}0\\0\\1 \end{array}\right)\\
\vec{EV_{2}} \left(\begin{array}{c}1\\-i\\i + 2 \end{array}\right)\\
\vec{EV_{3}} \left(\begin{array}{c}1\\i\\2 - i \end{array}\right)$[/latex]

kann mir mal jemand kurz schildern wie ich auf den ersten ev komme, steh grad total auf dem schlauch...eigenwert -1 ist klar, aber dann hab ich drei gleichungen zur bestimmung von x1 und x2, wie komme ich auf das x3 ?
 
grüße
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 19, 2010, 12:18:55 pm
(3 -1  0)
(1  3  0)
(5 -5  0)

x1 und x2 in der ersten und zweiten zeile widersprechen sich, daher müssen beide 0 sein.
der ev darf aber auch nicht (0,0,0) sein. also ist folglich x3=1.

diese ganze überlegung kannst du dir aber auch einfach sparen und dir merken: wenn eine komplette spalte i = 0 ist, dann ist der entsprechende faktor xi = 1, die anderen 0 ;)
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: PeterYuan on August 19, 2010, 12:28:21 pm
Quote from: Rollo-derWikinger
wurzel(2i)

i= - 1/2 * (1 - 2i + i^2) = - 1/2 * (1 - i)^2
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: oOpauleOo on August 19, 2010, 01:30:01 pm
hi leute bei der Aufgabe 3 a komme ich leider auf kein ergebnis, weil ich nicht auf den zweiten eigenvektor zum wert 2+2i komme...da würde bei mir nur 0 rauskommen.was habt ihr da?

vielen dank!

also dachte daran einfach eine variable noch einzuführen, so, dass ich dann auf nen vektor von z.B. (2i,1,1) aber bin mir nicht sicher ob das so erlaubt ist
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Greenmachine on August 19, 2010, 01:39:35 pm
hat jemand mal die Aufgabe 3 b probiert und eine Lösung parat?
....Hab ein paar eigenartige Sachen probiert und komm auf nix Sinnvolles.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: tobi0123 on August 19, 2010, 01:51:48 pm
a=3/5, alpha0=8/9, alpha1=10/9

ansonsten verweis ich mal auf diesen beitrag:

Quote from: starKI
Lösungen gibts auch ... Sind frei runterladbar, sollte also i.O. sein.

http://bombentrichter.de/showthread.php?t=10941
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: fabi on August 19, 2010, 02:05:42 pm
Kann mir bitte einer sagen wieviel Prozent zum bestehen reichen?:)
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: oOpauleOo on August 19, 2010, 02:29:24 pm
ich meine 1/3 der punkte...oder halt 30%, irgendwas in dem dreh hatte er gesagt
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: aviator-sbh on August 19, 2010, 02:29:53 pm
01.08.2007 / 1b

Man gebe alle z aus C an, die e^z + e^(-z) = 0 erfüllen.

Anno dazumal hab ich mir mal vom Grossmann die Lösung aufgeschrieben, dass z = i sein müsse.
Heute hab ich die Aufgabe nochmal gerechnet und komme auf folgendes:
Mit z = x + iy ist
e^z + ^1(-z) = 0
e^(x + iy) + e^-(x + iy) = 0
e^x * e^(iy) + e^(-x) * e^(-iy) = 0 Beide Summanden sind jetzt komplexe Zahlen in der Euler-Form mit e^x als Betrag und dem Rest als Argument. Damit die Gleichung erfüllt werden kann, müssen beide Zahlen betragsgleich sein, also
e^x = e^(-x). Dies ist nur mit x = 0 erfüllbar, womit die Beträge = 1 sind. Es bleibt
e^(iy) + e^-(iy) = 0. Man beachte, dass es weiterhin komplexe Zahlen mit Realteil und Imaginärteil sind, wenn man sie in kartesische Form bringt. Allerdings sind ihre beiden Beträge gleich (1). Stellt man sich das ganze jetzt in der Gaußschen Zahlenebene vor, erkennt man, dass die beiden Summanden jeweils konjugiert komplex sind. Damit in der Summe 0 rauskommt, müssen die Realteile (die gleiches Vorzeichen haben) = 0 sein, also y = Pi/2.
Meine Lösung für z wäre also
z = +- i*Pi/2.
Kann das jemand bestätigen oder widerlegen? Vielleicht hab ich auch damals was falsch abgeschrieben...
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: oOpauleOo on August 19, 2010, 02:41:22 pm
@ aviator

ja, so hatte der prof das auch erklärt, jedoch meiner meinung nach die 1/3 als richtwert gegeben...
aber ohne gewähr
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: aviator-sbh on August 19, 2010, 02:31:21 pm
Quote from: oOpauleOo
ich meine 1/3 der punkte...oder halt 30%, irgendwas in dem dreh hatte er gesagt

