Bombentrichter
Archiv => 1./2. Semester => Prüfungen/Testate 1./2. Sem. => Topic started by: blumentopf on August 12, 2008, 06:57:49 pm
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wie komme ich bei 2c) (http://www.math.tu-dresden.de/~grossm/m1_lsg_100807.pdf) auf das ergebnis:weiß nicht wie ich aus 2 gleichungen 4 unbekannte herausbekomme ! hat die aufgabe vllt. schon jemand gelöst ?
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wie komme ich bei 2c) auf das ergebnis:weiß nicht wie ich aus 2 gleichungen 4 unbekannte herausbekomme ! hat die aufgabe vllt. schon jemand gelöst ?
Substitution!!!!! würd ich jetzt so sagen, ohne die aufgabe gesehen zu haben
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sry, war falsch und mist von mir.
und zwar stellst du die vektoren in abängigkeit von verschiedenen paramtern auf!!!
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versteh ich jetzt nicht so ganz,kannst du das mal genauer erkären? muss ich auf die gleiche lösung kommen wie in der lösung ?
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Zu Aufgabe 2.c
Nur mal schnell drübergeschaut.
Ja, klar, es können andere EVs herauskommen, weil EVs ja nicht berechnet sondern gewählt werden. Die EWs müssen natürlich gleich sein.
Du kannst aber schnell mit A*v=v*lambda die Probe rechnen, weil mit genau dieser ganz besonderen Bedingung ist ja ein EW und ein EV zum EW definiert.
Geht ja ganz fix.
LG
DIGIT
lim->oo
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erklär mir mal einer wie ich bei dieser Klausur als 1. die schon angesprochene Aufgabe rechne und 2. wie ich bei 3a) die Cs bestimme, ich habe partiell abgeleitet und bekomme jetzt von x,y und z abhängige c raus, aber das sind noch lange keine konkreten werte!!
ich bekomme raus c=x/(x+1)=3-1/(2z)
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Du hast dann irgendwann x, y, z die nur von c abhängen. Da siehst du dann was die cs nicht sein dürfen. Hier 1 und 3 weil du ansonsten durch 0 teilen würdest. Also ist c € R \ {1,3}
Dann bauste dir die Hesse Matrix damit auf und checkst, wann du Maxima oder Minima hast.
Bei 2c würde ich ein wenig Gauß machen bis du unten ein 0 hast. Dazu erstmal Spalten tauschen, das macht die Sache sehr einfach. Dann sagste x3 ist t und x4 ist s und stellst in Abhängigkeit davon erstmal dein x2 (2. Zeile, wo x1 ja 0 ist) auf und dann am Schluss damit x1 (mit der 1. Zeile)
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Na duz musst für zwei Unbekannte Parameter einsetzen. Bekommst dann sone Art Ebenengleichungen raus, allerdings ohne Ortsvektor. Die Paramterbehafteten Vektoren wählst du dann als Eigenvektoren. Kannst sie noch zu nicht gebrochenen Zahlen erweitern!
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Na duz musst für zwei Unbekannte Parameter einsetzen. Bekommst dann sone Art Ebenengleichungen raus, allerdings ohne Ortsvektor. Die Paramterbehafteten Vektoren wählst du dann als Eigenvektoren. Kannst sie noch zu nicht gebrochenen Zahlen erweitern!
Genau das was ich ja meinte, auch wenn meine Aussage "vielleicht" unverständlich war^^
lg
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danke für 2c) habe das jetzt kapiert :)
wie habe ich die Aufgabe 5 zu verstehen,weiß nicht wie ich da richtig anfangen soll!
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DGL System nennt sich das glaube ich:
howto für die a)
Eigenwerte von A
Eigenvektoren für die jeweiligen Eigenwerte
bei mehrmaligen Vorkommen der Eigenwerte bauste dir halt senkrechte Vektoren. Und das wird hier so sein. Eigenwerte sind 1 und 2 mal 3.
Und dann die Lösung angeben.
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... kann das sein das man bei der Berechnung der Eigenwerte auf eine kubische Gleichung kommt, wie kann ich denn diese per Hand und ohne Tschenrechner lösen, das im Merzinger hilf mir da auch nicht weiter.
Jemand einen Lösungsweg parat oder habe ich mich einfach nur vertan?
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Du hast dich verrechnet. Bei mir kommen da sehr sehr einfache Gleichungen raus, wenn ich die det von lambaA bestimme.
[latex]
\begin{vmatrix}
2-\lambda & 1 & 0 \\
1 & 2-\lambda & 0 \\
-1 & 1 & 3-\lambda \\
\end{vmatrix}
= (2-\lambda)^2 (3-\lambda) - (3-\lambda) = (3-\lambda)((2-\lambda)^2 - 1)
[/latex]
Nun siehst du ja schnell, dass 3 eine Lösung ist, geschickt ausgeklammert vorrausgesetzt.