Hatte mal jemanden im Lernraum gefragt. Die meinte, dass der Prof da ggf. nach dran rumdreht, je nachdem, wie der Notenspiegel ausfällt. Mit 50% ist man aber definitiv durch.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Johannes@VT on August 19, 2010, 02:47:31 pm
also ich habe für x beliebig raus da ich auf die formel [latex]$(e^x)(2cosy)=0 $[/latex] komme
also ist [latex]$y=Pi+2kPi $[/latex] und x ist somit beliebig da e^x nie null wird

ach latex ist doof der hat die formel einfach gelöscht hier ist sie nochmal:   (e^x)(2cosy)=0
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: aviator-sbh on August 19, 2010, 03:06:08 pm
Quote from: Johannes@VT
also ich habe für x beliebig raus da ich auf die formel [latex]$(e^x)(2cosy)=0 $[/latex] komme
also ist [latex]$y=Pi+2kPi $[/latex] und x ist somit beliebig da e^x nie null wird

ach latex ist doof der hat die formel einfach gelöscht hier ist sie nochmal:   (e^x)(2cosy)=0

Kannst Du mir mal herleiten, wie Du auf diese Formel kommst?

PS:  Mit dem 2k*Pi beim y hast Du auf jeden Fall recht. Das hatte ich vergessen.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Johannes@VT on August 19, 2010, 03:15:25 pm
also du hast [latex]  $ e^z+e^-z=0 $ das wandelst du um zu $ (e^x)*(cosy+isiny)+e^-x(cos(-y)+isin(-y))$ da $e^x $ und $e^-x$ nie null wird also nur irgendeine reelle zahl ist kannst du es auch aus der gelichung rausziehen  somit muss der rest also $ (cosy+isiny)=0  (cos(-y)+isin(-y)=0$ erfüllt werden das setzt du gleich bleibt nur noch $isiny=0$ und das gilt für alle y=pi+2kpi [/latex]
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: DiscoStu on August 19, 2010, 03:19:38 pm
Hallo, kann mir vielleicht jemand mal bei der Aufgabe 5.b helfen aus der Klausur Grossmann 2004? Ich komm da auf keinen grünen Zweig. Danke.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Chefwilli on August 19, 2010, 03:39:30 pm
Quote from: Vakuole
Aufgrund der Nachfrage, jetzt noch die Lösungen (mit angedeutetem Lösungsweg) von 2007:

1)
a)
Matrix aufstellen - 2Gleichung mit 2 Unbekannten
z1=2-2i
z2=1-4i

b)
tan phi=1/1
-> 45°
Ansatz: e^(x+iy)= e^x+e^iy
e^x=e^x*(cos(45°)*sin(45°))
x=ln |SQRT (2)|
y=pi/4+2kpi
z= ln |SQRT (2)| + i(pi/4+2kpi)

2)
a)
(10 3)
(3 10)
b)
EW: 7,13
EV: (1,-1)T (1,1)T
c)
Erklärung (http://www.bombentrichter.de/showpost.php?p=147636&postcount=91)
t=1/5(7,-1,5,0)T
s=1/5(-2,-6,0,1)T

d)
Erklärung (http://www.bombentrichter.de/showpost.php?p=147636&postcount=91)
AtA*w=At*lam*v
AtA*w=lam*(At*v)
AtA*w=lam*w=mü*w
-> lam*w=mü*w

3)
a)
Ableiten nach x,y,z
->3 Gleichungen mit 4 Unbekannten
nach x,y,z umstellen
x=c/(1-c)
y=c^2/(1-c)
z=1/(6-2c)

Dann die Hessematrix aufstellen
mit mit Bildung der 3 Hauptunterabschnittsdeterminanten (definit):
Minima: 1
Max: keine Vorhanden!
b)
war ich zu Faul: Weg ist aber
LagranceFunktion aufstellen:
L= 3x^2+(y-3)^2-z+2xy+lam(x+y+z-5)
Funktion ableiten nach x,y,z,lam
Ableitungen gleich null setzten x,y,z,lam bestimmen
FERTIG

4)
a)
R1(x)=|(f''(E)/2!)*x^2|
- x auswählen, welches am weitesten entfernt von x0 liegt
- E so wählen, dass Bruch möglichst groß zwischen x & x0 liegt
21/36*(1/(1-E)^11/4)< 21/36=c
E ist mit 0 gewählt, damit die Größte mögliche Zahl heraus kommt

b)
Mann leitet 2-3 mal die Funktion ab:
Man sieht dabei folgendes:
f'=3/4(x-1)^3/4
f''=3/4*(3/4+1)*(x-1)^(3/4-1)
f'''=3/4*(3/4+1)*(3/4+2)*(x-1)^(3/4-2)
=(3/4*7/4*11/4)/(x-1)^(11/4)
> man sieht das damit die k-Ableitung stimmt

c) ich kann leider kein Summenzeichen hier deswegen ein S
S fk(0)/k! * (x-x0)^k ->
lim  fk(0)/k! * (k-1)!/fk-1(0)
kürzen
lim (k+1)/(3/4+k-1) wenn k gegen unendlich läuft  = 1
Konvergenzradius: (-1,1)

5)
a) einsetzten und lösen (war hier auch zu faul)
bestimmen der Eigenvektoren und in den Ansatz einsetzten
b)
-Matrix zu Bestimmung von Eigenwerten aufstellen
-Determinante bilden
- lamta berechnen, dabei kommt s unter eine Wurzel
- s so wählen, dass die Würzel negativ wird und eine komplexe Zahl als Eigenwert raus kommen würde
FERTIG

6) habe ich noch nicht
hab einen Ansatz, aber so ganz komm ich da nicht weiter/durch :pinch:

Wer Fragen zu den Lösungswegen hat einfach hier stellen oder pn an mich
Korrekturen sind auch erlaubt und erwünscht!

PS: hab nun alle Lösungen von 2008- wer also einen Lösungsweg braucht- einfach Anfragen
Kannst du mir mal den Lösungsweg zu 1b erläutern. Ich werd da nicht schlau draus.

Danke
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Johannes@VT on August 19, 2010, 03:56:02 pm
zu deinem Problem du willst wissen wann Kosinus und Sinus den selben Wert haben dies ist an der Stelle pi/4  und y hat dort den Wert wurzel2/2  umd aber auf 1 zu kommen musst du wurzel2/2 mit e^x so multiplizieren das man so auf 1 kommt denn x=1 und Y=1 (1+1*i)  also muss e^x=wurzel2 sein denn wurzel2²/2=1  also muss x=lnwurzel2 sein (umformung also ist die Lösung

Z=lnwurzel2+i(pi/4+kpi)


EDIT:  Wenn du das auch nicht vertstehst beschreibe mir einfach per PN genau dein Problem und ich werde dir das dann erklären bin mind. 16:45 wieder am rechner :D
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: lorbeer on August 19, 2010, 04:02:42 pm
Quote from: DiscoStu
Hallo, kann mir vielleicht jemand mal bei der Aufgabe 5.b helfen aus der Klausur Grossmann 2004? Ich komm da auf keinen grünen Zweig. Danke.

Vergleich mit Grundform der exakten DGL ergibt:
[latex]
P = e^{x+y} \\
Q= e^{x+y}-sin(y)
[/latex]

P nach x integrieren ergibt

[latex]
F(x,y) = e^{x+y} + c(y)
[/latex]

Das wiederum nach y ableiten ergibt:

[latex]
F_y = e^{x+y} + c'(y)
[/latex]

Vergleich von [latex] F_y [/latex] mit Q ergibt: c'(y) = -sin(y). Integrieren=> c(y) = cos(y). Damit ist die Grundform der Lösung

[latex]
 F(x,y) = e^{x+y} +cos(y) = K
 [/latex]

K ist eine Konstante, die für die Anfangsbedingung bestimmt werden muss. In vielen Lösungen steht C statt K, aber ich war anfangs wegen Verwechselung von c(y) und C verwirrt, deswegen schreibe ich lieber "K".
Mit den Anfangsbedingunge:
F(0,0) = e^0 + cos(0) = 2
Damit ist die implizite Form der Lösung mit AB:
[latex]
  F(x,y) = e^{x+y} + cos(y) = 2
  [/latex]
Da die explizite Form gefragt ist, wird noch nach y umgeformt: |-cos(y) |ln |-y

x = ln(2-cos(y))-y
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: aviator-sbh on August 19, 2010, 04:05:49 pm
Quote from: Johannes@VT
also du hast [latex]  $ e^z+e^-z=0 $ das wandelst du um zu $ (e^x)*(cosy+isiny+cos(-y)+isin(-y))$ das kannst du umwandeln zu $ (e^x)*(2cosy) $ denn der Kosinus ist eine Gerade funktion und der sinus eine ungerade also hast du kosinus + kosinus und sinus- sinus, also hast du dann $ e^x*(cosy) $ [/latex]

Wenn ich das recht verstehe beziehst Du dich auf die Formel

z = x + iy = (e^x)*(cos y + i*sin y)?