Dann noch
[latex]
(2-\lambda)^2 - 1 = 0 \\
\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0
[/latex]
p,q Formel ergibt dann 1 und 3
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... kann das sein das man bei der Berechnung der Eigenwerte auf eine kubische Gleichung kommt, wie kann ich denn diese per Hand und ohne Tschenrechner lösen, das im Merzinger hilf mir da auch nicht weiter.
Jemand einen Lösungsweg parat oder habe ich mich einfach nur vertan?
(1) A-lambda*E bilden.
Ergo Matrix A hinschreiben und in der Hauptdiagonale ein "- lambda" noch dazu schreiben.
(2) Determinante bilden (Sarrus nur für 3x3, oder geschickt nach Zeile/Spalte bestimmen, das ist das charakteristische Polynom.
(3) Die Nullstellen sind die EWs. EWs können reell einfach oder mehrfach sein, oder auch konjugiert komplex, hier ebenso einfach oder (eher selten) mehrfach.
(4) EVs zu den EWs durch (A-lambda*E) *v = 0. Geeigneten Lösungsvektor (also Eigenvektor) wählen.
Bei reellen EWs alle EWs so einsetzen und den jeweiligen EV bestimmen.
(5) Bei mehrfachen EWs ersten Eigenvektor bestimmen (analog 4), dann Hauptvektor zum EV mit (A-lambda*E)*h1=v1. Weitere HVs analog.
Memo:
Probe rechnen mit EV und EW durch A * vi = lambda_i * v_i, weil genau so ist ja ein EW und EV zum EW definiert.
Okay?
LG
DIGIT
lim->oo
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tag zusammen,
hab hier ma n paar gelöste aufgaben und würde mich über verbesserungsvorschläge freun.
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Bei Aufgabe 5 zauberst du plötzlich einen Vektor her:
[latex]
v_2 =
\left( \begin {array} {c}
0 \\
0 \\
1 \\
\end {array} \right)[/latex]
her. Hast du ja auch schon mit nem Fragezeichen gekennzeichnet. Du hast einen doppelten EW, also musst du unabhängige Vektoren suchen. Dazu gibts 2 Methoden: senkrecht aufeinander (Skalarprodukt = 0) oder einfach nur linear unabhängige Vektoren.
Deine A dürfen auch nicht alle A1 heißen, das sind verschiedene Konstanten. C1, C2, C3
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hat jmd die vollständige induktion bei 4b?
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hat jmd die vollständige indultion bei 4b?
Du meinst die, wo induliert wird?;)
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ja,ok l und k liegen zu nah beieinander ;)
aber wär froh über ne antwort
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Mal ne Frage zu Aufgabe 5a) Müsste da nicht in der Musterlösung, die im ersten Post verlinkt. Da wir hier eine doppelte Nullstelle haben, müssten wir da nicht den C1 oder C2 Teil noch zusätzlich mit x multiplizieren? Wenn nein, warum?
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Du hast dann irgendwann x, y, z die nur von c abhängen. Da siehst du dann was die cs nicht sein dürfen. Hier 1 und 3 weil du ansonsten durch 0 teilen würdest. Also ist c € R \ {1,3}
Dann bauste dir die Hesse Matrix damit auf und checkst, wann du Maxima oder Minima hast.
Bei 2c würde ich ein wenig Gauß machen bis du unten ein 0 hast. Dazu erstmal Spalten tauschen, das macht die Sache sehr einfach. Dann sagste x3 ist t und x4 ist s und stellst in Abhängigkeit davon erstmal dein x2 (2. Zeile, wo x1 ja 0 ist) auf und dann am Schluss damit x1 (mit der 1. Zeile)
Mal zum 1. Teil ne Frage, ist das purer Zufall, dass ich 1 und 3 rausbekomme, wenn ich die Hesse Matrix runterrattere und die Determinantenbestimmung mache? Also man bekommt ja letztenendes das naja "inverse" Ergebnis heraus? Gibts da vllt. irgendein Zusammenhang?
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Mal ne Frage zu Aufgabe 5a) Müsste da nicht in der Musterlösung, die im ersten Post verlinkt. Da wir hier eine doppelte Nullstelle haben, müssten wir da nicht den C1 oder C2 Teil noch zusätzlich mit x multiplizieren? Wenn nein, warum?
Könnte mir das mal bitte jemand beantworten? Das macht mich gerade total fertig. Ist das nur ein Fehler in der Musterlösung (http://www.math.tu-dresden.de/%7Egrossm/m1_lsg_100807.pdf), oder führt man bei DGL-Systemen die doppelten Nullstellen nicht in der allgemeinen Lösung mit auf? :blink:
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Also das x brauchst du definitiv nicht ^^
Das x brauchst du, da dieses x signalisiert, dass es sich um eine doppelte nullstelle handelt. du musst also das x mit hinschreiben, das ist unverzichtbar!!!