Das geht hier m. E. aber nicht, weil Du nicht z nackt, sondern e^z (bzw. e^(-z) ) stehen hast.
Das wäre dann e^((e^x)*(cos y + i*sin y)) bzw. e^-(...).

Außerdem hättest Du in deiner Formel, die von mir vermutete Umwandlungsmethode vorausgesetzt, einmal das e^x und einmal e^(-x) als Vorfaktoren. Du kannst also nicht alles ausklammern und die Summe mit den cos und sin zusammenfassen.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Johannes@VT on August 19, 2010, 04:18:09 pm
Quote from: aviator-sbh
Wenn ich das recht verstehe beziehst Du dich auf die Formel

z = x + iy = (e^x)*(cos y + i*sin y)?

Das geht hier m. E. aber nicht, weil Du nicht z nackt, sondern e^z (bzw. e^(-z) ) stehen hast.
Das wäre dann e^((e^x)*(cos y + i*sin y)) bzw. e^-(...).

Außerdem hättest Du in deiner Formel, die von mir vermutete Umwandlungsmethode vorausgesetzt, einmal das e^x und einmal e^(-x) als Vorfaktoren. Du kannst also nicht alles ausklammern und die Summe mit den cos und sin zusammenfassen.



falsch  ich wandle die formel e^z um und zwar in e^x+iy (Bei multiplikation addieren sich die Basen also kannst du das umwandeln)

in (e^x)*e^iy... das kannst du (e^iy) in die trigonometrische form umwandeln (r=1), phi=y  dasselbe kannst du mit e^-z machen allerdings merke ich gerade das ich einen Fehler gemacht habe da belibt dann nämlich e^-x   aber da weder e^x noch e^-x null wird kannst du das aus der gleichung rausnehmen da somit cos(y)+isin(y)=0 sein muss und cos(-y)+isin(-y) null sein muss also ist somit umgewandelt  cos(y)+isin(y)=cos(y)-isin(y)  für diesen Fehler muss ich mcih ebntschuldigen auf die Formel kommst du halt durch die oben beschriebenen Punkte (e^x oder -x wird nie null)

das setzt du gleich und bekommst somit 2isiny=0  also erhälst du im gegensatz zu meiner aussage y=pi+kpi

Ps ich editiere das nochmal oben



Edit oben geändert
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 19, 2010, 04:19:16 pm
Quote from: DiscoStu
Hallo, kann mir vielleicht jemand mal bei der Aufgabe 5.b helfen aus der Klausur Grossmann 2004? Ich komm da auf keinen grünen Zweig. Danke.

@discostu:

ich erklärs mal nach dem schema hier (http://j.imagehost.org/0869/Skript_DGL_TUM_10.jpg)

die gleichung befindet sich schon in der sichtigen form:

[latex]$A=e^{x+y}\\
B=e^{x+y}-sin(y)$\\
die probe, ob die gleichung exakt ist kannst du dir sparen, steht ja in der aufgabenstellung, dass sies is.\\ \\
1. Schritt: Die allegemeine Lösung lautet $U(x,y)= \int A(x,y) +c(y) = C\\
U(x,y)=e^{x+y} +c(y)$\\ \\
2. Schritt: Bestimmtung von c(y)\\
setze die ableitung von U(x,y) nach y mit B(x,y) gleich\\
$U_y=e^{x+y} + c'(y) =B(x,y) e^{x+y}-sin(y)\\
c'(y)=-sin(y)\\
c(y)=- \int sin(y)=cos(y)$\\ \\
3. Schritt allgemeine Lösung:\\
$U(x,y)= \int A(x,y) +cos(y) = e^{x+y}+cos{y} =C$\\ \\
4. Schritt: spezielle lösung mit (x,y)=(0,0)\\
$U(0,0)=1+1=C \Rightarrow C=2\\
$U(x,y)= e^{x+y}+cos{y} =2$\\ \\
5.Schritt: explizite darstellung\\
Umformen nach $x(y)=-y+ln(2-cos(y))$[/latex]

ich würd mir das schema aufn zettel schreiben, is sehr hilfreich
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Post by: adeptus mechanicus on August 19, 2010, 05:06:48 pm
Quote from: Rollo-derWikinger
ich würd mir das schema aufn zettel schreiben, is sehr hilfreich

du kannst aber auch stattdessden auf die seite 155 im merziger schauen. die letzte gleichung auf der seite ist eg schon die lösung zur aufgabe: F(x,y) = integral...bla
 
die integrale sind schnell gebildet: e^t+y bleibt was es is und aus dem - sin t wird cos t... da die integrale aus summen bestehen is es schnell erledigt. man muss eben nur zu 100% auf den merziger vertrauen: ich dchte erst das ein druckfehler im buch is, da p(t,y) und q(x(0),t) verwendet wird... das einmal mit der allgemeinen varieblen und einmal mit dem anfangswert gerechnet wird macht schon irgendwie stutzig
aber stimmt wie es da steht
 
probier's mal mit der gleichung, in 3-4 zeilen hast du dann die lösung (aso, da steht ja, dass die gleichung auf eine implizite lösung führt, aber eine explizite from is gesucht: einfach noch nach x umstellen und feddich isses )
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: aviator-sbh on August 19, 2010, 05:25:45 pm
Quote from: Johannes@VT
falsch  ich wandle die formel e^z um und zwar in e^x+iy (Bei multiplikation addieren sich die Basen also kannst du das umwandeln)

in (e^x)*e^iy... das kannst du (e^iy) in die trigonometrische form umwandeln (r=1), phi=y  dasselbe kannst du mit e^-z machen allerdings merke ich gerade das ich einen Fehler gemacht habe da belibt dann nämlich e^-x   aber da weder e^x noch e^-x null wird kannst du das aus der gleichung rausnehmen da somit cos(y)+isin(y)=0 sein muss und cos(-y)+isin(-y) null sein muss also ist somit umgewandelt  cos(y)+isin(y)=cos(y)-isin(y)  für diesen Fehler muss ich mcih ebntschuldigen auf die Formel kommst du halt durch die oben beschriebenen Punkte (e^x oder -x wird nie null)

das setzt du gleich und bekommst somit 2isiny=0  also erhälst du im gegensatz zu meiner aussage y=pi+kpi

Ps ich editiere das nochmal oben



Edit oben geändert

Nach der von dir beschriebenen Umwandlung hast Du also stehen:
[latex]$
e^x(cos(y) + isin(y)) + e^{-x}(cos(-y) + isin(-y)) = 0 $ \\
$e^x$ und $e^{-x}$ sind nie gleich null und auch einander ungleich.
Daraus kannst Du aber nicht schließen, dass \\$(cos(y) + isin(y))$ und $(cos(-y) +isin(-y)) $ jeweils = 0 sind. Dies wäre theoretisch eine Lösung, wenn man aber y bestimmen will, stellt man fest, dass dies nicht möglich ist. Wenn man beides gleich setzt, kommt Pi raus. Der cos(Pi) ist aber $-1 \not= 0$, womit die Bedingung jeweils = 0 nicht erfüllbar ist. \\ Du weißt nur, dass \\
$e^x(cos(y) + isin(y)) = -e^{-x}(cos(-y) + isin(-y))$ ist. \\
[/latex]
Machst Du mit deinem Ergebnis die Probe:
[latex]
$e^{i\pi} + e^{-i\pi} = 0$\\
$-1 + -1 \not = 0$
[/latex]

Ich glaube, mit deinem Weg kommst du einfach in eine Sackgasse bei der von mir im Latex ganz oben zitierten Gleichung.
Trotzdem danke für deine Bemühung. Wahrscheinlich hab ich damals mit dem z = i einfach was falsch verstanden oder abgeschrieben.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Steven on August 19, 2010, 05:38:43 pm
Quote from: Rollo-derWikinger
1.b)
[latex]$e^z=e^{x+iy}=e^x(cos(y)+isin(y))=1+i\\
I:e^xcos(y)-1=0\\
II:e^xsin(y)-1=0\\
y=arctan(1)= \frac{\pi}{4}\\
x=ln(\sqrt{2})\\
z=ln(\sqrt{2})+\frac{i\pi}{4}$\\[/latex]


könntest du nach II. bitte nochmal detailliert drauf eingehen?
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Rollo-derWikinger on August 19, 2010, 05:48:22 pm
sicher:
du teils die gleichung in realteil und imaginärteil auf
[latex]e^x(cos(y)+isin(y))=1+i\\
(e^xcos(y)-1)+i(e^xsin(y)-1)=0$\\
rechte seite: Realteil=0; Imaginärteil=0
sowohl die reale klammer als auch die imaginäre klammer müssen 0 ergeben, damit die gleichung erfüllt ist (das ist die allgemeine vorgehensweise)\\
es ergeben sich zwei gleichungen mit zwei unbekannten...\\ \\