Ich hätte da auch nochmal ne frage, bezieht sich merh oder weniger auf die Aufgabe 5 von Grossi´s Klausur vom August 2007:
Wann stell ich denn nochmal den Vektor allgemeingültig (also wie in Aufgabe 2c) auf und wann berechne ich konkrete vektoren?
Auf die Lösung inb der Musterlösung bin ich auch gekommen aber eben diese Allgemeingültigkeit interessiert mich.
Und ich hätte da nochmal eine Aufgabe zu lösen, die in keiner Klausur ist aber aber durchraus relevant sein könnte: x*y*y´=4*x²+y²
ich komm auf: y_allg=+/-*squert(C+8*ln x)
in der lösung steht aber: y_allg=+/-2x*squert(2*ln(C*x))
Vielleicht kann jmd helfen bzw selbst mal rechnen, denn ich bin mir sicher, dass meine lösung richtig ist!
gruß
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Könnte mir das mal bitte jemand beantworten? Das macht mich gerade total fertig. Ist das nur ein Fehler in der Musterlösung (http://www.math.tu-dresden.de/%7Egrossm/m1_lsg_100807.pdf), oder führt man bei DGL-Systemen die doppelten Nullstellen nicht in der allgemeinen Lösung mit auf? :blink:
Du arbeitest ja bei DGL-Systemen mit Vektoren und bei linearen Differentialgleichungen diehnt das x bei doppelten Nullstellen in der homogenen Lösung ja dazu um eine von x° verschiedene Lösung zu erhalten (also exp(lambda*x)*x°*c1) und dir letztenendes so ein Fundamentalsystem basteln kannst.
Wenn du nun aber Vektoren zur Verfügung hast erreichst du ja allein dadurch das deine Vektoren senkrecht aufeinanderstehen, dass sich ein Fundamentalsystem aufspannt (egal ob nun mit Kreuzprodukt oder Hauptvektorenmethode) und benötigst denksch ma das x nichtmehr.
Weis es natürlich ned genau (bin ja kein Mathematiker) aber habs mir so zusammengereimt. (aber letztenendes merksch mir auch nur das wenn ich bei ner DGL doppelte Nullstelle hab --> x davor , bei DGL-System --> Hauptvektorzeugs/Kreuzprodukt)
Nundenn die Aufgabe war sowieso merkwürdig ^^ bin ned auf den letzten Vektor gekommen und hab entnervt aufgegeben... ^^
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Der letzte Vektor ist einfach nur das Kreuzprodukt der beiden anderen Vektoren, wenn ich mich recht entsinne. Aber danke erstmal für deine Antwort. Dann lasse ich das x mal lieber weg. ;)
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Also das x brauchst du definitiv nicht ^^ . Zumindest hat ihn Herr Fischer auch nie hingeschrieben (-> siehe letzte "Zusatz-"Vorlesung)
Und jo hatte Kreuzprodukt gemacht aber kam irgendwie ned das raus was sollte und dann habschs gelassen ^^ viel zu viel Zeit an der Aufgabe gelassen :O ^^
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@Coco: Also ist die Musterlösung doch falsch?:unsure:
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Coco weder Repetorium der höheren Mathematik (siehe Seite 472/16.78) noch meine gesamtes Vorlesungsskript zeigen eindeutig, dass man das x benötigt bei aufstellen von 2 senkrecht zueinander stehenden Vektoren.
Bei Hauptvektoren siehts natürlich ein bissl anders aus hier hat man ein x zusätzlich durch die Tatsache gegeben das y=C*exp(lambda*x)*(v2+x*v1) ist.
wobei v1 der Vektor der ersten Nullstelle und v2 der Vektor der durch Hauptvektorbildung entstanden ist.
Najo ^^ kniffelige Frage aber bleib dennoch bei meinem "keinem x" ^^
Zu deiner Frage:
Najo weiß zwar ned 100pro was du meinst aber bei 2c war ein kein eindeutiger Sachverhalt gegeben --> 4 unbekannte 2 Gleichungen und deswegen wurde der EV so aufgespalten.
Bei 5 hingegen isses eindeutig --> x1=-x2 glaubsch und x3 beliebig wählbar.
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Zumindest muss da ein x bei einem von den e^3x termen hin. die vektoren sind richtig^^
es gibt zb klausuren da sind dir 2 lösungen gegeben und eine dgl 4. grades und wenn du eine lösung mit x*e^x siehst, dann weißt du, da ist eine doppelte nullstelle. da hast du, nur mit überlegen schon deine 3 lösung