$I:e^xcos(y)-1=0\\

II:e^xsin(y)-1=0$\\
\\
normalerweise würde man jetzt eine formel nach einer variablen umstellen und ineinander einsetzen. hab ich mir hier aber geschenkt und sie einfach gleich gesetzt:\\ \\
$e^xcos(y)-1=e^xsin(y)-1$\\
$cos(y)=sin(y) $   $|:cos(y)\\
1=tan(y)$\\



y=arctan(1)= \frac{ \pi }{4} $\\

y in beliebige formel einsetzen $(cos(\frac{ \pi }{4})=sin(\frac{ \pi }{4})= \frac{ \sqrt{2}}{2})

x=ln(\sqrt{2})\\

z=ln(\sqrt{2})+\frac{i\pi}{4}$\\ \\

man sollte hinzufügen, dass dies nur eine lösung ist. es gibt unendlich viele mit $y=\frac{ \pi }{4}+2k \pi$, weil sin und cos 2pi-symmetrisch sind[/latex]
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Steven on August 19, 2010, 05:50:03 pm
ja soweit leuchtets ja auch ein, aber beim lösen des gleichungssystems steh ich vollkommen auf dem schlauch. (du hast dich gerade verschrieben, sollte sin(y) sein.)

edith sagt: ok, habs ^^
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Johannes@VT on August 19, 2010, 06:38:59 pm
Quote from: aviator-sbh
Nach der von dir beschriebenen Umwandlung hast Du also stehen:
[latex]$
e^x(cos(y) + isin(y)) + e^{-x}(cos(-y) + isin(-y)) = 0 $ \\
$e^x$ und $e^{-x}$ sind nie gleich null und auch einander ungleich.
Daraus kannst Du aber nicht schließen, dass \\$(cos(y) + isin(y))$ und $(cos(-y) +isin(-y)) $ jeweils = 0 sind. Dies wäre theoretisch eine Lösung, wenn man aber y bestimmen will, stellt man fest, dass dies nicht möglich ist. Wenn man beides gleich setzt, kommt Pi raus. Der cos(Pi) ist aber $-1 \not= 0$, womit die Bedingung jeweils = 0 nicht erfüllbar ist. \\ Du weißt nur, dass \\
$e^x(cos(y) + isin(y)) = -e^{-x}(cos(-y) + isin(-y))$ ist. \\
[/latex]
Machst Du mit deinem Ergebnis die Probe:
[latex]
$e^{i\pi} + e^{-i\pi} = 0$\\
$-1 + -1 \not = 0$
[/latex]

Ich glaube, mit deinem Weg kommst du einfach in eine Sackgasse bei der von mir im Latex ganz oben zitierten Gleichung.
Trotzdem danke für deine Bemühung. Wahrscheinlich hab ich damals mit dem z = i einfach was falsch verstanden oder abgeschrieben.


Ich glaube du hast noch nicht wirklich verstanden was ich meinte, denn es geht auf diesem weg

du hast irgendeine Reelezahl mal irgendwas plus eine andere Zahl mal irgendwas soll null sein das heißt ein teil vom Produkt muss jeweils null sein, das e^x und e^-x nie null werden sind wir uns ja bestimmt einig, also muss das jeweilige andere Produkt 1: cosy+isiny null werden und das andere Produkt cos y-isin y null werden, das ist eine einfache Produktregel, denn wenn es egal ist was e^x oder e^-x ist wenn jeweils das andere Produkt null wird kann man das so setzen, also hab ich die jewiligen gleichungen die ich somit da sie dasselbe ergebnis haben gleichsetzen kann, somit komm ich zu der Lösung ich sehe also meinen Fehler nicht
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: aviator-sbh on August 19, 2010, 07:07:00 pm
Quote from: Johannes@VT
Ich glaube du hast noch nicht wirklich verstanden was ich meinte, denn es geht auf diesem weg

du hast irgendeine Reelezahl mal irgendwas plus eine andere Zahl mal irgendwas soll null sein das heißt ein teil vom Produkt muss jeweils null sein, das e^x und e^-x nie null werden sind wir uns ja bestimmt einig, also muss das jeweilige andere Produkt 1: cosy+isiny null werden und das andere Produkt cos y-isin y null werden, das ist eine einfache Produktregel, denn wenn es egal ist was e^x oder e^-x ist wenn jeweils das andere Produkt null wird kann man das so setzen, also hab ich die jewiligen gleichungen die ich somit da sie dasselbe ergebnis haben gleichsetzen kann, somit komm ich zu der Lösung ich sehe also meinen Fehler nicht

Aber die Probe am Ende kannst Du doch nachvollziehen, oder?

Das Problem ist einfach, dass Du eine Summe zweier Produkte hast. Dann funktioniert die Regel, dass ein Faktor = 0 sein muss, nicht bzw. nur dann, wenn du einen in beiden Summanden identischen Faktor ausklammern kannst. Das wären in deinem Fall die Faktoren mit den Sin und cos, die du beide gleich null setzt. Damit sind sie gleich und du kannst sie als mal 0 ausklammern. Dann erhältst Du (e^x + e^(-x)) * (sin, cos...) = 0. Das hast Du also theoretisch soweit richtig gemacht.
Aber, wie gesagt, du kannst die Gleichung, dass beide (sin, cos)-Terme einander gleich und gleich 0 sein sollen, nicht lösen. Damit ist dieser Schritt dann auch falsch, weil er eben dies voraussetzt. Wenn Du einen der beiden Terme ausklammerst und den anderen Summand dann durch den ausgeklammerten Term teilst, ist es richtig und es würde dann wahrscheinlich irgendwas mit Tangens oder so rauskommen, vermute ich mal. Einfacher würde das Problem dann sicher nicht...
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Johannes@VT on August 19, 2010, 07:21:41 pm
aber diese Übung hatten wir genau so in der Übung und da war das auch richtig
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: bleda on August 19, 2010, 07:26:05 pm
dann mal viel glück allen beteiligten:cry:
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Haves on August 19, 2010, 07:27:48 pm
Hat der Großmann eigentlich in der letzten Vorlesung gesagt, dass man 30% (bzw. weniger wenn sie ne Aufgabe streichen) braucht, oder obliege ich da gerade meinem schlechten Gedächtnis?
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: aviator-sbh on August 19, 2010, 07:53:54 pm
Quote from: Johannes@VT
aber diese Übung hatten wir genau so in der Übung und da war das auch richtig

Ich habs mir nochmal angeschaut:
Mit dem Gleichsetzen kommt man, wenn ich jetzt nichts falsch hab, auf:
cos(y) + isin(y) = -cos(-y) - isin(-y)  (*)
Mit gerade/ungerade folgt:
cos(y) + isin(y) = -cos(y) +isin(y)
2*cos(y) = 0
y = Pi/2 + 2k*Pi.

Sorry:cry:, dein Weg war prinzipiell doch richtig, weil man die Bedingung mit dem untereinander gleich doch lösen kann. Nur dein Ergebnis war falsch. Wahrscheinlich die Gleichung falsch aufgestellt wegen Vorzeichenfehler oder so.
Jetzt kommt ja auch das raus, was ich hatte.
Weil wir in der Ausgangsgleichung
e^x(cos(y) + isin(y)) + e^(-x)(cos(-y) + isin(-y)) = 0
aber (*) im Lösungsweg vorausgesetzt haben muss immer noch e^x = e^(-x) sein, was auf x = 0 führt.

Hintergrund ist praktisch, die Faktoren hinter den e's betragsgleich mit entgegengesetztem Vorzeichen zu machen. Wenn die e's selber dann auch noch den glecihen Wert liefern, hebt sich alles weg.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Vakuole on August 19, 2010, 08:16:11 pm
Quote from: Rollo-derWikinger
@ vakuole:
was hastn du bei aufgabe 4c) (2002) mit den Restglied noch angestellt? oder hast du nur das restglied berechnet und fertig?
gefragt is ja nach dem fehler |I[f]-I[g]| nach oben?

Hat sich die Frage geklärt?

Wenn nicht: naja den Fehler nach oben abschätzen, hört sich nach max. Fehler an
wenn man dann die Formel mit dem Restglied nimmt x durch E ersetzt und alles wie beschrieben auflöst kommt man auf Rn(x) < 1/6 |max f``(E)|
dann man ja keine genaue Funktion gegeben hat kann man da ja auch nicht weiter rechnen

Ich hoffe ich hab die Frage jetzt richtig verstanden
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: Johannes@VT on August 19, 2010, 09:08:35 pm
Quote from: aviator-sbh
Ich habs mir nochmal angeschaut:
Mit dem Gleichsetzen kommt man, wenn ich jetzt nichts falsch hab, auf:
cos(y) + isin(y) = -cos(-y) - isin(-y)  (*)
Mit gerade/ungerade folgt:
cos(y) + isin(y) = -cos(y) +isin(y)
2*cos(y) = 0
y = Pi/2 + 2k*Pi.

Sorry:cry:, dein Weg war prinzipiell doch richtig, weil man die Bedingung mit dem untereinander gleich doch lösen kann. Nur dein Ergebnis war falsch. Wahrscheinlich die Gleichung falsch aufgestellt wegen Vorzeichenfehler oder so.
Jetzt kommt ja auch das raus, was ich hatte.
Weil wir in der Ausgangsgleichung
e^x(cos(y) + isin(y)) + e^(-x)(cos(-y) + isin(-y)) = 0
aber (*) im Lösungsweg vorausgesetzt haben muss immer noch e^x = e^(-x) sein, was auf x = 0 führt.

Hintergrund ist praktisch, die Faktoren hinter den e's betragsgleich mit entgegengesetztem Vorzeichen zu machen. Wenn die e's selber dann auch noch den glecihen Wert liefern, hebt sich alles weg.



jetzt weiß ich was mein Fehler war ich hab die zwei weggetilt... das war natürlich fatal sry da habe ich echt getrant tut mir leid:cry:

passiert nciht wieder weil mit pi/2 ist es ja auch logisch weil ja dann die Werte entgegengesetzt liegen und sich somit wegheben :D


an alle morgen viel erfolg... der erste Durchfaller bin ja wohl ich ich schaffe nie im leben ein drittel
##EDIT: wenn ich mich immer so vertue wie bei der aufgabe
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: oOpauleOo on August 19, 2010, 09:30:24 pm
Macht euch keinen kopf!
Sein Ziel ist ja auch nicht uns alle durchfallen zu lassen.wer viel gemacht hat, wird auch viel können, auch wenn mans jetzt nicht sofort so sieht.

auf jeden fall allen viel erfolg und nen bisschen glück kann natürlich auch nicht schaden!
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: stacki on August 19, 2010, 10:07:36 pm
Quote from: oOpauleOo
..
Sein Ziel ist ja auch nicht uns alle durchfallen zu lassen
..

Sicher :rolleyes: .... wenn ich mir die Klausuren so anschaue kommts mir nicht so vor :D

Ne Spaß...

Viele Grüße

stacki
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: MichaS on August 19, 2010, 11:39:06 pm
Ich denke ja, dass ein Großteil von uns durchfallen wird! hoffe, ihr habt die blätter gut beschriftet!
viel erfolg uns morgen!
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: aviator-sbh on August 20, 2010, 06:30:12 am
Ich drück uns allen die Daumen!!!
Habt mal etwas mehr Selbstvertrauen! Die letzte Klausur von den Verkehrsingenieuren, wo 60% durchfielen, fand ich im Vergleich zu den anderen schon besonders schwer.
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: ESP on August 20, 2010, 11:48:53 am
Weiss jemand ob es Online wieder eine Lösung irgendwann zur Prüfung gibt?
Title: Lösungen zur Klausurensammlung
Post by: KleinerHugo on August 20, 2010, 12:26:51 pm
Ich habe mit Professor Grossmann nach der letzten Vorlesung geredet, er sagte die Veröffentlichung der Lösung erfolgt nach etwa 3-4 Wochen oder am Anfang des neuen Semesters, Grund er will, dass die Studenten vorbereitet zur Konsultation kommen (sich mit der Klausur in den Ferien auseinander setzen) und nicht wie nach den Testaten, das "schlecht vorbereitet" Studenten zur Konsultation kommen.

Die Klausur (http://www.math.tu-dresden.de/%7Egrossm/m1_MW_200810.pdf) ohne Lösung ist Online.

PS. Ihr könnt eure Lösung für die Klausur SS2010 in diesem TOPIC (http://bombentrichter.de/showthread.php?p=147854#post147854) vergleichen/diskutieren